Quy đồng mẫu thức nhiều phân số

BÀI 4: QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

1. Tìm mẫu thức chung

Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể làm như sau :

Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.
Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau :

Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).
Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

2. Quy đồng mẫu thức

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau :

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng bài: Quy đồng mẫu thức bằng cách tìm mẫu thức chung

Cách giải :

Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.
Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau :

Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).
Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 14. (SGK Toán 8 tập 1 trang 43)

\(\begin{array}{l} \frac{5}{{{x^5}{y^3}}} = \frac{{5.12y}}{{{x^5}{y^3}.12y}} = \frac{{60y}}{{12{x^5}{y^4}}}\\ \frac{7}{{12{x^3}{y^4}}} = \frac{{7{x^2}}}{{12{x^3}{y^4}.{x^2}}} = \frac{{7{x^2}}}{{12{x^5}{y^4}}} \end{array} \)

\(\begin{array}{l} \frac{4}{{15{x^3}{y^5}}} = \frac{{4.4x}}{{15{x^3}{y^5}.4x}} = \frac{{16x}}{{60{x^4}{y^5}}}\\ \frac{{11}}{{12{x^4}{y^2}}} = \frac{{11.5{y^3}}}{{12{x^4}{y^2}.5{y^3}}} = \frac{{55{y^3}}}{{60{x^4}{y^5}}} \end{array} \)

Bài 15. (SGK Toán 8 tập 1 trang 43)

\(\begin{array}{l} \frac{5}{{2x + 6}} = \frac{5}{{2\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ \frac{3}{{{x^2} - 9}} = \frac{3}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3.2}}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{6}{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} \end{array} \)

\(\begin{array}{l} \frac{{2x}}{{{x^2} - 8x + 16}} = \frac{{2x}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} = \frac{{2x.3x}}{{3x{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}\\ \frac{x}{{3{x^2} - 12x}} = \frac{x}{{3x\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 4} \right)}}{{3x{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} \end{array} \)

Bài 16. (SGK Toán 8 tập 1 trang 43)

\(\begin{array}{l} \frac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}}\\ \frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}\\ - 2 = \frac{{ - 2\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}} \end{array} \)

\(\begin{array}{l} \frac{{10}}{{x + 2}} = \frac{{10.6\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right).6\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{60\left( {x - 2} \right)}}{{6\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \frac{5}{{2x - 4}} = \frac{5}{{2\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{5.3\left( {x + 2} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{15\left( {x + 2} \right)}}{{6\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \frac{1}{{6 - 3x}} = \frac{{ - 1}}{{ - \left( {6 - 3x} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{3x - 6}} = \frac{{ - 1}}{{3\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 1.2\left( {x + 2} \right)}}{{3\left( {x - 2} \right).2\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{ - 2\left( {x + 2} \right)}}{{6\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \end{array} \)

Bài 17. (SGK Toán 8 tập 1 trang 43)

Cả hai bạn đều chọn đúng.

Bạn Tuấn tìm mẫu thức chung như sau :

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3}-6{x^2} = {x^2}\left( {x-6} \right)}\\ {{x^2}-36 = {x^2}-{6^2} = \left( {x-6} \right)\left( {x + 6} \right)}\\ { \Rightarrow MTC = {x^2}\left( {x-6} \right)\left( {x + 6} \right)} \end{array} \)

Bạn Lan rút gọn phân thức trước khi tìm mẫu thức chung :

\(\begin{array}{l} \frac{{5{x^2}}}{{{x^3} - 6{x^2}}} = \frac{{5{x^2}}}{{{x^2}\left( {x - 6} \right)}} = \frac{5}{{x - 6}}\\ \frac{{3{x^2} + 18x}}{{{x^2} - 36}} = \frac{{3x\left( {x + 6} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \frac{{3x}}{{x - 6}}\\ \Rightarrow MTC = x - 6 \end{array} \)

LUYỆN TẬP

Bài 18. (SGK Toán 8 tập 1 trang 43)

\(\begin{array}{l} \frac{{3x}}{{2x + 4}} = \frac{{3x}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{3x\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 3}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \end{array} \)

\(\begin{array}{l} \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ \frac{x}{{3x + 6}} = \frac{x}{{3\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \end{array} \)

Bài 19. (SGK Toán 8 tập 1 trang 43)

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)x\left( {2 - x} \right)}}\\ \frac{8}{{2x - {x^2}}} = \frac{8}{{x\left( {2 - x} \right)}} = \frac{{8\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)x\left( {2 - x} \right)}} \end{array} \)

\(\begin{array}{l} {x^2} + 1 = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ \frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}} \end{array} \)

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^3}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}} = \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}} = \frac{{{x^3}y}}{{y{{\left( {x - y} \right)}^3}}}\\ \frac{x}{{{y^2} - xy}} = \frac{{ - x}}{{y\left( {x - y} \right)}} = \frac{{ - x{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{y\left( {x - y} \right){{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \frac{{ - x{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{y{{\left( {x - y} \right)}^3}}} \end{array} \)

Bài 20. (SGK Toán 8 tập 1 trang 44)

Ta có : \({x^3} + 5{x^2} - 4x - 20 = {x^3} + 3{x^2} - 10x + 2{x^2} + 6x - 20\)

\(= x\left( {{x^2} + 3x - 10} \right) + 2\left( {{x^2} + 3x - 10} \right) = (x + 2)\left( {{x^2} + 3x - 10} \right)\)

\( \Rightarrow ({x^3} + 5{x^2}-4x-20) \vdots \) \(\left( {{x^2} + 3x-10} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} + 5{x^2}-4x-20}\\ { = {x^3} + 7{x^2} + 10x-2{x^2}-14x-20}\\ { = x\left( {{x^2} + 7x + 10} \right)-2.\left( {{x^2} + 7x + 10} \right)}\\ { = \left( {x-2} \right)\left( {{x^2} + 7x + 10} \right)} \end{array} \)

\(\Rightarrow ({x^3} + 5{x^2}-4x-20) \vdots \left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\))

⇒ Mẫu thức chung là \({x^3} + 5{x^2}-4x-20\) (đpcm)

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa quy đồng mẫu thức toán học 8, toán 8 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Đánh giá (456)