BÀI 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Quy tắc thế
Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp:
Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta làm như sau:
Bước 1. Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Để lời giải được đơn giản, ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn (thường là hoặc ) và rút x hoặc y có hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn qua ẩn còn lại.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Phương pháp:
Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.
Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
Một số kiến thức thường sử dụng
+) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}ax+by=c \\ {{a}^{\prime }}x+{{b}^{\prime }}y={{c}^{\prime }} \\ \end{array} \right. \) có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=c \\ {{a}^{\prime }}{{x}_{0}}+{{b}^{\prime }}{{y}_{0}}={{c}^{\prime }} \\ \end{array} \right. \)
+) Đường thẳng d: ax+by=c đi qua điểm \[ M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\Leftrightarrow a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=c \] .
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 12 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-y=3\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ 3x-4y=2\,\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (1) rút ra được y = x – 3
Thế vào phương trình (2) ta được:
3x – 4.(x – 3) = 2 ⇔ 3x – 4x + 12 = 2 ⇔ x = 10
Từ x = 10 ⇒ y = x – 3 = 7.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (10 ; 7).
b) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 7x-3y=5\,\,(1) \\ 4x+y=2\,\,\,\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (2) rút ra được y = -4x + 2.
Thế y = -4x + 2 vào phương trình (1) ta được :
\[ 7x-3(-4x+2)=5\Leftrightarrow 7x+12x-6=5\Leftrightarrow 19x=11\Leftrightarrow x=\frac{11}{19} \]
\[ \Rightarrow \text{y}=-4\text{x}+2=-4\cdot \frac{11}{19}+2=\frac{-6}{19} \]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \left( \frac{11}{19};\frac{-6}{19} \right) \]
c) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+3y=-2 \\ 5x-4y=11 \\ \end{array} \right. \)
Từ (1) rút x theo y ta được: x = -3y – 2
Thế x = -3y – 2 vào phương trình (2) ta được :
\[ 5.(-3y-2)-4y=11\Leftrightarrow -15y-10-4y=11\Leftrightarrow -19y=21\Leftrightarrow y=\frac{-21}{19} \]
\[ \Rightarrow \text{x}=-3\text{y}-2=-3\cdot \frac{-21}{19}-2=\frac{25}{19} \]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \left( \frac{25}{19};\frac{-21}{19} \right) \]
Bài 13 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}3x-2y=11\,\,(1) \\ 4x-5y=3\,\,\,\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (1) ta rút ra được \[ \text{y}=\frac{3}{2}\text{x}-\frac{11}{2}\left( ^{*} \right) \]
Thế (*) vào (2) ta được:
\[ 4x-5\cdot \left( \frac{3}{2}x-\frac{11}{2} \right)=3\Leftrightarrow 4x-\frac{15}{2}x+\frac{55}{2}=3\Leftrightarrow x=7 \]
Thay x = 7 vào (*) ta suy ra \[ \text{y}=\frac{3}{2}\cdot 7-\frac{11}{2}=5 \] .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7 ; 5).
b)
\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1\,\,\,\,\,(1) \\ 5x-8y=3\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (1) ta rút ra được : \[ y=\frac{3}{2}x-3\,(*) \]
Thế (*) vào phương trình (2) ta được :
\[ 5x-8\cdot \left( \frac{3}{2}x-3 \right)=3\Leftrightarrow 5x-12x+24=3\Leftrightarrow -7x=-21\Leftrightarrow x=3 \]
Thay x=3 vào (*) ta suy ra: \[ \text{y}=\frac{3}{2}\cdot 3-3=\frac{3}{2} \]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \left( 3;\frac{3}{2} \right) \]
Bài 14 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \(a)\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y\sqrt{5}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ x\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}\,\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (1) ta rút ra được \[ x=-y\sqrt{5} \] (*)
Thế (*) vào phương trình (2) ta được :
\[ -y\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}\Leftrightarrow -5y+3y=1-\sqrt{5}\Leftrightarrow -2y=1-\sqrt{5}\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \]
Thay \[ y=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \] vào (*) ta được: \[ \text{x}=-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot \sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}-5}{2} \]
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\left( \frac{\sqrt{5}-5}{2};\frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)\]
b) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} (2-\sqrt{3})\text{x}-3\text{y}=2+5\sqrt{3}\,\,(1) \\ 4\text{x}+\text{y}=4-2\sqrt{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (2) ta rút ra được y = -4x + 4 - 2 √3 (*)
Thế (*) vào phương trình (1) ta được:
\[ (2-\sqrt{3})\text{x}-3(-4\text{x}+4-2\sqrt{3})=2+5\sqrt{3}\Leftrightarrow (14-\sqrt{3})\text{x}=14-\sqrt{3}\Leftrightarrow \text{x}=1 \]
Thay x = 1 vào (*) ta được \[ y=-4.1+4-2\sqrt{3}=-2\sqrt{3} \]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ (1;-2\sqrt{3}) \] .
Bài 15 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+3y=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \left( {{a}^{2}}+1 \right)x+6y=2a\,\,\,\,\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (1) rút ra được x = 1 – 3y (*)
Thay vào phương trình (2) ta được :
(a2 + 1).(1 – 3y) + 6y = 2a
⇔ a2 + 1 – 3(a2 + 1)y + 6y = 2a
⇔ a2 +1- 2a = 3a2.y – 6y + 3y
⇔ ( a- 1)2 = 3a2y – 3y
⇔ 3(a2 – 1).y = (a – 1)2 (**)
a) a = -1, phương trình (**) trở thành : 0y = 4
Phương trình trên vô nghiệm
Vậy hệ phương trình khi a = -1 vô nghiệm.
b) a = 0, phương trình (**) trở thành -3y = 1 ⇔ \[ \text{y}=\frac{-1}{3} \]
Thay \[ \text{y}=\frac{-1}{3} \] vào (*) ta được x = 2.
Vậy hệ phương trình khi a = 0 có nghiệm duy nhất \[ \left( 2;\frac{-1}{3} \right) \]
c) a = 1, phương trình (**) trở thành: 0y = 0
Phương trình nghiệm đúng với mọi y.
Vậy hệ phương trình khi a = 1 có vô số nghiệm dạng (1 – 3y; y) (y ∈ R).
Bài 16 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) \(a)\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x-y=5\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ 5x+2y=23\,\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (1) ta rút ra được y = 3x – 5 (*)
Thế (*) vào phương trình (2) ta được :
5x + 2(3x – 5) = 23 ⇔ 5x + 6x – 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔ x = 3.
Thay x = 3 vào (*) ta được y = 3.3 – 5 = 4.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3 ; 4).
b) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x+5y=1\,\,(1) \\ 2x-y=-8\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (2) ta rút ra được y = 2x + 8 (*)
Thế (*) vào phương trình (1) ta được :
3x + 5(2x + 8) = 1 ⇔ 3x + 10x + 40 = 1 ⇔ 13x = -39 ⇔ x = -3.
Thay x = - 3 vào (*) ta được y = 2.(-3) + 8 = 2.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-3 ; 2).
c) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{x}{y}=\frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ x+y-10=0\,\,(2) \\ \end{array} \right. \)
Từ (1) ta rút ra được \[ x=\frac{2}{3}y \] (*)
Thế (*) vào phương trình (2) ta được :
\[ \frac{2}{3}y+y-10=0\Leftrightarrow \frac{5}{3}y=10\Leftrightarrow y=6 \]
Thay y = 6 vào (*) ta được x = 4.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (4 ; 6).
Bài 17 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \( \left\{ \begin{matrix} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x=-y\sqrt{3}+\sqrt{2} \\ \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (-y\sqrt{3}+\sqrt{2})\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x=-y\sqrt{3}+\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} -y(\sqrt{6}+\sqrt{3})=-1 \\ x=-y\sqrt{3}+\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right. \) \(\leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \\ x=-y\sqrt{3}+\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\ x=1 \\ \end{matrix} \right.\)
b)
\( \left\{ \begin{matrix} x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5} \\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10} \\ \end{matrix} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2\sqrt{2}y+\sqrt{5} \\ (2\sqrt{2}y+\sqrt{5})\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10} \\ \end{matrix} \right. \)
\(\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=2\sqrt{2}y+\sqrt{5} \\ y=\frac{1-2\sqrt{10}}{5} \\ \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5} \\ y=\frac{1-2\sqrt{10}}{5} \\ \end{array} \right.\)
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất \[ \left( \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5};\frac{1-2\sqrt{10}}{5} \right) \]
c)
\(\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} (\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2} \\ x+(\sqrt{2}+1)y=1 \\ \end{matrix} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y=(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2} \\ x+(\sqrt{2}+1)[(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}]=1 \\ \end{matrix} \right. \\ & \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y=(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2} \\ x=\frac{3+\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right. \\ & \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y=-\frac{1}{2} \\ x=\frac{3+\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}\)
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất là \[ \left( \frac{3+\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2} \right) \]
Bài 18 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+by=-4 \\ bx-ay=-5 \\ \end{array} \right. \) có nghiệm (1 ; -2) khi và chỉ khi (1;-2) thỏa mãn hệ phương trình. Thay x = 1, y = -2 vào hệ phương trình ta được:
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2-2~\text{b}=-4 \\ ~\text{b}+2\text{a}=-5 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -2~\text{b}=-6 \\ 2\text{a}=-\text{b}-5 \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{b}=3 \\ \text{a}=-4 \\ \end{array} \right. \)
Vậy với a = -4 và b = 3 thì hệ phương trình nhận (1; -2) là nghiệm.
b) Hệ phương trình \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+by=-4 \\ bx-ay=-5 \\ \end{array} \right. \[\) có nghiệm \] (\sqrt{2}-1;\sqrt{2}) \[ khi và chỉ khi (√2 - 1; √2)thỏa mãn hệ phương trình.Thay \] (\sqrt{2}-1;\sqrt{2}) \[ vào hệ phương trình ta được:
\(\begin{align} & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(\sqrt{2}-1)+\text{b}\cdot \sqrt{2}=-4 \\ ~\text{b}\cdot (\sqrt{2}-1)-\text{a}\cdot \sqrt{2}=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{b}\sqrt{2}=-2\sqrt{2}-2 \\ \text{a}\sqrt{2}=\text{b}(\sqrt{2}-1)+5 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} b=-2-\sqrt{2} \\ a=\frac{-2+5\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{align} \)
Vậy \] \text{a}=\frac{-2+5\sqrt{2}}{2};\text{b}=-2-\sqrt{2} \[
Bài 19 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
+ P(x) chia hết cho x + 1
⇔ P(-1) = 0
⇔ m.(-1)3 + (m – 2)(-1)2 – (3n – 5).(-1) – 4n = 0
⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0
⇔ -n – 7 = 0
⇔ n = -7 (1)
+ P(x) chia hết cho x – 3
⇔ P(3) = 0
⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0
⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0
⇔ 36m – 13n = 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{n}=-7 \\ 36~\text{m}-13\text{n}=3 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{n}=-7 \\ ~\text{m}=-\frac{22}{9} \\ \end{array} \right. \right. \)
Vậy \] \text{m}=\frac{-22}{9}\text{;n}=-7
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giải bài tập 3 toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất