Bài 3. Liên hệ phép nhân với phép khai phương

BÀI 3: LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định lý

Với hai số a,b không âm, ta có \[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} \] .

Với hai biểu thức A, B không âm ta có \[ \sqrt{A.B}=\sqrt{A}\cdot \sqrt{B} \]

Đặc biệt với biểu thức A không âm ta có \[ {{(\sqrt{A})}^{2}}=\sqrt{{{A}^{2}}}=A \]

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp:

Áp dụng công thức khai phương một tích

Với hai biểu thức A, B không âm ta có \[ \sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot \sqrt{B} \]

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Phương pháp:

-Áp dụng công thức khai phương một tích

Với hai biểu thức A, B không âm ta có \[ \sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot \sqrt{B} \]

-Áp dụng hằng đẳng thức \[ {{(\sqrt{A})}^{2}}=\sqrt{{{A}^{2}}}=A \] .

Dạng 3: Giải phương trình

Phương pháp:

Sử dụng công thức khai phương một tích để đưa phương trình đã cho về các dạng quen thuộc

\(\sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} B\ge 0 \\ A={{B}^{2}} \\ \end{array} \right. \)

\(\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} B\ge 0\text{ (hay }A\ge 0) \\ A=B \\ \end{array} \right. \)

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 18 (trang 14 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

\[\sqrt{7}.\sqrt{63}=\sqrt{7.63}=\sqrt{7.7.9}=\sqrt{{{(7.3)}^{2}}}=21\]
\[\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}=\sqrt{2,5.30.48}=\sqrt{25.3.48}=\sqrt{25.144}=\sqrt{{{(5.12)}^{2}}}=60\]
\[\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}=\sqrt{0,4.6,4}=\sqrt{0,04.64}=\sqrt{{{(0,2.8)}^{2}}}=1,6\]
\[\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}=\sqrt{2,7.5.1,5}=\sqrt{9.0,3.5.5.0,3}=\sqrt{{{(3.5.0,3)}^{2}}}=4,5\]

Bài 19 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

\(\begin{array}{*{35}{l}}\text{ a) }\sqrt{0,36{{\text{a}}^{2}}}=\sqrt{0,36}\cdot \sqrt{{{\text{a}}^{2}}}=0,6.\text{a}=-0,6\text{a} \\ \text{ b) }\sqrt{{{\text{a}}^{4}}{{(3-\text{a})}^{2}}}=\sqrt{{{\text{a}}^{4}}}\cdot \sqrt{{{(3-\text{a})}^{2}}}={{\text{a}}^{2}}\cdot 3-\text{a}\mid ={{\text{a}}^{2}}(\text{a}-3) \\ \text{ (v }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ a}\ge 3\Rightarrow \text{a}-3\ge 3) \\ \text{ c) }\sqrt{27.48{{(1-\text{a})}^{2}}}=\sqrt{9.3.3.16.{{(1-\text{a})}^{2}}} \\ =\sqrt{{{(9.4)}^{2}}}\cdot \sqrt{{{(1-\text{a})}^{2}}}=36|1-\text{a}|=36(\text{a}-1) \\ \text{ (v }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ a}>1\Rightarrow \text{a}-1>0) \\ \text{ d) }\frac{1}{\text{a}-\text{b}}\sqrt{{{\text{a}}^{4}}{{(\text{a}-\text{b})}^{2}}}=\frac{1}{\text{a}-\text{b}}\cdot {{\text{a}}^{2}}|\text{a}-\text{b}| \\ =\frac{1}{\text{a}-\text{b}}\cdot {{\text{a}}^{2}}(\text{a}-\text{b})={{\text{a}}^{2}} \\ \end{array}\)

Bài 20 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

Ta có:

\[\sqrt{\frac{2a}{3}}\cdot \sqrt{\frac{3a}{8}}=\sqrt{\frac{2a}{3}\cdot \frac{3a}{8}}=\sqrt{\frac{2a\cdot 3a}{3.8}}\]

\[=\sqrt{\frac{(2.3)\cdot (a\cdot a)}{3.8}}=\sqrt{\frac{6{{a}^{2}}}{24}}\]

\[=\sqrt{\frac{6{{a}^{2}}}{6.4}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{2}}}}\]

\[=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\left| \frac{a}{2} \right|=\frac{a}{2}\]

\[\text{ V }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ }a\ge 0\text{ n }\!\!\hat{\mathrm{e}}\!\!\text{ n }\frac{a}{2}\ge 0\Rightarrow \left| \frac{a}{2} \right|=\frac{a}{2}\]

Ta có:

\[\sqrt{13a}\cdot \sqrt{\frac{52}{a}}\text{ }=\sqrt{13a\cdot \frac{52}{a}}=\sqrt{\frac{13a\cdot 52}{a}}\]

\[=\sqrt{\frac{13a\cdot (13.4)}{a}}=\sqrt{\frac{(13.13)\cdot 4\cdot a}{a}}\]

\[=\sqrt{{{13}^{2}}\cdot 4}=\sqrt{{{13}^{2}}}\cdot \sqrt{4}\]

\[=\sqrt{{{13}^{2}}}\cdot \sqrt{{{2}^{2}}}=13.2=26\quad (\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ }a>0)\]

Do a ≥ 0 nên bài toán luôn xác định. Ta có:

\[\sqrt{5a}.\sqrt{45a}-3a=\sqrt{5a.45a}-3a\]

\[=\sqrt{(5.a)\cdot (5.9.a)}-3a\]

\[=\sqrt{(5.5).9.(a.a)}-3a\]

\[=\sqrt{{{5}^{2}}{{.3}^{2}}\cdot {{a}^{2}}}-3a\]

\[=\sqrt{{{5}^{2}}}\cdot \sqrt{{{3}^{2}}}\cdot \sqrt{{{a}^{2}}}-3a\]

\[=5.3.|a|-3a=15|a|-3a\]

\[=15a-3a=(15-3)a=12a\] (Vì a ≥ 0 nên |a| = a)

Ta có:

\[{{(3-a)}^{2}}-\sqrt{0,2}\cdot \sqrt{180{{a}^{2}}}\text{ }=\sqrt{0,2\cdot 180{{a}^{2}}}\]

\[={{(3-a)}^{2}}-\sqrt{0,2\cdot (10.18)\cdot {{a}^{2}}}\]

\[={{(3-a)}^{2}}-\sqrt{(0,2.10)\cdot 18\cdot {{a}^{2}}}\]

\[={{(3-a)}^{3}}-\sqrt{2.18\cdot {{a}^{2}}}={{(3-a)}^{2}}-\sqrt{36{{a}^{2}}}\]

\[={{(3-a)}^{2}}-\sqrt{36}\cdot \sqrt{{{a}^{2}}}={{(3-a)}^{2}}-\sqrt{{{6}^{2}}}\cdot \sqrt{{{a}^{2}}}\]

\[={{(3-a)}^{2}}-6.|a|\]

Trường hợp 1: \[a\ge 0\Rightarrow |a|=a\]

Do đó:

\[{{(3-a)}^{2}}-6|a|\text{ }={{(3-a)}^{2}}-6a\]

\[=\left( {{3}^{2}}-2.3\cdot a+{{a}^{2}} \right)-6\]

\[=\left( 9-6a+{{a}^{2}} \right)-6a\]

\[=9-6a+{{a}^{2}}-6a\]

\[={{a}^{2}}+(-6a-6a)+9\]

\[={{a}^{2}}+(-12a)+9\]

\[={{a}^{2}}-12a+9\]

Trường hợp 2: \[a<0\Rightarrow |a|=-a\]

Do đó:

\[{{(3-a)}^{2}}-6|a|\text{ }={{(3-a)}^{2}}-6.(-a)\]

\[=\left( {{3}^{2}}-2.3\cdot a+{{a}^{2}} \right)-(-6a)=\left( 9-6a+{{a}^{2}} \right)+6a\]

\[=9-6a+{{a}^{2}}+6a={{a}^{2}}+(-6a+6a)+9\]

\[={{a}^{2}}+9\]

Vậy \[{{(3-a)}^{2}}-\sqrt{0,2}\cdot \sqrt{180{{a}^{2}}}={{a}^{2}}-12a+9\] nếu a \[\ge \] 0

\[{{(3-a)}^{2}}-\sqrt{0,2}\cdot \sqrt{180{{a}^{2}}}={{a}^{2}}+9\] nếu a < 0

Bài 21 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

- Chọn B

- Vì ta có:

\[\sqrt{12.30.40}=\sqrt{36.400}=\sqrt{{{(6.20)}^{2}}}=120\]

Bài 22 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1

Lời giải:

\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ a) }\sqrt{{{13}^{2}}-{{12}^{2}}}=\sqrt{(13-12)(13+12)} \\ =\sqrt{1.25}=5 \\ \text{ b) }\sqrt{{{17}^{2}}-{{8}^{2}}}=\sqrt{(17-8)(17+8)} \\ =\sqrt{9.25}=3.5=15 \\ \text{ c) }\sqrt{{{117}^{2}}-{{108}^{2}}}=\sqrt{(117-108)(117+108)} \\ =\sqrt{9.225}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{225}=3.15=45 \\ \text{ d) }\sqrt{{{313}^{2}}-{{312}^{2}}}=\sqrt{(313-312)(313+312)} \\ =\sqrt{1.625}=\sqrt{{{25}^{2}}}=25 \\ \end{array}\)

Bài 23 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

\[\text{VT}=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})={{2}^{2}}-{{(\sqrt{3})}^{2}}=4-3=1=\text{VP}\]

Vậy \[\text{ }(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1\]

\[(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})\cdot (\sqrt{2006}+\sqrt{2005})\]

\[={{(\sqrt{2006})}^{2}}-{{(\sqrt{2005})}^{2}}=2006-2005=1\]

Vậy \[\text{ }(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})\] là 2 số nghịch đảo của nhau

Bài 24 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

\(\begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{4{{\left( 1+6x+9{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{\left[ 1+2.3x+{{(3x)}^{2}} \right]}^{2}}} \\ =\sqrt{4{{\left[ {{(1+3x)}^{2}} \right]}^{2}}}=2{{(1+3x)}^{2}}=2{{(1+3x)}^{2}} \\ \end{array}\)

(vì (1 + 3x)2 > 0)

Thay x = \[\sqrt{2}\] vào ta được:

2[1 + 3.(- \[\sqrt{2}\])]2 = 2(1 - 3\[\sqrt{2}\])2

= 2(1 - 6\[\sqrt{2}\] + 32.2) = 2 - 12\[\sqrt{2}\] + 36

= 38 - 12\[\sqrt{2}\] = 38 - 12.1,414 = 38 - 16,968

= 21,032

\(\begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{9{{a}^{2}}\left( {{b}^{2}}+4-4b \right)}=\sqrt{9{{a}^{2}}\left( {{b}^{2}}-2.2\cdot b+{{2}^{2}} \right)} \\ =\sqrt{9{{a}^{2}}{{(b-2)}^{2}}}=|3a|\cdot b-2\mid \\ \end{array}\)

Thay a = -2, b = -\[\sqrt{3}\] ta được:

|3(-2)|.|- \[\sqrt{3}\] - 2| = 6(\[\sqrt{3}\] + 2)

= 6(1,732 + 2) = 6.3,732

= 22,392

Bài 25 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) \[\sqrt{16x}\] = 8 (điều kiện: x ≥ 0)

⇔ 16x = 82 ⇔ 16x = 64 ⇔ x = 4

(Hoặc: \[\sqrt{16x}\]= 8 ⇔ \[\sqrt{16}\].\[\sqrt{x}\]= 8

⇔ 4\[\sqrt{x}\]= 8 ⇔ \[\sqrt{x}\]= 2 ⇔ x = 4)

b) điều kiện: x ≥ 0

\[\sqrt{4x}=\sqrt{5}\Leftrightarrow 4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\Leftrightarrow x=1,25\]

c) điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 (*)

\(\begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{9(x-1)}=21\Leftrightarrow \sqrt{9}\cdot \sqrt{x-1}=21\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=21 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x-1}=7\Leftrightarrow x-1=49\Leftrightarrow x=50 \\ \end{array}\)

d) Vì (1 - x)2 ≥ 0 ∀x nên phương trình xác định với mọi giá trị của x.

\[\sqrt{4{{(1-x)}^{2}}}-6=0\Leftrightarrow \sqrt{4{{(1-x)}^{2}}}=6\Leftrightarrow 2|1-x|=6\]

- Khi 1 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1

Ta có: 2|1 – x| = 6 ⇔ 2(1 – x) = 6 ⇔ 2(1 – x) = 6

⇔ –2x = 4 ⇔ x = –2 (nhận)

- Khi 1 – x < 0 ⇔ x > 1

Ta có: 2|1 – x| = 6 ⇔ 2[– (1 – x)] = 6

⇔ x – 1 = 3 ⇔ x = 4 (nhận)

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = - 2; x = 4

Bài 26 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

Ta có:

\[\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\]

\[\sqrt{25}+\sqrt{9}\]\[=\sqrt{{{5}^{2}}}+\sqrt{{{3}^{2}}}=5+3\]

\[=8=\sqrt{{{8}^{2}}}=\sqrt{64}\]

\[\text{ V }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ }34<64\]

Vậy\[\text{ }\sqrt{25+9}<\sqrt{25}+\sqrt{9}\]

Ta có:

\[{{(\sqrt{a+b})}^{2}}\text{ }=a+b{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{2}}\text{ }\]

\[={{(\sqrt{a})}^{2}}+2\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}+{{(\sqrt{b})}^{2}}=a+2\sqrt{ab}+b\]

\[=(a+b)+2\sqrt{ab}\]

Vì a>0, b>0 nên \[\sqrt{ab}>0\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}>0\]

\(\begin{array}{*{35}{l}} \Leftrightarrow (a+b)+2\sqrt{ab}>a+b \\ \Leftrightarrow {{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{2}}>{{(\sqrt{a+b})}^{2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}(\text{ dpcm }) \\ \end{array}\)

Bài 27 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) Ta có: 2 = \[\sqrt{4}\] > \[\sqrt{3}\]nên 2.2 > 2\[\sqrt{3}\]

Vậy \[\sqrt{4}\] > 2\[\sqrt{3}\]

b) Ta có: \[\sqrt{5}\] > \[\sqrt{4}\] = 2 nên \[\sqrt{5}\] > 2

Vậy -\[\sqrt{5}\] < -2

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 Bài 3. Liên hệ phép nhân với phép khai phương do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Đánh giá (367)