BÀI 12: HÌNH VUÔNG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.
Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
2. Tính chất
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
3. Dấu hiệu nhận biết
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Nhận xét
Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình vuông
Cách giải:
Sử dụng năm dấu hiệu nhận biết của hình vuông.
Dạng 2. Nhận biết tâm đối xứng, trục đối xứng của hình vuông
Cách giải:
- Tâm đối xứng của hình vuông là giao hai đường chéo.
- Trục đối xứng của hình vuông là hai đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 79. (SGK Toán 8 tập 1 trang 108)
a)
Gọi a là độ dài đường chéo của hình vuông
Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: \[{{a}^{2}}={{3}^{2}}+{{3}^{2}}=18\Rightarrow =3\sqrt{2}\left( cm \right)\]
Vậy đường chéo của hình vuông bằng \[3\sqrt{2}\] (cm)
b)
Gọi cạnh của hình vuông là a
Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: \[{{a}^{2}}+{{a}^{2}}={{2}^{2}}\Rightarrow 2{{a}^{2}}=4\Rightarrow {{a}^{2}}=2\Rightarrow a=\sqrt{2}\]
Vậy cạnh của hình vuông bằng \[\sqrt{2}\] (dm)
Bài 80. (SGK Toán 8 tập 1 trang 108)
Hình vuông là hình bình hành nên nhận O là giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng.
Hình vuông là hình thoi nên nhận hai đường chéo AC và BD là các trục đối xứng.
Hình vuông là hình thang cân nên nhận đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện là trục đối xứng.
Vậy hình vuông có 1 tâm đối xứng và 4 trục đối xứng .
Bài 81. (SGK Toán 8 tập 1 trang 108)
Tứ giác AEDF có: \[AE//DF\]( vì cùng vuông góc AF); \[DE//AF\] ( vì cùng vuông góc AE)
\[\Rightarrow \] AEDF là hình bình hành
Hình bình hành AEDF có đường chéo AD là phân giác của góc A
\[\Rightarrow \] AEDF là hình thoi
Hình thoi AEDF có \[\widehat{A}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow \] AEDF là hình vuông
Bài 82. (SGK Toán 8 tập 1 trang 108)
Do ABCD là hình vuông \[\Rightarrow \] \[AB=BC=CD=DA\]
Theo giả thiết ta có: \[AE=BF=CG=DH\]nên ta có:
\[\Rightarrow \] \[ABAE=BCBF=CDCG=DADH\]
\[\Leftrightarrow BE=CF=DG=HA\]
Xét các tam giác vuông \[AEH,BFE,CGF,DHG\]có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {AE = BF = CG = DH}\\ {HA = BE = CF = DG} \end{array}\)
\[\Rightarrow \Delta AEH=\Delta BFE=\Delta CGF=\Delta DHG\left( c.g.c \right)\]
\[\Rightarrow \] \[HE=EF=FG=GH;\widehat{AHE}=\widehat{BEF}\]
Xét tứ giác EFGH có \[HE=EF=FG=GH\Rightarrow EFGH\] là hình thoi
Xét \[\Delta AHE\] vuông tại A có: \[\widehat{AEH}+\widehat{AHE}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow \widehat{AEH}+\widehat{BEF}={{90}^{0}}\]
Lại có: \[\widehat{HEF}+\widehat{AEH}+\widehat{BEF}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{HEF}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Leftrightarrow \widehat{HEF}={{90}^{0}}\]
Tứ giác EFGH là hình thoi có 1 góc bằng \[{{90}^{0}}\Rightarrow \] EFGH là hình vuông.
LUYỆN TẬP
Bài 83. (SGK Toán 8 tập 1 trang 109)
Câu a và d: Sai.
Câu b, c, e: Đúng.
Bài 84. (SGK Toán 8 tập 1 trang 109)
a) Tứ giác AEDF là hình bình hành vì \[DE//AF,DF//AE\].
b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A. Vậy khi D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.
c) Nếu \[\Delta ABC\] vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật.
d) Nếu \[\Delta ABC\] vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình vuông.
Bài 85. (SGK Toán 8 tập 1 trang 109)
a) Ta có: E, F là trung điểm AB, CD \[\Rightarrow AE=BE=\frac{1}{2}AB;CF=DF=\frac{1}{2}CD\]
Ta có: \[AB=CD=2AD=2BC\Rightarrow AE=EB=BC=CF=FD=DA\]
Xét tứ giác ADFE có: \[AE//DF,AE=DF\]
\[\Rightarrow \] ADFE là hình bình hành.
Hình bình hành ADFE có \[\widehat{A}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow \] ADFE là hình chữ nhật
Hình chữ nhật ADFE là hình chữ nhật có \[AE=AD\]
\[\Rightarrow \] ADFE là hình vuông
b) Tứ giác DEBF có\[BE//DF,EB=DF\] \[\Rightarrow \] DEBF là hình bình hành
\[\Rightarrow \] \[DE//BF\]
Chứng minh tương tự: \[AF//CE\]
\[\Rightarrow \] EMFN là hình bình hành
Theo câu a: ADFE là hình vuông \[\Rightarrow \] \[ME=MF,ME\bot MF\]
Hình bình hành EMFN có \[\widehat{M}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow \] EMFN là hình chữ nhật
Lại có \[ME=MF\] \[\Rightarrow \] EMFN là hình vuông
Bài 86. (SGK Toán 8 tập 1 trang 109)
- Tứ giác nhận được là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau.
- Nếu ta có \[OA=OB\] thì hình thoi nhận được có hai đường chéo bằng nhau nên đó là hình vuông.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài Hình vuông do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ