BÀI 2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ \[y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)\]
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất cảu đồ thị.
2. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 5 đến 7 giá trị) tương ứng giữa x và y.
Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.
* Chú ý: vì đồ thị hàm số y =ax2 (a ≠ 0) luôn đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này , ta chỉ cần tìm một số điểm bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Cách tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.
Bước 2: Giải phương trình bậc hai, tìm hoành độ giao điểm.
Bước 3: Tìm tung độ giao điểm (nếu có).
Bước 4: Kết luận.
Cách biện luận số giao điểm của đường thẳng và parabol
Dạng 4.2.1. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng bằng phương pháp đại số:
Bước 1:Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.
Bước 2:Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng theo số nghiệm của phương trình (số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm).
+) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ((d) và (P) có hai điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ < 0).
+) (d) tiếp xúc với (P) ((d) và (P) có một điểm chung) phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép ( hoặc ).
+) (d) và (P) không cắt nhau phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).
Bước 3: Kết luận.
Dạng 4.2.2. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng bằng phương pháp hình học:
Trường hợp đường thẳng cho trước là đường thẳng (d): y = m(m ≠ 0) song song với trục hoành Ox.
Bước 1:Quan sát và biện luận số giao điểm dựa vào đồ thị của parabol và đường thẳng.
- Trường hợp 1: Nếu hàm số y = ax2 có hệ số a > 0 thì đồ thị là đường cong parabol (P) nằm phía trên trục hoành Ox. Do đó,
+) Nếu m > 0 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
+) Nếu m = 0 thì (d) tiếp xúc với (P).
+) Nếu m < 0 thì (d) và (P) không có điểm chung.
- Trường hợp 2: Nếu hàm số y = ax2 có hệ số a < 0 thì đồ thị là đường cong parabol (P) nằm phía dưới trục hoành Ox. Do đó,
+) Nếu m < 0 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
+) Nếu m = 0 thì (d) tiếp xúc với (P).
+) Nếu m > 0 thì (d) và (P) không có điểm chung.
Cách làm bài toán parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về tọa độ giao điểm
Cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n.
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.
ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx - n = 0 (*)
Bước 2: Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:
- TH1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).
- TH2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).
Bước 3: Xét điều kiện về tọa độ giao điểm:
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có tung độ dương ⇒ a > 0.
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có tung độ âm ⇒ a < 0.
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dấu ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm cùng dấu \[ \Leftrightarrow P=-\frac{n}{a}>0 \] hay a.n < 0.
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ dương ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & S=\frac{m}{a}>0 \\ & P=-\frac{n}{a}>0 \\ \end{align} \right. \)
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ âm ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & S=\frac{m}{a}<0 \\ & P=-\frac{n}{a}<0 \\ \end{align} \right. \)
+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu \[ \Leftrightarrow P=-\frac{n}{a}<0 \] hay a.n > 0.
+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi biểu thức.
Bước 4: Kết luận.
Cách làm bài toán parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm
Cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n.
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.
ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx - n = 0 (*)
Bước 2: Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:
- TH1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).
- TH2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).
Bước 3:Xét điều kiện về vị trí giao điểm:
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía trên trục hoành ⇒ a > 0.
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía dưới trục hoành ⇒ a < 0.
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm cùng phía so với trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm cùng dấu \[ \Leftrightarrow P=-\frac{n}{a}>0 \] hay a.n < 0.
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên phải trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & S=\frac{m}{a}>0 \\ & P=-\frac{n}{a}>0 \\ \end{align} \right. \)
+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên trái trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & S=\frac{m}{a}<0 \\ & P=-\frac{n}{a}<0 \\ \end{align} \right. \)
+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu \[ \Leftrightarrow P=-\frac{n}{a}<0 \] hay a.n > 0.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 4 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 2):
+) \[y=\frac{3}{2}{{x}^{2}}\]
\[ x \] | – 2 | – 1 | 0 | 1 | 2 |
\[y=\frac{3}{2}{{x}^{2}}\] | 6 | \[ \frac{3}{2} \] | 0 | \[ \frac{3}{2} \] | 6 |
+) \[y=\frac{3}{2}{{x}^{2}}\]
\[ x \] | – 2 | – 1 | 0 | 1 | 2 |
| \[y=-\frac{3}{2}{{x}^{2}}\] | 6 | \[ \frac{3}{2} \] | 0 | \[ \frac{3}{2} \] | 6 |
+) Vẽ đồ thị
Ta lấy các điểm \[\left( -2;6 \right),\left( -1;\frac{3}{2} \right),\left( 0;0 \right),\left( 1;\frac{3}{2} \right),\left( 2;6 \right)\]
trên trục tọa độ Oxy.
Bài 5 (trang 37 SGK Toán 9 Tập 2):
b) Vẽ đường thẳng \[ x=-1.5 \] cắt các hàm số \[ y=\frac{1}{2}{{x}^{2}};\text{ }y={{x}^{2}};\text{ }y=2{{x}^{2}} \] lần lượt tại A, B, C.
Thay \[ x=-1.5 \] vào \[ y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\Rightarrow y=\frac{1}{2}.{{\left( -1,5 \right)}^{2}}=\frac{1}{2}.{{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{9}{8}; \]
Thay \[ x=-1.5 \] vào \[ y={{x}^{2}}\Rightarrow y={{\left( -1,5 \right)}^{2}}={{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{9}{4}; \]
Thay \[ x=-1.5 \] vào \[ y=2{{x}^{2}}\Rightarrow y=2.{{\left( -1,5 \right)}^{2}}=2.{{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{9}{2}; \]
c) Vẽ đường thẳng \[ x=1.5 \] cắt các hàm số \[ y=\frac{1}{2}{{x}^{2}};\text{ }y={{x}^{2}};\text{ }y=2{{x}^{2}} \] lần lượt tại A’, B’, C’.
Thay \[ x=1.5 \] vào \[ y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\Rightarrow y=\frac{1}{2}.{{\left( 1,5 \right)}^{2}}=\frac{1}{2}.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{9}{8}; \]
Thay \[ x=1.5 \] vào \[ y={{x}^{2}}\Rightarrow y={{\left( 1,5 \right)}^{2}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{9}{4}; \]
Thay \[ x=1.5 \] vào \[ y=2{{x}^{2}}\Rightarrow y=2.{{\left( 1,5 \right)}^{2}}=2.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{9}{2}; \]
d) Hàm số có giá trị nhỏ nhất ⇔ y nhỏ nhất.
Dựa vào đồ thị nhận thấy cả ba hàm số đạt y nhỏ nhất tại điểm O(0; 0).
Vậy ba hàm số trên đều đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0.
Bài 6 (trang 38 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho \[ y=f\left( x \right)={{x}^{2}} \]
a) Ta có bảng giá trị sau
\[ x \] | – 2 | – 1 | 0 | – 1 | – 2 |
\[ y={{x}^{2}} \] | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Ta lấy các điểm \[\left( -2;4 \right),\left( -1;1 \right),\left( 0;0 \right),\left( -1;1 \right),\left( 2;4 \right)\] trên trục tọa độ Oxy.
b) \[ f\left( -8 \right)={{\left( -8 \right)}^{2}}=64; \]
\[ f\left( -1,3 \right)={{\left( -1,3 \right)}^{2}}=1,69; \]
\[ f\left( -0.75 \right)={{\left( -0.75 \right)}^{2}}=0.5625; \]
\[ f\left( 1,5 \right)={{\left( 1,5 \right)}^{2}}=2,25; \]
c) Để ước lượng giá trị (0,5)2 ta tìm điểm A thuộc đồ thị có hoành độ là 0,5. Khi đó, tung độ của điểm A chính là giá trị (0,5)2. Từ điểm (0,5;0) trên trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với Oy cắt đồ thị tại điểm A. Từ điểm A trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Ox ta xác định được giá trị của (0,5)2 – Để ước lượng giá trị (-1,5)2 ta tìm điểm B thuộc đồ thị có hoành độ là -1,5. Khi đó, tung độ của điểm B chính là giá trị (-1,5)2. Từ điểm (-1,5;0) trên trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với Oy cắt đồ thị tại điểm B. Từ điểm B trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Ox ta xác định được giá trị của (-1,5)2 |
|
– Để ước lượng giá trị (2,5)2 ta tìm điểm C thuộc đồ thị có hoành độ là 2,5. Khi đó, tung độ của điểm C chính là giá trị (2,5)2. Từ điểm (2,5;0) trên trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với Oy cắt đồ thị tại điểm C. Từ điểm C trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Ox ta xác định được giá trị của (2,5)2 Trên đồ thị hàm số, lấy các điểm M, N, P có hoành độ lần lượt bằng -1,5 ; 0,5 và 2,5. Dựa vào đồ thị nhận thấy các điểm M, N, P có tọa độ là : M(-1,5 ; 2,25) ; N(0,5 ; 0,25) ; P(2,5 ; 6,25). Vậy (0,5)2 = 2,25 ; (-1,5)2 = 2,25 ; (2,5)2 = 6,25. | |
d)
– Để ước lượng vị trí điểm biểu diễn số √3 trên trục hoành ta tìm điểm M thuộc đồ thị có tung độ là (√3)2 = 3. Khi đó, hoành độ của điểm M chính là vị trí điểm biểu diễn √3. Từ điểm (0;3) trên trục tung ta kẻ đường thẳng song song với Ox cắt đồ thị tại điểm M. Từ điểm M trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Oy ta xác định được hoành độ của điểm M chính là vị trí điểm biểu diễn √3 – Để ước lượng vị trí điểm biểu diễn số √7 trên trục hoành ta tìm điểm N thuộc đồ thị có tung độ là (√7)2 = 7. Khi đó, hoành độ của điểm N chính là vị trí điểm biểu diễn √7. Từ điểm (0;7) trên trục tung ta kẻ đường thẳng song song với Ox cắt đồ thị tại điểm N. |
|
Từ điểm N trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Oy ta xác định được hoành độ của điểm N chính là vị trí điểm biểu diễn √7 Ta có : (√3)2 = 3 ; (√7)2 = 7 ⇒ Các điểm (√3 ; 3) và (√7 ; 7) thuộc đồ thị hàm số y = x2. Để xác định các điểm √3 ; √7 trên trục hoành, ta lấy trên đồ thị hàm số các điểm A, B có tung độ lần lượt là 3 và 7. | |
Bài 7 (trang 38 SGK Toán 9 Tập 2):
a) Dựa trên hình 10 ta thấy điểm M có tọa độ (2; 1).
M thuộc đồ thị hàm số y = ax2
\[ \Leftrightarrow 1=a{{.2}^{2}}\Leftrightarrow a\cdot 4=1\Leftrightarrow a=\frac{1}{4} \] .
Vậy \[ a=\frac{1}{4} \] .
b) Với x = 4 ta có \[y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}=\frac{1}{4}{{4}^{2}}=4.\]
Vậy điểm A(4 ; 4) thuộc đồ thị hàm số \[y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}\]
c) Chọn x = -2 ⇒ \[y=\frac{1}{4}{{\left( -2 \right)}^{2}}=1\]
Vậy (-2; 1) thuộc đồ thị hàm số.
Chọn x = -4 ⇒ \[y=\frac{1}{4}{{\left( -4 \right)}^{2}}=1\]
Vậy (-4; 4) thuộc đồ thị hàm số.
* Vẽ đồ thị:
Bài 8 (trang 38 SGK Toán 9 Tập 2):
a) Ta có đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (-2 ; 2)
\[ \Rightarrow 2=a\cdot {{(-2)}^{2}}\Rightarrow a\cdot 4=2\Rightarrow a=\frac{1}{2} \]
Vậy \[ a=\frac{1}{2} \]
b) Tại x = -3 ta có: \[\text{y}=\frac{1}{2}{{\left( -3 \right)}^{2}}=\frac{9}{2}\]
Vậy điểm có hoành độ x = -3 thì tung độ bằng 4,5.
c) Hoành độ các điểm có tung độ y =8 thỏa mãn phương trình:
\[ \frac{1}{2}{{x}^{2}}=8 \] ⇔ x2 = 16 ⇔ x = 4 hoặc x = -4.
Vậy các điểm thuộc parabol có tung độ bằng 8 là (4; 8) và (-4; 8).
Bài 9 (trang 39 SGK Toán 9 Tập 2):
a)
- Vẽ đường thẳng y = -x + 6
Cho x = 0 ⇒ y = 6 được điểm (0, 6)
Cho y = 0 ⇒ x = 6 được điểm (6, 0)
⇒ Đường thẳng y = -x + 6 đi qua các điểm (6; 0) và (0; 6).
- Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số \[ y=\frac{1}{3}{{x}^{2}} \]
\(\begin{align} & x=3\Rightarrow y=\frac{1}{3}\cdot {{3}^{2}}=3 \\ & x=-3\Rightarrow y=\frac{1}{3}\cdot {{(-3)}^{2}}=3 \\ & x=6\Rightarrow y=\frac{1}{3}\cdot {{6}^{2}}=12 \\ & x=-6\Rightarrow y=\frac{1}{3}\cdot {{(-6)}^{2}}=12 \\ \end{align} \)
⇒ Parabol đi qua các điểm (3; 3); (-3; 3); (-6; 12); (6; 12); (0; 0).
b)Xét phương trình hoành độ giao điểm
Với \[ x=3\Rightarrow y=-3+6=3 \]
Với \[ x=-6\Rightarrow y=-(-6)+6=12 \]
Vậy giao điểm của hai đồ thị \[ (3;3);(-6;12). \]
Bài 10 (trang 39 SGK Toán 9 Tập 2):
- Lập bảng giá trị:
| x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| y = -0,75x2 | -12 | -3 | 0 | -3 | -12 |
- Vẽ đồ thị:
- Quan sát đồ thị hàm số y = -0,75x2:
Khi x tăng từ -2 đến 4, y tăng từ -3 đến 0 rồi lại giảm xuống -12.
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của y = -12 đạt được khi x = 4
Giá trị lớn nhất của y = 0 đạt được khi x = 0.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đồ thị hàm số y=ax2 toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất