LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định lí 1
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
2. Định lí 2
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
3. Bổ sung
+ Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
So sánh các dây cung và so sánh các cung
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các kiên thức:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
+) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
+) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
+) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Sử dụng liên hệ giữa dây và đường kính, định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 10 (trang 71 SGK Toán 9 Tập 2):
Hình 12
Lời giải
a) + Dùng compa vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm.
+ Trên đường tròn lấy điểm A.Nối OA từ đó vẽ góc \[ \widehat{AOB}=60{}^\circ \]
Khi đó ta được cung AB có số đo bằng 60º.
+ ΔAOB có OA = OB, \[ \widehat{AOB}=60{}^\circ \]
⇒ ΔAOB đều
⇒ AB = OA = OB = R = 2cm.
b) Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:
+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R.
+ Trên đường tròn tâm O, lấy điểm A.
+ Vẽ cung tròn tâm A, bán kính R cắt đường tròn tại B và C.
+ Vẽ cung tròn tâm B và C bán kính R cắt đường tròn tâm O tại giao điểm thứ hai là D và E.
+ Vẽ cung tròn tâm E bán kính R cắt đường tròn (O) tại giao điểm thứ hai là F.
Khi đó, ta chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên
Bài 11 (trang 72 SGK Toán 9 tập 2):
Lời giải
a) Vì A,B,C ∈ (O)
⇒ BO = OA = OC
⇒ BO = AC/2.
Tam giác ABC có đường trung tuyến BO và BO bằng một phần hai độ dài cạnh tương ứng AC
=> Tam giác ABC là tam giác vuông tại B ( định lí)
⇒ \[ \widehat{ABC}=90{}^\circ \] .
Chứng minh tương tự
\[ \Rightarrow \widehat{ABD}=90{}^\circ \] .
Đường tròn tâm O và O’ bằng nhau ⇒ AC = AD.(AC,AD lần lượt là bán kính của (O) và (O’))
Xét hai tam giác vuông ΔABC và ΔABD có:
AB chung, AC = AD
⇒ ΔABC = ΔABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ BC = BD(hai cạnh tương ứng)
⇒ \[ \overset\frown{BC}=\overset\frown{BD} \] ( định lý )
b) Xét tam giác AED có đường trung tuyến EO' bằng một phần hai cạnh tương ứng là AD ( O'E = O'A = O'D = AD/2)
=> Tam giác AED vuông tại E
⇒ \[ \widehat{AED}=90{}^\circ \] hay \[ \widehat{CED}=90{}^\circ \]
⇒ ΔECD vuông tại E.
Ta có: \[ \widehat{ABC}=\widehat{ABD}=90{}^\circ \] (cma)
\[ \Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180{}^\circ \]
Suy ra: C, B, D thẳng hàng.
Tam giác ECD vuông có EB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (Vì BC = BD câu (a)).
⇒ EB = BD (CD/2).
⇒ \[ \overset\frown{BE}=\overset\frown{BD} \] (định lý) hay B là điểm chính giữa cung \[ \overset\frown{EBD} \]
Bài 12 (trang 72 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Xét ΔABC có: BC < AB + AC (Bất đẳng thức tam giác)
Mà AD = AC (gt)
⇒ BC < AB + AD = BD
Mà OH là khoảng cách từ O đến dây BC
OK là khoảng cách từ O đến dây BD
⇒ OH > OK.( định lý về khoảng cách từ tâm đến dây)
b) Vì BD > BC
⇒ \[ \overset\frown{BD}>\overset\frown{BC}. \]
Bài 13 (trang 72 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Vẽ đường tròn tâm O, các dây cung AB // CD.
Cần chứng minh \[ \overset\frown{AC}=\overset\frown{BD} \]
Kẻ bán kính MN // AB // CD
MN // AB
\[ \Rightarrow \widehat{MOA}=\widehat{OAB};\widehat{NOB}=\widehat{OBA} \] (các góc so le trong) (1)
Mà \[ OA=OB\Rightarrow \Delta OAB \] cân tại O
\[ \Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA} \] (2)
Từ (1) và (2)
\[\Rightarrow \widehat{MOA}=\widehat{NOB}\Rightarrow \overset\frown{MA}=\overset\frown{NB};\]
Chứng minh tương tự \[\overset\frown{MC}=\overset\frown{ND}\]
+ TH1: AB và CD cùng nằm trong một nửa đường tròn.
\[ \overset\frown{AC}=\overset\frown{AM}-\overset\frown{MA},\text{ }\overset\frown{BD}=\overset\frown{ND}-\overset\frown{NB} \]
Mà \[ \overset\frown{MC}=\overset\frown{ND},\text{ }\overset\frown{MC}=\overset\frown{ND}\Rightarrow \overset\frown{AC}=\overset\frown{BD} \] .
+ TH2: AB và CD thuộc hai nửa đường tròn khác nhau.
\[ \overset\frown{AC}=\overset\frown{AM}+\overset\frown{MA},\text{ }\overset\frown{BD}=\overset\frown{ND}+\overset\frown{NB} \]
Mà \[ \overset\frown{AM}=\overset\frown{BN},\text{ }\overset\frown{MC}=\overset\frown{ND}\Rightarrow \overset\frown{AC}=\overset\frown{BD} \] .
Bài 14 (trang 72 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a)
Vẽ đường tròn tâm O, dây cung AB.
Gọi I là điểm chính giữa của cung AB.
Ta có: \[ \overset\frown{AI}=\overset\frown{BI} \]
\[ \Rightarrow sd\overset\frown{AI}=sd\overset\frown{BI} \]
\[ \Rightarrow \widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{O}_{2}}} \]
Gọi OI ∩ AB = H.
ΔAOH và ΔBOH có: AO = OB, \[ \widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{O}_{2}}} \] ; OH chung
⇒ ΔAOH = ΔBOH (c-g-c)
⇒ AH = BH (hai cạnh tương ứng)
⇒ OI đi qua trung điểm H của AB.
+ Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung đó.
Mệnh đề sai
Ví dụ: Chọn dây cung AB là một đường kính của (O) (AB đi qua O). Khi đó, tồn tại đường kính CD đi qua O là trung điểm của AB nhưng C,D không phải là điểm chính giữa cung AB ( hình vẽ)
Mệnh đề đảo chỉ đúng khi dây cung AB không phải đường kính.
b)
+ Cho đường tròn (O); dây cung AB ;
I là điểm chính giữa cung \[ \overset\frown{AB} \] , H = OI ∩ AB.
⇒ ΔAOH = ΔBOH (cm phần a).
\[ \Rightarrow \widehat{AHO}=\widehat{BHO} \]
Mà \[ \widehat{AHO};\widehat{BHO} \] là hai góc kề bù
\[ \Rightarrow \widehat{AHO}=\widehat{BHO}=90{}^\circ \]
⇒ OH ⊥ AB.
Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.
+ Cho đường tròn (O); dây cung AB.
Kẻ đường thẳng OH ⊥ AB (H ∈ AB) cắt đường tròn tại I.
Ta có: ΔABO cân tại O (vì AO = OB = R).
⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác
\[ \Rightarrow \widehat{AOH}=\widehat{BOH} \] hay \[ \widehat{AOI}=\widehat{BOI} \]
\[ \Rightarrow \overset\frown{AI}=\overset\frown{BI} \]
⇒ I là điểm chính giữa của cung \[ \overset\frown{AB} \] .
Vậy đường kính vuông góc với dây căng cung thì đi qua điểm chính giữa của cung.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa liên hệ giữa cung và dây toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất