BÀI 4: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Cho tam giác vuông tại A có BC= a; AC= b; AB= c.Ta có :
\(\begin{array}{*{35}{l}} b=a\cdot \sin B=a\cdot \cos C,c=a\cdot \sin C=a\cdot \cos B; \\ b=c.\tan B=c\cdot \cot C,c=b\cdot \tan C=b\cdot \cot B. \\ \end{array} \)
Trong một tam giác vuông
+) Cạnh góc vuông =(cạnh huyền ) x(sin góc đối)
=(cạnh huyền )x (cosin góc kề)
+) Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông còn lại )x (tang góc đối)
= (cạnh góc vuông còn lại ) x(cotang góc kề).
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Giải tam giác vuông
Phương pháp:
+ Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán.
+ Trong tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông để tính toán.
+ Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm :
Bài toán 1: Giải tam giác vuông khi biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn.
Bài toán 2: Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.
Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác
Phương pháp:
Bằng cách kẻ thêm đường cao ta làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức giữa cạnh và góc thích hợp.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 26 (trang 88 SGK Toán 9 Tập 1):
Kí hiệu đỉnh như hình vẽ. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:
AB = AC.tan34o = 86.tan34o ≈ 58 (m)
Vậy chiều cao tòa nhà là 58m.
Bài 27 (trang 84 SGK Toán 9 Tập 1):
a)
\[\widehat{B}\text{ }=\text{ }{{90}^{o}}~-\text{ }\widehat{C}\text{ }=\text{ }{{90}^{o}}~-\text{ }{{45}^{o}}~=\text{ }{{45}^{o}}\]
\[c=b.\tan C=10.\tan {{30}^{o}}\approx 5,77\left( cm \right)\]
$$ \mathbf{a}=\frac{b}{\sin B}=\frac{10}{\sin {{60}^{{}^\circ }}}\approx 11,55(~\text{cm}) $$
b)
\[\angle B={{90}^{o}}-\angle C={{90}^{o}}-{{45}^{o}}={{45}^{o}}\]
=> ΔABC cân => b = c = 10 (cm)
$$ \text{a}=\frac{\text{b}}{\sin \text{B}}=\frac{10}{\sin {{45}^{{}^\circ }}}\approx 14,14(~\text{cm}) $$
c)
\[\angle B\text{ }=\text{ }{{90}^{o}}~-\text{ }\angle C\text{ }=\text{ }{{90}^{o}}~-\text{ }{{35}^{o}}~=\text{ }{{55}^{o}}\]
b = asinB = 20.sin35o ≈ 11,47 (cm)
c = asinC = 20.sin55o ≈ 16,38 (cm)
d)
$$ \tan B=\frac{b}{c}=\frac{18}{21}\Rightarrow \hat{B}={{41}^{{}^\circ }}\Rightarrow \hat{C}={{90}^{{}^\circ }}-\hat{B}={{49}^{{}^\circ }} $$
$$ \text{a}=\frac{\text{b}}{\sin \text{B}}=\frac{18}{\sin {{41}^{{}^\circ }}}=\frac{18}{0,656}\approx 27,439(~\text{cm}) $$
Bài 28 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1):
Kí hiệu như hình vẽ. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:
$$ \operatorname{tg}\alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{7}{4}\approx 1,75\Rightarrow \alpha \approx {{60}^{{}^\circ }}{{15}^{\prime }} $$
Bài 29 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1):
Dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc là:
$$ \cos \alpha =\frac{250}{320}\approx 0,7813\Rightarrow \alpha \approx {{38}^{{}^\circ }}{{37}^{\prime }} $$
Bài 30 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1):
Kẻ BK ⊥ AC (K ∈ AC).
Trong tam giác vuông BKC có:
∠KBC = 90o – 30o = 60o
=> ∠KBA = 60o – 38o = 22o
BC = 11 (cm) => BK = 5,5 (cm) ( tính chất cạnh đối diện góc 30° trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền )
Xét tam giác ABK vuông tại K:
$$ \cos KBA=\frac{BK}{AB}=>AB=\frac{BK}{\cos KBA}=\frac{5,5}{\cos {{22}^{0}}}\approx 5,93(~\text{cm}) $$
Xét tam giác ANB vuông tại N: $$ \sin ABN=\frac{AN}{AB} $$
=> AN = ABsinABN = 5,93.sin38° ≈ 3,65(cm)
b) Xét tam giác ANC vuông tại N: $$ \sin ACN=\frac{AN}{AC} $$
$$ AC=\frac{AN}{\sin ACN}\approx \frac{3,65}{\sin {{30}^{0}}}\approx 7,3(~\text{cm}) $$
Bài 31 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1):
a) AB = AC.sinC = 8.sin54o = 6,47 (cm)
b) Trong tam giác ACD, kẻ đường cao AH.
Ta có: AH = AC . sinACH = 8.sin74o 7,69 (cm)
$$ \operatorname{sinD}=\frac{\text{AH}}{\text{AD}}\text{ }=\frac{7,69}{9,6}=0,801=>\widehat{\text{ADC}}=\widehat{\text{D}}={{53}^{{}^\circ }} $$
Bài 32 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1):
Kí hiệu như hình vẽ, trong đó:
AB là chiều rộng của khúc sông (cũng chính là đường đi của thuyền khi không có nước chảy).
AC là đoạn đường đi của chiếc thuyền (do nước chảy nên thuyền bị lệch).
Theo đề bài: v = 2km/h ; t = 5 phút = 1/12 h
$$ A\mathbf{C}=S=v.t=2.\frac{1}{12}=\frac{1}{6} $$
Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:
$$ AB=AC\cdot \sin C=\frac{1}{6}\cdot \sin {{70}^{{}^\circ }}\approx 0,1566(~\text{km}) $$
Vậy chiều rộng khúc sông là 0,1566 km = 156,6 m.