Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

HÌNH CẦU

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Hình cầu.

Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu.

+ Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu.

+ Điểm O được gọi tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.

2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng

Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn.

Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn:

+ Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn).

+ Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm.

3. Diện tích – thể tích của hình cầu

Cho hình cầu bán kính R.

+ Diện tích mặt cầu: S = 4πR2

+ Thể tích hình cầu: \[V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\]

II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 30 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Ta có: \[\text{V}=\frac{4}{3}\pi {{\text{R}}^{3}}\Rightarrow \text{R}=\sqrt[3]{\frac{3~\text{V}}{4\pi }}\]

Với \[\text{V}=113\frac{1}{7}=\frac{792}{7};\pi \approx \frac{22}{7}\]

\[\Rightarrow \text{R}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot \frac{792}{7}}{4\cdot \frac{22}{7}}}=\sqrt[3]{27}=3(~\text{cm})\] .

Bài 31 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Cách tính:

Dòng thứ nhất : S = 4πR2 . Thay số vào ta được

R = 0,3 mm ⇒ S = 4.3,14. 0,32 = 1,13 (mm2)

R = 6,21 dm ⇒ S = 4.3,14. 6,212 = 484,37 (dm2)

R = 0,283 m ⇒ S = 4.3,14. 0,2832 = 1,01 (m2)

R = 100 km ⇒ S = 4.3,14. 1002 = 125600 (km2)

R = 6 hm ⇒ S = 4.3,14. 62 = 452,16 (hm2)

R = 50 dam ⇒ S = 4.3,14. 50 2= 31400 (dam2)

Dòng thứ hai : V = 4/3 πR3 thay số vào ta được :

R = 0,3 mm ⇒ V = 4/3.3,14.0,33 = 0,113 (mm3)

R = 6,21 dm ⇒ V = 4/3.3,14. 6,213 = 1002,64 (dm3)

R = 0,283 m ⇒ V = 4/3.3,14. 0,283 3= 0,095 (m3)

R = 100 km ⇒ V = 4/3.3,14. 1003 = 4186666,67 (km3)

R = 6 hm ⇒ V = 4/3.3,14. 63 = 904,32 (hm3)

R = 50 dam ⇒ V = 4/3.3,14. 503 = 523333,34 (dam3)

Bài 32 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh của một hình trụ bán kính đường tròn đáy r (cm), chiều cao là 2r (cm) và một mặt cầu bán kính r (cm).

Diện tích xung quanh của hình trụ:

Sxq = 2πrh = 2πr.2r = 4πr2

Diện tích mặt cầu:

S = 4πr2

Diện tích cần tính là:

4πr2 + 4πr2 = 8πr2

Bài 33 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Cách tính:

+ Quả bóng gôn:

d = 42,7mm ⇒ R = d/2 = 21,35 mm

⇒ Độ dài đường tròn lớn: C = 2π.R=2.3,14.21,35 ≈ 134,08 (mm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = πd2 = 3,14.(42,7)2 ≈ 5725 mm2 = 57,25 (cm2).

⇒ Thể tích khối cầu:

\[V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot {{(21,35)}^{2}}=40743,85\left( ~\text{m}{{\text{m}}^{3}} \right)\approx 40,74\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\] .

+ Quả khúc côn cầu:

C = πd = 23cm ⇒ \[d=\frac{23}{\pi }\] ≈ 7,32 (cm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = πd2=3,14.(7,32)2 = 168,25 (cm2).

⇒ Thể tích khối cầu: \[V=\frac{1}{6}\pi {{d}^{3}}=\frac{1}{6}\cdot 3,14\cdot {{(7,32)}^{3}}=205,26\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)\] .

+ Quả ten-nít: d = 6,5cm

⇒ Độ dài đường tròn lớn: C = π.d = 3,14.6,5 = 20,41 (cm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = πd2= 3,14.(6,5)2=132,67 (cm2)

⇒ Thể tích khối cầu: \[V=\frac{1}{6}\pi {{d}^{3}}=\frac{1}{6}\cdot 3,14\cdot {{(6,5)}^{3}}=143,72\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)\] 

+ Quả bóng bàn: d = 40mm

⇒ Độ dài đường tròn lớn C = π.d =3,14.40 ≈ 125,6 (mm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = π.d2=3,14.402 = 5024 (mm2)

⇒ Thể tích khối cầu: \[V=\frac{1}{6}\pi {{d}^{3}}=\frac{1}{6}\cdot 3,{{14.40}^{3}}=33493,33\left( ~\text{m}{{\text{m}}^{2}} \right)\approx 33,49\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\] .

+ Quả bi-a: d = 61mm

⇒ Độ dài đường tròn lớn C = π.d =3,14.61 = 191,54 (mm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = π.d2=3,14.612 ≈ 11683,94 (mm2)

⇒ Thể tích khối cầu: \[V=\frac{1}{6}\pi {{d}^{3}}=\frac{1}{6}\cdot 3,14\cdot {{61}^{3}}\approx 118786,72{{\left( ~\text{m}{{\text{m}}^{3}} \right)}^{5}}\approx 118,79\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\] .

Bài 34 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Diện tích mặt khinh khí cầu là:

S= πd2=3,14.112=379,94 ( m2).

Bài 35 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

Thể tích cần tính gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu.

- Hình cầu có đường kính d = 1,8m ⇒ bán kính R = 0,9m

- Hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình cầu R = 0,9m; chiều cao h = 3,62m.

Thể tích hình trụ: V1 = π.R2.h ≈ 9,21 (m3).

Thể tích hai nửa hình cầu: \[{{V}_{2}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\approx 3,05\] (m3).

Thể tích bồn chứa xăng: V = V1 + V2 ≈ 12,26(m3).

Bài 36 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

a) Ta có: AA’ = AO + OO’ + O’A’

hay 2a = x + h + x

hay 2x + h = 2a.

b) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là x, chiều cao là h và diện tích mặt cầu có bán kính là x.

- Diện tích xung quanh của hình trụ: Strụ = \(2 \pi x h\)

- Diện tích mặt cầu: Scầu = \(4 \pi x^{2}\)

Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy: \(S=2 \pi x h+4 \pi x^{2}=2 \pi x(h+2 x)=4 \pi a\).

Thể tích cần tính gồm thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:

Vtrụ = \(\pi x^{2} h\) \[{{V}_{tru}}=\pi {{x}^{2}}h;{{V}_{c\hat{a}u}}=\frac{4}{3}\pi {{x}^{3}}\] . Vcầu =

Nên thể tích của chi tiết máy là:

\[V={{V}_{tru}}+{{V}_{c\hat{a}u}}=\pi {{x}^{2}}h+\frac{4}{3}\pi {{x}^{3}}=2\pi {{x}^{2}}(\text{a}-\text{x})+\frac{4}{3}\pi {{x}^{3}}=2\pi {{x}^{2}}\text{a}-\frac{2}{3}\pi {{x}^{3}}=2\pi {{x}^{2}}\left( \text{a}-\frac{1}{3}\text{x} \right)\] .

Bài 37 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2):

Lời giải

a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP, BOP (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà AOP kề bù với BOP nên suy ra OM vuông góc với ON.

Vậy ΔMON vuông tại O.

Góc \[\widehat{APB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \[\widehat{APB}=90{}^\circ \] .

Tứ giác AOPM có: \[\widehat{MAO}+\widehat{MPO}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{{}^\circ }}\]

Suy ra, tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn.

\[\Rightarrow \widehat{POM}=\widehat{PAO}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OP).

Xét ∆ MON và ∆ APB có: \[\widehat{MON}=\widehat{APB}={{90}^{0}};\widehat{PMO}=\widehat{PAO}\] .

=> Hai tam giác MON và APB đồng dạng

b)

* Tam giác MON vuông tại O có đường cao OP nên

OP2 = MP. NP (1)

* Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

MA= MP và NB = NP (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OP2 = MA. NB hay R2 = MA. NB ( đpcm)

c) + Theo a, ∆MON và APB đồng dạng với nhau với tỉ số đồng dạng là:

Ta có: \[k=\frac{MN}{AB}=>\frac{{{S}_{MON}}}{{{S}_{APB}}}={{k}^{2}}=\frac{M{{N}^{2}}}{A{{B}^{2}}}\quad (*)\text{ }\]

+ Theo b ta có: \[{{\text{R}}^{2}}=\text{MA}.\text{NB }\]

Lại có \[AM=\frac{R}{2}\] và \[\text{NB}=2\text{R}\] .

Mà \[\text{: MN}=\text{MP}+\text{NP}=\text{MA}+\text{NB}=\frac{R}{2}+2R=\frac{5R}{2}\]

Nên \[\text{M}{{\text{N}}^{2}}=\frac{25{{R}^{2}}}{4}\] . Thay vào (*) ta được: \[\frac{{{S}_{MON}}}{{{S}_{APB}}}=\frac{25{{R}^{2}}}{4\cdot {{(2R)}^{2}}}=\frac{25}{16}(\text{AB}=2\text{R})\] .

d) Nửa hình tròn APB quay quanh AB tạo ta hình cầu có bán kính R.

nên thể tích khối cầu tạo ra là: \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}\).

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hình cầu toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất