GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
+ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn.
+ Cung nằm bên trong là cung bị chắn.
+ Hình vẽ:
\[ \widehat{\text{BAx}} \] chắn cung nhỏ \[ \overset\frown{AmB}. \]
\[ \widehat{\text{BA}y} \] chắn cung nhỏ \[ \overset\frown{AnB}. \]
2. Định lý.
Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Cụ thể:
\[ \widehat{\text{BAx}} \] = \[ \frac{1}{2} \] sđ \[ \overset\frown{AmB}. \]
\[ \widehat{\text{BA}y} \] = \[ \frac{1}{2} \] sđ \[ \overset\frown{AnB}. \]
3. Hệ quả.
+ Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+ Định lý bổ sung: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, các tam giác đồng dạng, các hệ thức về cạnh
Phương pháp:
Ta sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả của hai góc nội tiếp:
" Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau."
Dạng 2: Chứng minh các đường thẳng vuông góc, song song. Chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn. Tính độ dài bán kính, độ dài đoạn thẳng
Phương pháp:
Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả của hai góc nội tiếp.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lý Pytago.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 27 (trang 79 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh: \[ \widehat{APO}=\widehat{PBT}. \]
Lời giải
\[ \widehat{{{A}_{1}}} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{PB} \]
\[ \widehat{{{A}_{1}}} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{PB} \] \[ \Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\frac{1}{2} \] sđ \[ \overset\frown{PB} \] .
\[ \widehat{{{B}_{1}}} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và dây BP
\[ \Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\frac{1}{2} \] sđ \[ \overset\frown{PB} \] .
\[ \Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{B}_{1}}} \] \[ =\frac{1}{2} \] sđ \[ \overset\frown{PB} \] (1)
Xét \[ \Delta APO \] có \[ OA=OP=R \]
\[ \Rightarrow \Delta APO \] cân tại O
\[ \Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{P}_{1}}} \] (2)
Từ (1) và (2) suy ra : \[ \Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{P}_{1}}}\Rightarrow \widehat{APO}=\widehat{PBT}. \]
Bài 28 (trang 79 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).
Lời giải
+ Trên đường tròn tâm O’:
\[ \widehat{AQB} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{AB}. \]
\[ \Rightarrow \widehat{AQB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AB} \]
\[ \widehat{PAB} \] là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AP và dây AB
\[ \Rightarrow \widehat{PAB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AB} \]
\[ \Rightarrow \widehat{AQB}=\widehat{PAB} \] (1)
+ Trên đường tròn tâm O:
\[ \widehat{PAB} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{PB}. \]
\[ \Rightarrow \widehat{PAB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{PB} \]
\[ \widehat{PBt} \] là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AP và dây AB
\[ \Rightarrow \widehat{PBt}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{PB} \]
\[ \Rightarrow \widehat{PAB}=\widehat{PBt} \] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[ \widehat{AQB}=\widehat{PBt} \] ;
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \[ AQ\parallel Pt. \]
Bài 29 (trang 79 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O') cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt (O') tại D. Chứng minh \[ \widehat{CBA}=\widehat{DBA}. \]
Lời giải
+ Trên đường tròn tâm O:
\[ \widehat{ACB} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{AB}. \]
\[ \Rightarrow \widehat{ACB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AB} \]
\[ \widehat{BAD} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến AD và dây AB
\[ \Rightarrow \widehat{BAD}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AB} \]
\[ \Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{BAD} \] (1)
+ Trên đường tròn tâm O’:
\[ \widehat{ADB} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{AB}. \]
\[ \Rightarrow \widehat{ADB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AB} \]
\[ \widehat{CAB} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến AC và dây AB
\[ \Rightarrow \widehat{CAB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AB} \]
\[ \Rightarrow \widehat{CAB}=\widehat{ADB} \] (2)
Xét \(\Delta ABC\) và \[ \Delta DBA, \] ta có:
\[ \widehat{ACB}=\widehat{BAD} \] (Cmt)
\[ \widehat{CAB}=\widehat{ADB} \] (Cmt)
\[ \Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta DBA\left( g-g \right) \]
\[ \Rightarrow \widehat{CBA}=\widehat{DBA} \] .
Bài 30 (trang 79 SGK Toán 9 Tập 2):
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung , cụ thể là: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn(h.29).
Hình 29
Lời giải
Gọi C là chân đường cao hạ từ O xuống AB.
ΔOAB có OA = OB = R nên tam giác này cân tại O
⇒ đường cao OC đồng thời là phân giác
\[ \Rightarrow \widehat{AOC}=\frac{1}{2}.\widehat{AOB}\left( 1 \right) \]
Ta có: \[ \widehat{BAx}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AB} \]
Ta lại có: \[ \widehat{AOB} \] là góc ở tâm \[ \Rightarrow \widehat{AOB}=sd\overset\frown{AB}. \]
\[ \Rightarrow \widehat{BAx}=\frac{1}{2}.\widehat{AOB} \] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[ \widehat{AOC}=\widehat{BAx}. \] ;
Ta có: \[ \widehat{OAx}=\widehat{OAB}+\widehat{BAx}=\widehat{OAB}+\widehat{AOC} \]
Xét \[ \Delta \] AOC vuông tại O, ta có:
\[ \widehat{OAB}+\widehat{AOC}=90{}^\circ \] (Hai góc phụ nhau).
\[ \Rightarrow \widehat{OAx}=90{}^\circ . \]
\[ \Rightarrow OA\bot Ax \]
\[ \Rightarrow \] Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.
Bài 31 (trang 79 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở A. Tính: \[ \widehat{ABC},\widehat{BAC}. \]
Lời giải
+ ΔOBC có OB = OC = BC (= R)
⇒ ΔOBC là tam giác đều
\[ \Rightarrow \widehat{BOC}=60{}^\circ \]
Mà \[ \widehat{BOC} \] là góc ở tâm chắn cung \[ \overset\frown{BC} \]
\[ \Rightarrow sd\overset\frown{BmC}=60{}^\circ \]
+ \[ \widehat{ABC} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây BC
\[ \Rightarrow \widehat{ABC}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{BmC}=\frac{1}{2}.60{}^\circ =30{}^\circ \]
+ \[ \widehat{ACB} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến AC và dây CB
\[ \Rightarrow \widehat{ACB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{BmC}=\frac{1}{2}.60{}^\circ =30{}^\circ \]
+ \[ \Delta ABC \] có \[ \widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180{}^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat{BAC}=180{}^\circ -\left( \widehat{ABC}+\widehat{ACB} \right)=120{}^\circ \]
Vậy \[ \widehat{ABC}=30{}^\circ \] và \[ \widehat{BAC}=120{}^\circ . \]
Bài 32 (trang 80 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T). Chứng minh: \[ \widehat{BTP}+2\widehat{TPB}=90{}^\circ \]
Lời giải
+ \[ \widehat{TPB} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây PB
Ta có: \[ \Rightarrow \widehat{\text{TPB}}=\frac{1}{2}\cdot \text{sd}\widehat{\text{PB}}, \]
Mà \[ \text{sd}\widehat{\text{PB}}=\widehat{\text{POB}} \]
\(\begin{align} & \Rightarrow \widehat{\text{TPB}}=\frac{1}{2}\cdot \widehat{\text{POB}} \\ & \Rightarrow 2.\widehat{\text{TPB}}=\widehat{\text{POB}} \\ & \Rightarrow \widehat{\text{BTP}}+2.\widehat{\text{TPB}}=\widehat{\text{BTP}}+\widehat{\text{POB}}(1) \\ \end{align}\)
+ PT là tiếp tuyến của đường tròn (O)
⇒ PT ⊥ OP
⇒ ΔOPT vuông tại P
\[ \Rightarrow \widehat{BTP}+\widehat{POB}=90{}^\circ \] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \[ \widehat{BTP}+2\widehat{TPB}=90{}^\circ \] .
Bài 33 (trang 80 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn, At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.
Lời giải
+ Ta có: \[ \widehat{BAt} \] là góc tạo bởi tia tiếp tuyến At và dây AB chắn \[ \overset\frown{AB} \]
\[ \widehat{ACB} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{AB} \]
\[ \Rightarrow \widehat{BAt}=\widehat{ACB} \] .
+ Ta lại có MN//At
\[ \Rightarrow \widehat{BAt}=\widehat{AMN} \] ( Hai góc so le trong)
Mà \[ \widehat{BAt}=\widehat{ACB}\left( cmt \right) \]
\[ \Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{AMN} \]
+ Xét \[ \Delta AMN \] và \[ \Delta ACB \] , ta có:
\[ \widehat{BAC} \] : Chung
\[ \widehat{ACB}=\widehat{AMN}\left( cmt \right) \]
\[ \Rightarrow \Delta AMN\sim \Delta ACB\left( g-g \right). \]
\[ \Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Leftrightarrow AM.AB=AN.AC. \]
Bài 34 (trang 80 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.
Chứng minh MT2 = MA.MB.
Lời giải
Ta có:
+ \[ \widehat{MTA} \] là góc tạo bởi tia tiếp tuyến TM và dây TA chắn \[ \overset\frown{TA} \]
+ \[ \widehat{TBA} \] là góc nội tiếp chắn \[ \overset\frown{AT} \]
\[ \Rightarrow \widehat{MTA}=\widehat{TBA} \] ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung \[ \overset\frown{TA} \] ).
+ Xét \[ \Delta MAT \] và \[ \Delta MBT \] , ta có:
\[ \widehat{M} \] : Chung
\[ \widehat{MTA}=\widehat{TBA} \] (cmt)
\[ \Rightarrow \Delta MAT\sim \Delta MBT\left( g-g \right) \]
\[ \Rightarrow \frac{MA}{MT}=\frac{MT}{MB}\Leftrightarrow MA.MB=M{{T}^{2}}. \]
Bài 35 (trang 80 SGK Toán 9 Tập 2):
Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km (h.30)?
Hướng dẫn: Áp dụng kết quả của bài tập 34.
Lời giải
Áp dụng kết quả bài 34 ta có:
+ MT2 = MA.MB
MA = 40m = 0,04km ;
MB = MA + AB = MA + 2R = 12800,04 km.
⇒ MT ≈ 22,63 km
+ M’T2 = M’A’.M’B’
M’A’ = 10m = 0,01km ;
M’B’ = M’A’ + A’B’ = M’A’ + 2R = 12800,01 km
⇒ M’T ≈ 11,31 km
⇒ MM’ = MT + M’T = 33,94 ≈ 34 km .
Vậy khi cách ngọn hải đăng khoảng 34km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa góc tạo bởi tia tiếp tuyên và dây cung toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất