HÌNH NÓN - HÌNH NÓN CỤT - DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hình nón
Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh OA cố định thì được một hình nón.
+ Điểm A được gọi đỉnh của hình nón.
+ Hình tròn (O) được gọi là đáy của hình nón.
+ Mỗi vị trí của AC được gọi là một đường sinh của hình nón.
+ Đoạn AO được gọi là đường cao của hình nón.
2. Diện tích – thể tích của hình nón
Đặt AC = l; l là đường sinh
Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.
+ Diện tích xung quanh: Sxq = πRl
+ Diện tích toàn phần: Stp = πRl + πR2
+ Thể tích: \[ V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{3}} \] .
3. Hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt phẳng đáy được gọi là một hình nón cụt.
+ Hai hình tròn (O) và (O') được gọi là hai đáy.
+ Đoạn OO' được gọi là trục. Độ dài OO' là chiều cao.
+ Đoạn AC được gọi là đường sinh.
4. Diện tích – thể tích hình nón cụt
Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l.
+ Diện tích xung qaunh: Sxq = π(R + r)l
+ Thể tích: \[ V=\frac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}} \right) \] .
II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 15 (trang 117 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Ta có đường tròn đáy của hình nón nội tiếp trong hình vuông của một mặt của hình lập phương. Do đo bán kính của hình tròn đáy của hình nón bằng một nửa của cạnh hình lập phương và bằng 0,5.
b) Đỉnh của hình nón tiếp xúc với một mặt của hình lập phương nên đường cao của hình nón bằng với cạnh của hình lập phương và bằng 1.
Theo định lí Pitago, độ dài đường sinh của hình nón là:
\[ l=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2} \] .
Bài 16 (trang 117 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Độ dài \[ l \] của cung hình quạt tròn bán kính 6cm bằng chu vi đáy hình nón:
\[ l=2\pi .2=4\pi \] .
Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn \[ {{x}^{0}} \] ta có: \[ l=\frac{\pi Rx}{180}=4\pi \Rightarrow x=\frac{4.180}{6}=120{}^\circ \] .
Bài 17 (trang 117 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Theo đề bài: \[ \widehat{CAO}=30{}^\circ \] \[ \Rightarrow \widehat{CAB}=60{}^\circ \]
mà AB = AC
⇒ ΔABC đều
⇒ BC = AC = a
⇒ bán kính đáy hình nón: r = BO = BC/2 = a/2
⇒ Chu vi hình tròn đáy: C = 2πr = πa
Khai triển mặt xung quanh hình nón ta được hình quạt AOB có bán kính R = a.
Độ dài cung AB: \[ l=\frac{\pi .a.x}{180} \] .
Ta luôn có: l = C ⇒ \[ \frac{\pi .a.x}{180}=\pi a\Rightarrow x=180{}^\circ \] .
Bài 18 (trang 117 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Nếu gọi O là giao điểm của BC và AD. Khi quay hình ABCD quanh BC thì có nghĩa là quay tam giác vuông OAB quanh OB và tam giác vuông OCD quanh OC. Mỗi hình quay sẽ tạo ra một hình nón. Vậy hình tạo ra sẽ là hai hình nón.
Vậy chọn D.
Bài 19 (trang 118 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Khi khai triển mặt xung quanh của hình nón, ta được một hình quạt có bán kính bằng độ dài đường sinh.
Đề bài cho ta bán kính hình tròn chứa hình quạt là 16cm nên độ dài đường sinh của hình nón là 16cm.
Vậy chọn A.
Bài 20 (trang 118 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải:
Bài 21 (trang 118 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Diện tích vải cần có để làm nên cái mũ gồm diện tích xung quanh của hình nón và diện tích của vành nón.
Bán kính đường tròn đáy của hình nón: \[ r=\frac{35=2.10}{2}=7,5\left( \text{cm} \right) \] .
Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π.r.l = π.7,5.30 = 225π (cm2)
Diện tích vành nón (hình vành khăn): \[ \pi {{\left( \frac{35}{2} \right)}^{2}}-\pi .{{\left( 7,5 \right)}^{2}}=250\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \] .
Diện tích vải cần để may: 225π + 250π = 475π ≈ 1492,3 (cm2).
Bài 22 (trang 118 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Chiều cao của mỗi hình nón là: \[ \frac{h}{2} \] .
Thể tích của hai hình nón là: \[ 2{{V}_{n}}=2.\frac{1}{3}.\pi {{R}^{2}}\frac{h}{2}=\frac{\pi {{R}^{2}}h}{3} \] .
Thể tích hình trụ: \[ {{V}_{t}}=\pi {{R}^{2}}h \] .
Khi đó, ta có: \[ \frac{2{{V}_{n}}}{{{V}_{t}}}=\frac{\frac{\pi {{R}^{2}}h}{3}}{\pi {{R}^{2}}h}=\frac{1}{3} \] .
Bài 23 (trang 119 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Diện tích hình quạt: \[ {{S}_{q}}=\frac{\pi {{R}^{2}}n}{360}=\frac{\pi {{l}^{2}}90}{360}=\frac{\pi {{l}^{2}}}{4} \] .
Diện tích xung quanh hình nón: \[ {{S}_{xq}}=\pi rl \] .
Theo đầu bài, ta có: \[ {{S}_{xq}}={{S}_{q}}\Rightarrow \pi rl=\frac{\pi {{l}^{2}}}{4}\Leftrightarrow l=4r \] .
Xét \[ \Delta SOA \] vuông tại O :
Ta có : \[\sin \alpha =\frac{OA}{SA}=\frac{r}{l}=\frac{1}{4}\Rightarrow \alpha \approx 14{}^\circ 28'\].
Vậy \[\alpha \approx 14{}^\circ 28'\].
Bài 24 (trang 119 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Đường sinh của hình nón \[ l=16 \] .
Độ dài cung AB của đường tròn chứa hình quạt là: \[ \frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \ln }{180}=\frac{\pi .16.120}{180}=\frac{32\pi }{3} \] .
Chu vi đường tròn đáy là \[ 2\pi r \] và bằng độ dài cung \[ \overset\frown{AB} \]
\[ \Rightarrow 2\pi r=\frac{32\pi }{3}\Rightarrow r=\frac{16}{3} \] .
Xét \[ \Delta SOA \] vuông tại O, ta có:
\[ h=\sqrt{{{16}^{2}}-{{\left( \frac{16}{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{16}^{2}}\left( 1-\frac{1}{9} \right)}=16\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{32\sqrt{2}}{3} \] .
\[ \Rightarrow \tan \alpha =\frac{r}{h}=\frac{16}{3}:\frac{32\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{4} \] .
Bài 25 (trang 119 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt ta có:
\[ {{S}_{xq}}=\pi \left( {{r}_{1}}+{{r}_{2}} \right)l=\pi \left( a+b \right)l \] .
Bài 26 (trang 119 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
| Bán kính đáy r(cm) | Đường kính đáy d(cm) | Chiều cao h(cm) | Độ dài đường sinh l(cm) | Thể tích V(cm3) |
| 5 | 10 | 12 | 13 | 314 |
| 8 | 16 | 15 | 17 | 320 π |
| 7 | 14 | 24 | 25 | 392 π |
| 20 | 40 | 21 | 29 | 2800 π |
Bài 27 (trang 119 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Thể tích cần tính gồm một hình trụ, đường kính đáy 1,4m, chiều cao 70cm = 0,7m, và một hình nón, bán kính đáy bằng bán kính đáy của hình trụ, chiều cao hình nón 0,9m.
Thể tích hình trụ:
\[ {{V}_{t}}=\pi {{r}^{2}}h=\pi .0,{{7}^{2}}.0,9=0,343\pi \left( {{\text{m}}^{3}} \right) \]
Thể tích hình nón:
\[ {{V}_{n}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .0,{{7}^{2}}.0,9=0,147\pi \left( {{\text{m}}^{3}} \right) \]
Vậy thể tích cái phễu là: \[ {{V}_{t}}+{{V}_{n}}=0,147\pi +0,343\pi =0,49\pi \approx 1,539\left( {{\text{m}}^{3}} \right) \] .
b) Diện tích cần tìm gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích xung quanh hình nón.
Đường sinh của hình nón là: \[ l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{0,{{9}^{2}}+{{\left( \frac{1,4}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{1,3}\approx 1,14\left( m \right) \] .
Diện tích xung quanh hình trụ: \[ {{S}_{xqt}}=2\pi rl=2\pi {{\left( \frac{1,4}{2} \right)}^{2}}\sqrt{1,3}\approx 3,077\left( {{\text{m}}^{2}} \right) \]
Diện tích xung quanh hình nón: \[ {{S}_{xqn}}=\pi rl=\pi {{\left( \frac{1,4}{2} \right)}^{2}}\sqrt{1,3}\approx 2,506\left( {{\text{m}}^{2}} \right) \] .
Vậy diện tích mặt ngoài của phễu: \[ {{S}_{xqt}}+{{S}_{xqn}}=3,077+2,056=5,133\left( {{\text{m}}^{2}} \right) \] .
Bài 28 (trang 120 SGK Toán 9 Tập 2):
Hình 101
Lời giải
a) Gọi l là đường sinh của hình nón lớn
Áp dụng định lý Ta – let ta có:
\[ \frac{l-36}{l}=\frac{9}{21}\Leftrightarrow 7(l-36)=3l\Leftrightarrow 4l=252\Leftrightarrow l=63 \]
Vậy độ dài đường sinh của hình nón nhỏ là: 63 – 36 = 27
Diện tích xung quanh của hình nón lớn:
\[ {{S}_{1}}=\pi rl=3,14.21,63=4154,22\left( c{{m}^{2}} \right) \]
Diện tích xung quanh của hình nón nhỏ:
\[ {{S}_{1}}=\pi rl=3,14.9.27=763,02\left( c{{m}^{2}} \right) \]
Diện tích xung quanh của xô là: \[ S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=4154,22-763,02=3391.2\left( c{{m}^{2}} \right) \] .
b) Chiều cao của hình nón lớn: \[ \text{h}=\sqrt{{{63}^{2}}-{{21}^{2}}}=\sqrt{3528}=59,397(~\text{cm)} \]
Chiều cao của hình nón nhỏ: \[ H'=\sqrt{{{27}^{2}}-{{9}^{2}}}=\sqrt{648}=25,456(~\text{cm}) \]
Thể tích của hình nón lớn: \[ V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}~\text{h}=\frac{1}{3}\cdot 3,{{14.21}^{2}}.59,397\text{ }=27416,467\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\text{ } \]
Thể tích của hình nón nhỏ: \[ V=\frac{1}{3}\pi r{{'}^{2}}~\text{h }\!\!'\!\!\text{ }=\frac{1}{3}\cdot 3,{{14.9}^{2}}.25,456\text{ }=2158,160\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\text{ } \]
Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung dịch của nó là:
\[ V={{V}_{nl}}-{{V}_{nn}}=27416,467-2158,160=25258,307\left( c{{m}^{3}} \right)=2,53\left( d{{m}^{3}} \right) \]
Bài 29 (trang 120 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Ta có: \[ \text{V}=\frac{1}{3}\pi \cdot {{\text{r}}^{2}}~\text{h}\Rightarrow \text{r}=\sqrt{\frac{3~\text{V}}{\pi \cdot \text{h}}}\text{V}=17600~\text{c}{{\text{m}}^{3}}; \]
\[ \Rightarrow \text{r}=\sqrt{\frac{3.17600}{\pi .42}}\approx 20(~\text{cm}) \] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hình nón hình nón cụt diện tích xung quanh và thể tích của hình nón hình nón cụt toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất