BÀI 4: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Đường thẳng song song
Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b ≠ b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'
Đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a'
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.
Cho 2 đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0)
+) d // d’ khi và chỉ khi a = a’ và b ≠ b’.
+) d cắt d’ khi và chỉ khi a ≠ a’.
+) d trùng d’ khi và chỉ khi a = a’ và b = b’.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp:
Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.
Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi tham số
Phương pháp:
Gọi M(x;y) là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d..
Đưa phương trình đường thẳng d về phương trình bậc nhất ẩn m.
Từ đó để phương trình bậc nhất ax+b=0luôn đúng thì a=b=0
Giải điều kiện ta tìm được x,y.
Khi đó M(x;y)là điểm cố định cần tìm.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 20 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- Các đường thẳng cắt nhau khi có a ≠ a'. Ta có ba cặp đường thẳng cắt nhau là:
a) y = 1,5x + 2 và b) y = x + 2 (vì có 1,5 ≠ 1)
a) y = 1,5x + 2 và c) y = 0,5x – 3 (vì có 1,5 ≠ 0,5)
a) y = 1,5x + 2 và d) y = x – 3 (vì có 1,5 ≠ 1)
- Các đường thẳng song song khi có a = a' và b ≠ b'. Ta có các cặp đường thẳng song song với nhau là:
a) y = 1,5x + 2 và e) y = 1,5x – 1 (vì có 1,5 = 1,5 và 2 ≠ -1)
b) y = x + 2 và d) y = x – 3 (vì có 1 = 1 và 2 ≠ -3)
c) y = 0,5x – 3 và g) y = 0,5x + 3 (vì có 0,5 = 0,5 và -3 ≠ 3)
Bài 21 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Hàm số y = mx + 3 có các hệ số a = m, b = 3.
Hàm số y = (2m + 1)x – 5 có các hệ số a' = 2m + 1, b' = -5
a) Vì hai hàm số là hai hàm số bậc nhất nên a và a' phải khác 0, tức là:
m ≠ 0 và 2m + 1 ≠ 0 hay \[\text{m}\ne 0;\text{m}\ne -\frac{1}{2}\]
Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 3 ≠ -5)
Vậy đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a ≠ a' tức là: m = 2m + 1 => m = - 1
Kết hợp với điều kiện trên ta thấy m = -1 là giá trị cần tìm.
b) Đồ thị của hai hàm số y = mx + 3 và y = (2m + 1)x – 5 là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi:
m ≠ 2m + 1 => m ≠ -1.
Kết hợp với điều kiện trên, ta có: \[ \text{m}\ne 0,~\text{m}\ne -\frac{1}{2}\text{ ; m}\ne -1 \]
Bài 22 (trang 55 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 3 ≠ 0)
Vậy đồ thị của hàm số y = ax + 3 song song với đường thẳng y = -2x khi và chỉ khi a = a' tức là: a = -2.
Hàm số có dạng y = 2x + 3.
b) Thay x = 2, y = 7 vào hàm số y = ax + 3 ta được:
7 = a.2 + 3 => a = 2
Hàm số có dạng y = 2x + 3.
Bài 23 (trang 55 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Đồ thị của hàm số y = 2x + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3, nghĩa là khi x = 0 thì y = -3, do đó:
-3 = 2.0 + b => b = -3
b) Đồ thị hàm số y = 2x + b đi qua điểm (1; 5), do đó ta có:
5 = 2.1 + b => b = 3
Bài 24 (trang 55 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Hàm số y = 2x + 3k có các hệ số a = 2, b = 3k.
Hàm số y = (2m + 1)x + 2k – 3 có các hệ số a' = 2m + 1, b' = 2k – 3.
Hai hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nên 2m + 1 ≠ 0 \[ \Leftrightarrow \text{m}\ne -\frac{1}{2} \]
a) Hai đường thẳng cắt nhau khi a ≠ a' tức là:
2 ≠ 2m + 1 ⇔ 2m ≠ 1 \[ \Leftrightarrow \text{m}\ne \frac{1}{2} \]
Kết hợp với điều kiện ta có: \[ m=\pm \frac{1}{2} \]
b) Hai đường thẳng song song với nhau khi a = a' và b ≠ b' tức là:
2 = 2m + 1 và 3k ≠ 2k – 3 \[ \Leftrightarrow \text{m}=\frac{1}{2}\text{ ; k}\ne -3 \]
Kết hợp với điều kiện trên ta có: \[ \text{m}=\frac{1}{2},\text{k}\ne -3 \]
c) Hai đường thẳng trùng nhau khi a = a' và b = b' tức là:
2 = 2m + 1 và 3k = 2k – 3 \[ \Leftrightarrow \text{m}=\frac{1}{2}\text{; k}=-3 \]
Kết hợp với điều kiện trên ta có: \[ \text{m}=\frac{1}{2},\text{k=}-3 \]
Bài 25 (trang 55 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Lời giải:
a) Với hàm số: \[ y=\frac{2}{3}x+2 \]
Cho x=0, suy ra y=2 được A(0; 2).
Cho x = 3, suy ra y=4 được B(3; 4).
b)
Với hàm số \[ y=\frac{-3}{2}x+2 \]
Cho x = 0 suy ra y = 2 được A(0; 2).
Cho x=2 suy ra y = =-1 được C(2, -1).
b) Điểm M có tung độ y = 1 nên hoành độ là \[ x=\frac{-3}{2} \] .
Điểm N có tung độ y = 1 nên hoành độ là \[ x=\frac{2}{3} \] .
Bài 26 (trang 55 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Hàm số y = ax - 4 là hàm số bậc nhất nên a ≠ 0
a) Đồ thị hàm số y = ax – 4 cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 nên thay x = 2 vào phương trình hoành độ giao điểm ta có:
2a – 4 = 2.2 – 1 ⇔ 2a = 7 ⇔ a = 3,5
Kết hợp với điều kiện trên ta thấy a = 3,5 là giá trị cần tìm.
b) Đồ thị hàm số y = ax – 4 cắt đường thẳng y = -3x + 2 tại điểm A có tung độ bằng 5 nên đường thẳng y = -3x + 2 đi qua điểm có tung độ bằng 5. Thay tung độ vào phương trình đường thẳng ta được hoành độ của giao điểm A là:
5 = -3x + 2 ⇔ - 3x = 3 ⇔ x = -1
Ta được A(-1; 5).
Đường thẳng y = ax – 4 cũng đi qua điểm A(-1; 5) nên ta có:
5 = a.(-1) – 4 ⇔ -a = 9 ⇔ a = -9
Kết hợp với điều kiện trên ta thấy a = -9 là giá trị cần tìm.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau hình học 9, toán 9 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất