Bài 1. Nhắc lại và bổ sung khái niệm hàm số và đồ thị hàm số

BÀI 1: NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khái niệm hàm số

+) Nếu đại lượng \(y\) phụ thuộc vào đại lượng thay đổi \(x\) sao cho với mỗi giá trị của \(x\), ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của \(y\) thì \(y\) gọi là hàm số của \(x\) (\(x\) gọi là biến số).
Ta viết : \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), …

+) Giá trị của hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) kí hiệu là \(f\left( {{x_0}} \right)\).

+) Tập xác định \(D\) của hàm số \(f\left( x \right)\) là tập hợp các giá trị của \(x\) sao cho \(f\left( x \right)\) có nghĩa.

+) Khi \(x\) thay đổi mà \(y\) luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) gọi là hàm hằng.

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) sao cho \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn hệ thức \(y = f\left( x \right)\)

Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập \(D\). Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên \(D \) \(\Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)
- Hàm số nghịch biến trên \(D\) \( \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1 : Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Phương pháp:

Để tính giá trị \({y_0}\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) ta thay \(x = {x_0}\) vào \(f\left( x \right)\), ta được \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).

Dạng 2 : Biểu diễn tọa độ của một điểm và xác định điểm thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp:

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Dạng 3 : Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.

Bước 2: Giả sử \({x_1} < {x_2}\) và \({x_1},{x_2} \in D\). Xét hiệu \(H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)\).

+ Nếu \(H < 0\) với \({x_1},{x_2}\) bất kỳ thì hàm số đồng biến.

+ Nếu \(H > 0\) với \({x_1},{x_2}\) bất kỳ thì hàm số nghịch biến.

Dạng 4 : Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số \(y = ax\left( {a \ne 0} \right)\)

Phương pháp:

+) Đồ thị hàm số dạng \(y = ax{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) và điểm \(E\left( {1;a} \right)\).

+) Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Khi đó độ dài đoạn thẳng \(AB\) được tính theo công thức:\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 44 SGK Toán 9 Tập 1):

a)

\(\begin{array}{ll} f(-2)=\frac{2}{3}(-2)=\frac{-4}{3} ; & \quad f(-1)=\frac{2}{3}(-1)=\frac{-2}{3} \\ f(0)=\frac{2}{3}(0)=0 ; & f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3} \\ f(1)=\frac{2}{3}(1)=\frac{2}{3} ; \\ f(3)=\frac{2}{3}(3)=2 \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l} \mathrm{g}(-2)=\frac{2}{3}(-2)+3=\frac{-4}{3}+3=\frac{5}{3} \\ \mathrm{~g}(-1)=\frac{2}{3}(-1)+3=\frac{-2}{3}+3=\frac{7}{3} \\ \mathrm{~g}(0)=\frac{2}{3}(0)+3=3 \\ \mathrm{~g}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}+3=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3} \\ \mathrm{~g}(1)=\frac{2}{3}(1)+3=\frac{2}{3}+3=\frac{11}{3} \\ \mathrm{~g}(2)=\frac{2}{3}(2)+3=\frac{4}{3}+3=\frac{13}{3} \\ \mathrm{~g}(3)=\frac{2}{3}(3)+3=\frac{6}{3}+3=\frac{15}{3} \end{array}\)

c)

Từ kết quả câu a, b ta được bảng sau:

Bài 2 (trang 45 SGK Toán 9 Tập 1):

\(\begin{array}{l} x=-2,5 \Rightarrow y=-\frac{1}{2}(-2,5)+3=4,25 \\ x=-2 \quad \Rightarrow y=-\frac{1}{2}(-2)+3=1+3=4 \\ x=-1,5 \Rightarrow y=-\frac{1}{2}(-1,5)+3=0,75+3=3,75 \\ x=-1 \quad \Rightarrow y=-\frac{1}{2}(-1)+3=\frac{1}{2}+3=3,5 \\ x=-0,5 \Rightarrow y=-\frac{1}{2}(-0,5)+3=0,25+3=3,25 \\ x=0 \quad \Rightarrow y=-\frac{1}{2}(0)+3=3 \\ x=1 \quad \Rightarrow y=-\frac{1}{2} \cdot 1+3=2,5 \\ x=1,5 \Rightarrow y=-\frac{1}{2}(1,5)+3=-0,75+3=2,25 \\ x=2 \quad \Rightarrow y=-\frac{1}{2}(2)+3=-1+3 \\ x=2,5 \Rightarrow y=-\frac{1}{2}(2,5)+3=-1,25+3=1,75 \end{array}\)

Ta được bảng sau:

b) Hàm số đã cho là hàm số nghịch biến trên R vì khi giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi.

Bài 3 (trang 45 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) - Với hàm số y = 2x

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số y = 2x đi qua gốc tọa độ và điểm A( 1;2)

- Với hàm số y = -2x

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số y = -2x đi qua gốc tọa độ và điểm B( 1; - 2)

Bài 4 (trang 45 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

- Cách vẽ:

+ Cho x = 1 ta được y = \[ \sqrt{3} \] .1 = \[ \sqrt{3} \] 

+ Dựng điểm A(1; \[ \sqrt{3} \] ). Vẽ đường thẳng qua O, A được đồ thị hàm số y = \[ \sqrt{3} \] x.

- Các bước vẽ đồ thị hàm số y = \[ \sqrt{3} \] x.

+ Dựng điểm B(1; 1). Vẽ OB ta được

\[ \text{OB}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2} \] 

+ Dựng điểm \[\sqrt{2}\] trên trục hoành Ox: vẽ cung tròn bán kính OC = \[\sqrt{2}\], cắt Ox tạ điểm có hoành độ là \[\sqrt{2}\].

+ Dựng điểm D(\[\sqrt{2}\]; 1). Vẽ OD ta được

\[ \text{OD}=\sqrt{{{(\sqrt{2})}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3} \] 

+ Dựng điểm \[ \sqrt{3} \] trên trục tung Ox: Vẽ cung tròn bán kính OD = \[ \sqrt{3} \] cắt Oy tại điểm có tung độ là \[ \sqrt{3} \] 

+ Dựng điểm A(1; √3)

+ Vẽ đường thẳng O, A ta được đồ thị hàm số y = \[ \sqrt{3} \] x.

b) - Ta có O(x1 = 0, y1 = 0) và A(x2 = 1, y2 = 2) thuộc đồ thị hàm số y = 2x, nên với x1 < x2 ta được f(x1) < f(x2).

Vậy hàm số y = 2x đồng biến trên R.

- Lại có O(x1 = 0, y1 = 0) và B(x3 = 1, y3 = -2) thuộc đồ thị hàm số y = -2x, nên với x1 < x3 ta được f(x1) < f(x3).

Vậy hàm số y = -2x nghịch biến trên R.

Bài 5 (trang 45 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị:

b) - Từ hình vẽ ta có: yA = yB = 4 suy ra:.

+ Hoành độ của A: 4 = 2.xA => xA = 2 (*)

+ Hoành độ của B: 4 = xB => xB = 4

=> Tọa độ 2 điểm là: A(2, 4); B(4, 4)

- Tìm độ dài các cạnh của ΔOAB

\(\begin{array}{*{35}{l}}\text{OA}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}(~\text{cm})  \\    \text{OB}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}(~\text{cm})  \\    \text{AB}=4-2=2(~\text{cm})  \\ \end{array} \)

- Chu vi \[ \Delta OAB \] :

\[ \text{OA}+\text{OB}+\text{AB}=\sqrt{20}+\sqrt{32}+2=2\sqrt{5}+4\sqrt{2}+2=12,13(~\text{cm}) \] 

Diện tích tam giác OAB:

\[ {{\text{S}}_{\text{OKB}}}-{{\text{S}}_{\text{OKA}}}=\frac{1}{2}OK\cdot KB-\frac{1}{2}OK.KA=\frac{1}{2}4.4-\frac{1}{2}4.2=4\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \] 

Bài 6 (trang 45 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

a) Sau khi tính giá trị của mỗi giá trị theo các giá trị của x đã cho ta được bảng sau:

b) Nhận xét: Cùng một giá trị của biến x, giá trị của hàm số y = 0,5x + 2 luôn luôn lớn hơn giá trị tương ứng của hàm số y = 0,5x là 2 đơn vị.

Bài 7 (trang 46 SGK Toán 9 Tập 1):

Lời giải:

Cho x các giá trị bất kì x1, x2 sao cho x1 < x2

=> x1 - x2 < 0

Ta có: f(x1) = 3x1 ; f( x2) = 3x2

=> f(x1) - f(x2) = 3x1 - 3x2 = 3(x1 - x2) < 0

=> f(x1) < f(x2)

Vậy với x1 < x2 ta được f(x1) < f(x2) nên hàm số y = 3x đồng biến trên tập hợp số thực R.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số toán học 10, toán 10 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất