BÀI 2: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ax+by=c & (1) \\ {{a}^{\prime }}x+{{b}^{\prime }}y={{c}^{\prime }} & (2) \\ \end{array} \right. \)
- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung (x0,y0) thì (x0, y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng d: ax+by=c và d’: a’x+b’y=c’
Trường hợp 1. \[ d\cap {{d}^{\prime }}=A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) \] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ;
Trường hợp 2. d//d’ .Hệ phương trình vô nghiệm;
Trường hợp 3. \[ d\equiv {{d}^{\prime }} \] Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \frac{a}{{{a}^{\prime }}}\ne \frac{b}{{{b}^{\prime }}} \]
Hệ phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \frac{a}{{{a}^{\prime }}}=\frac{b}{{{b}^{\prime }}}\ne \frac{c}{{{c}^{\prime }}} \] ;
Hệ phương trình có vô số nghiệm \[ \Leftrightarrow \frac{a}{{{a}^{\prime }}}=\frac{b}{{{b}^{\prime }}}=\frac{c}{{{c}^{\prime }}} \]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.
Phương pháp:
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}ax+by=c & (1) \\ {{a}^{\prime }}x+{{b}^{\prime }}y={{c}^{\prime }} & (2) \\ \end{array} \right. \)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \frac{a}{{{a}^{\prime }}}\ne \frac{b}{{{b}^{\prime }}} \]
Hệ phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \frac{a}{{{a}^{\prime }}}=\frac{b}{{{b}^{\prime }}}\ne \frac{c}{{{c}^{\prime }}} \] ;
Hệ phương trình có vô số nghiệm \[ \Leftrightarrow \frac{a}{{{a}^{\prime }}}=\frac{b}{{{b}^{\prime }}}=\frac{c}{{{c}^{\prime }}} \]
Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?
Phương pháp:
Cặp số là nghiệm của hệ phương trình khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp:
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}ax+by=c & (1) \\ {{a}^{\prime }}x+{{b}^{\prime }}y={{c}^{\prime }} & (2) \\ \end{array} \right. \) bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:
Bước 1. Vẽ hai đường thẳng d: ax+by=c và a’x+b’y=c’ trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm củ hai đường thẳng.
Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 (hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng).
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 4 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=3-2x \\ y=3x-1 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=-2x+3 \\ y=3x-1 \\ \end{array} \right. \right. \)
a) Xét (d): y = -2x + 3 có a = -2; b = 3
(d’) : y = 3x – 1 có a’ = 3 ; b’ = -1.
Có a ≠ a’ ⇒ (d) cắt (d’)
⇒ Hệ \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=3-2x \\ y=3x-1 \\ \end{array} \right. \) có nghiệm duy nhất.
b) \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=-\frac{1}{2}x+3(d) \\ y=-\frac{1}{2}x+1\left( {{d}^{\prime }} \right) \\ \end{array} \right. \)
Xét d: \[ \text{y}=-\frac{1}{2}\text{x}+3 \] có: \[ a=\frac{-1}{2};b=3 \]
d’: \[ \text{y}=-\frac{1}{2}\text{x}+1 \] có: \[ {{a}^{\prime }}=\frac{-1}{2};{{b}^{\prime }}=1 \]
Có: \[ a={{a}^{\prime }};b\ne {{b}^{\prime }}\Rightarrow (d)//\left( {{d}^{\prime }} \right) \]
Suy ra hệ vô nghiệm.
c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2\text{y}=-3\text{x} \\ 3\text{y}=2\text{x} \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{y}=\frac{-3}{2}\text{x} \\ \text{y}=\frac{2}{3}\text{x} \\ \end{array} \right. \right. \)
Xét (d): \[ y=\frac{-3}{2}x \] có \[ a=\frac{-3}{2};b=0 \]
\[ \left( {{\text{d}}^{\prime }} \right):\text{y}=\frac{2}{3}\text{x ; }{{\text{a}}^{\prime }}=\frac{2}{3};{{\text{b}}^{\prime }}=0 \]
Ta có: \[ a\ne {{a}^{\prime }}\Rightarrow \] (d) cắt (d’)
Suy ra hệ \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2y=-3x \\ 3y=2x \\ \end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.
d) Ta có:
\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x-y=3 \\ x-\frac{1}{3}y=1 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=3x-3 \\ \frac{1}{3}y=x-1 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=3x-3 \\ y=3x-3 \\ \end{array} \right. \right. \right. \)
Ta có: \[ a={{a}^{\prime }}=3;b={{b}^{\prime }}=-3 \]
Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau
⇒ Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 5 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Xét hệ (I): \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=1 \\ x-2y=-1 \\ \end{array} \right. \)
Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x – y = 1 và (d’): x – 2y = -1 trên mặt phẳng tọa độ.
+ Xét đường thẳng (d): 2x – y = 1 hay (d) : y = 2x – 1
Chọn x = 0 ⇒ y = -1.
Chọn y = 0 ⇒ x = \[ \frac{1}{2} \]
⇒ (d) đi qua hai điểm (0; -1) và \[ \left( \frac{1}{2};0 \right) \]
+ Xét (d’) : x – 2y = -1 hay (d’): \[ \text{y}=\frac{1}{2}\text{x}+\frac{1}{2} \]
Chọn x = 0 ⇒ y = \[ \frac{1}{2} \]
Chọn y = 0 ⇒ x = -1.
⇒ (d’) đi qua hai điểm \[ \left( 0;\frac{1}{2} \right) \] và (-1; 0).
Dựa vào đồ thị thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 1).
Thử lại, thay x =1, y=1 vào các phương trình của hệ (I) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1-1=1 \\ 1-2.1=-1 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1=1 \\ -1=-1 \\ \end{array} \right. \right. \) ( luôn đúng)
Vậy hệ phương trình (I) có một nghiệm là (1; 1)
b) Xét (II): \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+y=4 \\ -x+y=1 \\ \end{array} \right. \)
Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x + y = 4 và (d’): -x + y = 1 trên mặt phẳng tọa độ.
+ Xét (d): 2x + y = 4 hay (d): y = -2x + 4
Chọn x = 0 ⇒ y = 4
Chọn y = 0 ⇒ x = 2.
⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).
+ Xét (d’) : -x + y = 1 hay (d’) : y = x + 1.
Chọn x = 0 ⇒ y = 1
Chọn y = 0 ⇒ x = -1.
⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 1) và (-1; 0).
Nhận thấy (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 2).
Thử lại , thay x =1, y=2 vào các phương trình của hệ (II) ta được:
\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1+2=4 \\ -1+2=1 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4=4 \\ 1=1 \\ \end{array} \right. \right. \)
Vậy hệ phương trình (II) có đúng một nghiệm là (1; 2).
Bài 6 (trang 11-12 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
- Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng ∅.
- Bạn Phương nhận xét sai.
Ví dụ: Xét hai hệ \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-y=0 \\ 2x-2y=0 \\ \end{array} \right. \) và \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=0 \\ 3x+3y=0 \\ \end{array} \right. \)
Hệ \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-y=0 \\ 2x-2y=0 \\ \end{array} \right. \) có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (I) được biểu diễn bởi đường thẳng x – y = 0.
Hệ \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=0 \\ 3x+3y=0 \\ \end{array} \right. \)có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (II) được biểu diễn bởi đường thẳng x + y = 0.
Bài 7 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) + Xét phương trình 2x + y = 4 (1) ⇔ y = -2x + 4
Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát là (x ; -2x + 4) (x ∈ R).
+ Xét phương trình 3x + 2y = 5 (2) ⇔ \[ y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} \]
Vậy phương trình (2) có nghiệm tổng quát là : \[ \left( x;\frac{-3}{2}x+\frac{5}{2} \right) \] (x ∈ R).
b) Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) là đường thẳng
(d) : y = -2x + 4.
Chọn x = 0 ⇒ y = 4
Chọn y = 0 ⇒ x = 2.
⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (2) là đường thẳng (d’) : \[ y=\frac{-3}{2}x+\frac{5}{2} \]
Chọn x = 0 ⇒ y = 2,5.
Chọn y = 0 ⇒ \[ x=\frac{5}{3} \]
⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 2,5) và \[ \left( \frac{5}{3};0 \right) \]
Hai đường thẳng cắt nhau tại A(3; -2).
Vậy (3; -2) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).
Bài 8 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=2 \\ 2x-y=3 \\ \end{array} \right. \)
Đường thẳng (d): x = 2 song song với trục tung.
Đường thẳng (d’): 2x – y = 3 không song song với trục tung
⇒ (d) cắt (d’)
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.
Vẽ (d): x = 2 là đường thẳng đi qua (2 ; 0) và song song với trục tung.
Vẽ (d’): 2x - y = 3
- Cho x = 0 ⇒ y = -3 được điểm (0; -3).
- Cho y = 0 ⇒ x = 1,5 được điểm (1,5 ; 0).
Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A(2; 1).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1).
b) \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+3y=2 \\ 2y=4 \\ \end{array} \right. \)
Đường thẳng (d): x + 3y = 2 không song song với trục hoành
Đường thẳng (d’): 2y = 4 hay y = 2 song song với trục hoành
⇒ (d) cắt (d’)
⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Vẽ (d1): x + 3y = 2
- Cho y = 0 ⇒ x = 2 được điểm (2; 0).
- Cho x = 0 ⇒ y = \[ \frac{2}{3} \] được điểm (0; \[ \frac{2}{3} \] ).
Vẽ (d2): y = 2 là đường thẳng đi qua (0; 2) và song song với trục hoành.
05
Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A(-4; 2).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2).
Bài 9 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) (I): \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=2 \\ 3x+3y=2 \\ \end{array} \right. \)
Xét (d): x + y = 2 hay (d): y = -x + 2 có a = -1; b = 2.
(d’) 3x + 3y = 2 hay (d’): y = -x + \[ \frac{2}{3} \] có a’ = -1 ; b’ = \[ \frac{2}{3} \]
Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)
⇒ Hệ (I) vô nghiệm.
b) (II): \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x-2y=1 \\ -6x+4y=0 \\ \end{array} \right. \)
Xét: (d): 3x – 2y = 1 hay (d): \[ \text{y}=\frac{3}{2}\text{x}-\frac{1}{2}\text{;}\,\,\text{a}=\frac{3}{2};\text{b}=\frac{-1}{2} \]
(d’): -6x + 4y = 0 hay (d’): \[ \text{y}=\frac{3}{2}\text{x;}\,\,{{\text{a}}^{\prime }}=\frac{3}{2};{{\text{b}}^{\prime }}=0 \]
Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)
⇒ Hệ (II) vô nghiệm.
Bài 10 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a)
\((I):\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-4y=2 \\ -2x+2y=-1 \\ \end{array} \right. \)
Xét (d): 4x-4y=2
\[ \Leftrightarrow y=x-\frac{1}{2} \]
\[ \left( {{d}^{\prime }} \right):-2x+2y=-1\Leftrightarrow y=x-\frac{1}{2} \]
Nhận thấy \[ a=a'=1;b=b'=\frac{-1}{2} \]
Do đó: (d) và (d’) trùng nhau
Vậy hệ pt có vô số nghiệm.
b)
\((II):\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{3}x-y=\frac{2}{3} \\ x-3y=2 \\ \end{array} \right. \)
Xét: \[ (d):\frac{1}{3}x-y=\frac{2}{3}\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3};\,\,\left( {{d}^{\prime }} \right):x-3y=2\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} \]
Nhận thấy: \[ a=a'=\frac{1}{3};\,\,b=b'=\frac{-2}{3} \]
Do đó (d) và (d’) trùng nhau.
Vậy hpt có vô số nghiệm.
Bài 11 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Nếu một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm phân biệt
⇒ Hệ đó có vô số nghiệm.
Vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình của hệ có hai điểm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hệ hai phương trình hai ẩn toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất