BÀI 1: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho tam giác vuông tại A, đường cao AH . Khi đó ta có các hệ thức sau:
\(\begin{align} & +)A{{B}^{2}}=BH.BC\,\,\,hay\,\,\,{{c}^{2}}=a.c' \\ & +)A{{C}^{2}}=CH.BC\,\,hay\,\,\,{{b}^{2}}=ab' \\ & +)AB.AC=BC.AH\,\,hay\,\,cb=ah \\ & +)H{{A}^{2}}=HB.HC\,\,hay\,\,{{h}^{2}}=b'.c' \\ & +)\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}\,\,hay\,\,\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}} \\ & +)B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\,\,(Pitago). \\ \end{align}\)
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
Phương pháp:
Sử dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan giữa các yếu tố trong tam giác vuông
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các kiến thức:
- Đưa về hai tam giác đồng dạng có chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.
-Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để chứng minh.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 trang 68 SGK Toán 9 tập 1
a)
Áp dụng định lý Pi ta go vào tam giác vuông ABC vuông tại A:
$$ BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=10 $$
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC:
$$ A{{B}^{2}}=BC.BH\Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{{{6}^{2}}}{10}=3,6 $$
Ta có: $$ HC=BC-BH=10-3,6=6,4 $$
Vậy $$ x=BH=3,6;y=HC=6,4 $$
b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC:
$$ A{{B}^{2}}=BH.BC\Leftrightarrow {{12}^{2}}=20.x\Rightarrow x=\frac{{{12}^{2}}}{20}=7,2 $$
$$ HC=BC-BH=20-7,2=12,8 $$
Vậy $$ x=BH=7,2;y=HC=12,8 $$
Bài 2 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1):
Đặt tên các đỉnh như hình vẽ:
BC = BH + HC = 1 + 4= 5
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
$$ A{{B}^{2}}=BH.BC=1.5=5\Rightarrow x=AB=\sqrt{5}\, $$
$$ A{{C}^{2}}=CH.BC=4.5=20\Rightarrow y=AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\, $$
Bài 3 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1):
Áp dụng định lí Pitago ta có:
$$ y=\sqrt{{{5}^{2}}+{{7}^{2}}}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}=8,6 $$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
$$ x.y=5.7\Rightarrow x=\frac{35}{\sqrt{74}}=\frac{35\sqrt{74}}{74}=4,1 $$
Bài 4 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$$ {{2}^{2}}=1.x=>x=4 $$
$$ {{y}^{2}}=x(1+x)=4(1+4)=20=>y=\sqrt{20}=2\sqrt{5} $$
Bài 5 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
ΔABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và đường cao AH như trên hình.
Theo định lí Pitago ta có:
$$ \text{BC}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 $$
Theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông:
$$ \text{A}{{\text{B}}^{2}}=\text{BH}.\text{BC}\Rightarrow \text{BH}=\frac{\text{A}{{\text{B}}^{2}}}{\text{BC}}=\frac{{{3}^{2}}}{5}=1,8 $$
$$ \text{A}{{\text{C}}^{2}}=\text{CH}.\text{BC}\Rightarrow \text{CH}=\frac{\text{A}{{\text{C}}^{2}}}{\text{BC}}=\frac{{{4}^{2}}}{5}=3,2 $$
$$ AH\cdot BC=AB.AC\Rightarrow \text{AH}=\frac{\text{AB}.\text{AC}}{\text{BC}}=\frac{3.4}{5}=2,4 $$
Bài 6 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.
BC = BH + HC = 1 + 2 = 3
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
$$ \text{A}{{\text{B}}^{2}}=\text{BH}.\text{BC}=1.3=3=>\text{AB}=\sqrt{3} $$
$$ \text{A}{{\text{C}}^{2}}=\text{HC}.\text{BC}=2.3=6=>\text{AC}=\sqrt{6} $$
Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.
Bài 7 (trang 69-70 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- Cách 1: (h.8)
Theo cách dựng, ΔABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó ΔABC vuông tại A.
Vì vậy $$ \text{A}{{\text{H}}^{2}}=\text{BH}.\text{CH}\,\,hay\,\,{{\text{x}}^{2}}=\text{ab} $$
Đây chính là hệ thức (2) hay cách vẽ trên là đúng.
Cách 2: (h.9)
Theo cách dựng, ΔDEF có đường trung tuyến DO bằng một nửa cạnh EF, do đó ΔDEF vuông tại D.
Vậy $$ \text{D}{{\text{E}}^{2}}=EI.EF\,\,hay\,\,{{\text{x}}^{2}}=\text{a}.\text{b} $$
Đây chính là hệ thức (1) hay cách vẽ trên là đúng.
Bài 8 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Theo định lí 2 ta có:
$$ {{x}^{2}}=4.9=36=>x=6 $$
b) Vì đường cao chia cạnh huyền thành hai nửa bằng nhau nên nó đồng thời là đường trung tuyến. Mà trong tam giác vuông, đường tuyến bằng nửa cạnh huyền nên nên x = 2.
Theo định lí Pitago ta có:
$$ y=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{{{2.2}^{2}}}=2\sqrt{2} $$
c) Theo định lý 2: $$ {{12}^{2}}=16\cdot \text{x}\Rightarrow \text{x}=\frac{{{12}^{2}}}{16}=9 $$
Theo định lý Pi ta go ta có:
$$ {{y}^{2}}={{12}^{2}}+{{x}^{2}}={{12}^{2}}+{{9}^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15 $$
Bài 9 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
a) Xét hai tam giác vuông ADI và CDL có:
AD = CD (cạnh hình vuông)
$$ \widehat{ADI}=\widehat{CDL} $$ (cùng phụ $$ \widehat{IDC} $$ )
Nên ΔADI = ΔCDL (cạnh góc vuông và góc nhọn)
Suy ra DI = DL hay ΔDIL cân. (đpcm)
b) Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao DC. Theo định lí 4, ta có:
$$ \frac{1}{\text{D}{{\text{L}}^{2}}}+\frac{1}{\text{D}{{\text{K}}^{2}}}=\frac{1}{\text{D}{{\text{C}}^{2}}} $$
$$ \text{DI}=\text{DL}\Rightarrow \frac{1}{\text{D}{{\text{I}}^{2}}}+\frac{1}{\text{D}{{\text{K}}^{2}}}=\frac{1}{\text{D}{{\text{C}}^{2}}} $$
DC không đổi nên tổng $$ \frac{1}{\text{D}{{\text{I}}^{2}}}+\frac{1}{\text{D}{{\text{K}}^{2}}} $$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. (đpcm)