Khái niệm hai tam giác đồng dạng

BÀI 4: KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Tam giác đồng dạng

Định nghĩa:

Tam giác $$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$ gọi là đồng dạng với tam giác $$ABC$$ nếu:

$$\widehat{A^{\prime }}=\hat{A};\widehat{B^{\prime }}=\hat{B};\widehat{C^{\prime }}=\hat{C};$$

$$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}$$

Tam giác $$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$ đồng dạng với tam giác $$ABC$$ được kí hiệu là $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số các cạnh tương ứng $$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}=k$$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Tính chất:

Tính chất 1: Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó

Tính chất 2: Nếu $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ thì $$\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Tính chất 3: Nếu $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}$$ và $$\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ thì $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ .

Do Tính chất 2 ta nói hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng (với nhau).

2. Định lí

Định lí

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Chú ý

Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai canh của tam giác và song song với cạnh còn lại.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Chứng minh mệnh đề đúng, sai

Cách giải:

- Áp dụng định nghĩa hai tam giác đồng dạng để giải bài toán:

Tam giác $$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$ gọi là đồng dạng với tam giác $$ABC$$ nếu:

$$\widehat{A^{\prime }}=\hat{A};\widehat{B^{\prime }}=\hat{B};\widehat{C^{\prime }}=\hat{C};$$

$$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}$$

Dạng 2. Tính tỉ số đồng dạng

Cách giải:

- Áp dụng định nghĩa hai tam giác đồng dạng để giải bài toán:

Tam giác $$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$ gọi là đồng dạng với tam giác $$ABC$$ nếu:

$$\widehat{A^{\prime }}=\hat{A};\widehat{B^{\prime }}=\hat{B};\widehat{C^{\prime }}=\hat{C};$$

$$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}$$

- Áp dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng:

Tính chất 1: Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó

Tính chất 2: Nếu $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ thì $$\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Tính chất 3: Nếu $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}$$ và $$\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ thì $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ .

Dạng 3. Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác đã cho theo tỉ số cho trước

Cách giải:

- Áp dụng định nghĩa hai tam giác đồng dạng.

- Áp dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng.

Dạng 4. Tìm các cặp tam giác đồng dạng.

Cách giải:

Sử dụng định nghĩa của tam giác đồng dạng để nhận biết các cặp tam giác cần tìm.

Dạng 5: Giải toán bằng tam giác đồng dạng

Cách giải:

- Áp dụng định nghĩa hai tam giác đồng dạng.

- Áp dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng.

- Sử dụng các công thức đã học về tính chu vi, tỉ số để giải bài toán.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 23. SGK toán 8 tập 2 trang 71

a) Mệnh đề đúng.

Giả sử $$\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

$$\Rightarrow \widehat{A^{\prime }}=\hat{A};\widehat{B^{\prime }}=\hat{B};\widehat{C^{\prime }}=\hat{C};AB=A^{\prime }{B}^{\prime };AC=A^{\prime }{C}^{\prime };BC=B^{\prime }{C}^{\prime }$$

$$\Rightarrow \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}$$

$$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$ (điều phải chứng minh)

b) Mệnh đề sai.

Giả sử có hai tam giác $$\mathrm{\Delta }ABC:AB=6;AC=9;BC=12$$ ; $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }:A^{\prime }{B}^{\prime }=4;A^{\prime }{C}^{\prime }=6;B^{\prime }{C}^{\prime }=8$$ và $$\widehat{A^{\prime }}=\hat{A};\widehat{B^{\prime }}=\hat{B};\widehat{C^{\prime }}=\hat{C}$$ .

$$\Rightarrow \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}=\frac{2}{3}$$ và $$\widehat{A^{\prime }}=\hat{A};\widehat{B^{\prime }}=\hat{B};\widehat{C^{\prime }}=\hat{C}$$

$$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$ ; $$\mathrm{\Delta }ABC\ne \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Bài 24. SGK toán 8 tập 2 trang 72

$$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}$$ theo tỉ số đồng dạng $$k_1\Rightarrow \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{″}{B}^{″}}=k_1$$

$$\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ theo tỉ số đồng dạng $$k_2\Rightarrow \frac{A^{″}{B}^{″}}{AB}=k_2$$

$$\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ (vì cùng đồng dạng với tam giác A”B”C”) theo tỉ số đồng dạng là

$$k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{″}{B}^{″}}.\frac{A^{″}{B}^{″}}{AB}=k_1.k_2$$

Vậy tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng $$k_1{k}_2$$ .

Bài 25. SGK toán 8 tập 2 trang 72

Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

$$\Rightarrow DE$$ là đường trung bình của $$\mathrm{\Delta }ABC$$

$$\Rightarrow DE//BC;\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADE\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ theo tỉ số đồng dạng $$k=\frac{1}{2}$$ .

Vậy $$\mathrm{\Delta }ADE$$ là tam giác cần vẽ.

LUYỆN TẬP

Bài 26. SGK toán 8 tập 2 trang 72

Gọi D và E lần lượt thuộc AB và AC sao cho $$AD=\frac{2}{3}AB;AE=\frac{2}{3}AC$$ .

$$\Rightarrow DE//BC;\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$$

$$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADE\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ theo tỉ số đồng dạng $$k=\frac{2}{3}$$

$$\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$$

Dựng $$A^{\prime }{B}^{\prime }//AD;A^{\prime }{B}^{\prime }=AD$$ .

Vẽ góc $$\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }x}$$ sao cho $$\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }x}=\widehat{ADE}$$ .

Trên tia Bx lấy điểm C’ sao cho $$B^{\prime }{C}^{\prime }=DE$$

Ta được $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\Delta }ADE(c.g.c)$$

$$\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }=AD$$

$$\Rightarrow \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$$

$$\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ theo tỉ số đồng dạng $$k=\frac{2}{3}$$

Vậy ta được $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$ thỏa mãn bài toán.

Bài 27. SGK toán 8 tập 2 trang 72

a) Các cặp tam giác đồng dạng là:

$$MN//BC\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMN\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$

$$LM//AC\Rightarrow \mathrm{\Delta }MBL\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$

$$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMN\backsim \mathrm{\Delta }MBL(\backsim \mathrm{\Delta }ABC)$$

b)

$$\mathrm{\Delta }AMN\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ có:

$$\hat{A}$$ chung; $$\widehat{AMN}=\hat{B};\widehat{ANM}=\hat{C}$$ và $$\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}(AM=\frac{1}{2}MB)$$

$$\Rightarrow$$ Tỉ số đồng dạng là $$k_1=\frac{1}{3}$$

$$\mathrm{\Delta }MBL\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ có:

$$\hat{B}$$ chung; $$\widehat{BML}=\hat{A};\widehat{BLM}=\hat{C}$$ và $$\frac{BL}{BC}=\frac{LM}{AC}=\frac{BM}{BA}=\frac{2}{3}(AM=\frac{1}{2}MB)$$

$$\Rightarrow$$ Tỉ số đồng dạng là $$k_2=\frac{2}{3}$$

$$\mathrm{\Delta }AMN\backsim \mathrm{\Delta }MBL$$ có:

$$\widehat{AMN}=\hat{B};\widehat{ANM}=\widehat{BLM};\hat{A}=\widehat{BML}$$ và $$\frac{AN}{LM}=\frac{MN}{BL}=\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}(AM=\frac{1}{2}MB)$$

$$\Rightarrow$$ Tỉ số đồng dạng là $$k_3=\frac{1}{2}$$

Bài 28. SGK toán 8 tập 2 trang 72

a) Ta có $$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$$ theo tỉ số đồng dạng là $$k=\frac{3}{5}$$

$$\Rightarrow \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}=\frac{3}{5}$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\frac{P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{P_{ABC}}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime }{C}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }}{AB+AC+BC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}=\frac{3}{5}$$

Vậy tỉ số chu vi hai tam giác đã cho là $$\frac{3}{5}$$ .

b) Ta có: $$\frac{P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{P_{ABC}}=\frac{3}{5}\iff P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{3}{5}{P}_{ABC}$$

Lại có: $$P_{ABC}-P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=40$$

$$\iff P_{ABC}-\frac{3}{5}{P}_{ABC}=40$$

$$\iff P_{ABC}=100\left(dm\right)$$

$$\Rightarrow P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{3}{5}.100=60\left(dm\right)$$

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa tam giác đồng dạng toán học 8, toán 8 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thứcchính xác nhất