BÀI 1: HÌNH THOI
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Hình thoi cũng là một hình bình hành.
2. Tính chất
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
Định lí:
Trong hình thoi:
- Hai đường chéo vuông góc với nhau.
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
3. Dấu hiệu nhận biết
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi
Cách giải:
Dựa vào 4 dấu hiệu nhận biết của hình thoi.
Dạng 2. Tính các thông số của hình thoi
Cách giải:
Dựa vào tính chất của hình thoi.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 73. (SGK Toán 8 tập 1 trang 105)
a) Tứ giác đó là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.
b) Tứ giác là hình thoi vì là hình bình hành (do các cặp cạnh đối bằng nhau) có đường chéo của một góc là đường phân giác.
c) Tứ giác là hình thoi vì là hình bình hành (do hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) có hai đường chéo vuông góc.
d) Tứ giác không là hình bình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.
e) Tứ giác là hình bình hành vì có bốn cạnh bằng nhau ( \[AC=AB=AD\] vì B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm A; \[AB=BC=BD\] vì A, C, D cùng thuộc đường tròn tâm B)
Bài 74. (SGK Toán 8 tập 1 trang 106)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD.
\[\Rightarrow \] O là trung điểm của AC và BD
\(\begin{array}{l} A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {\left( {\frac{1}{2}AC} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}BD} \right)^2} = {4^2} + {5^2} = 41\\ \Rightarrow AB = \sqrt {41} \left( {cm} \right) \end{array}\)
Vậy ta chọn đáp án B.
Bài 75. (SGK Toán 8 tập 1 trang 106)
Xét \[\Delta ABD\] có H và E lần lượt là trung điểm của AB và AD
\[\Rightarrow \] HE là đường trung bình của \[\Delta ABD\]
\[\Rightarrow HE=\frac{1}{2}BD\] (1)
Chứng minh tương tự: \[GF=\frac{1}{2}BD;EF=\frac{1}{2}AC;GH=\frac{1}{2}AC\] (2)
Lại có: ABCD là hình chữ nhật \[\Rightarrow \] \[AC=BD\left( 3 \right)\]
Từ (1), (2), (3) \[\Rightarrow \] \[EF=FG=GH=HE\]
\[\Rightarrow \] Tứ giác EFGH là hình thoi
Bài 76. (SGK Toán 8 tập 1 trang 106)
Xét \[\Delta ABC\] có E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC
\[\Rightarrow \] EF là đường trung bình của \[\Delta ABC\]
\[\Rightarrow EF//AC;EF=\frac{1}{2}AC\left( 1 \right)\]
* Tương tự tam giác ADC có HG là đường trung bình:
\[\Rightarrow GH//AC;GH=\frac{1}{2}AC\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] \[EF//GH;EF=GH\]
\[\Rightarrow \] Tứ giác EFGH là hình bình hành
Lại có: \[EF//AC;BD\bot AC\] \[\Rightarrow \] \[BD\bot EF\]
\[EH//BD;EF\bot BD\] \[\Rightarrow \] \[EF\bot HE\]
\[\Rightarrow \] \[\widehat{HEF}={{90}^{0}}\]
Hình bình hành EFGH có \[\widehat{E}={{90}^{0}}\] \[\Rightarrow \] EFGH là hình chữ nhật
Bài 77. (SGK Toán 8 tập 1 trang 106)
a)
ABCD là hình thoi
\[\Rightarrow \] ABCD là hình bình hành
\[\Rightarrow \] Giao điểm O của AC và BD là tâm đối xứng của ABCD (đpcm)
b)
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình thoi ABCD.
Lấy \[M\in CD\]
Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua đường thẳng BD
Gọi I là giao điểm của MM’ và BD
Xét \[\Delta IMD\] và \[\Delta IM'D\] có:
\[\widehat{DIM}=\widehat{DIM'}={{90}^{0}}\]
Cạnh ID chung
\[IM=IM'\] (M và M’ đối xứng qua BD)
\[\Rightarrow \] \[\Delta DIM=\Delta DIM\left( c.g.c \right)\]
\[\Rightarrow \] \[DM=DM;\widehat{MDI}=\widehat{M'DI}\left( 1 \right)\]
Lại có: ABCD là hình thoi \[\Rightarrow \widehat{ADI}=\widehat{CDI}\Rightarrow \widehat{MDI}=\widehat{ADI}\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] M’ nằm trên cạnh AD hay M’ thuộc hình thoi
\[\Rightarrow \] BD là trục đối xứng của hình thoi
Chứng minh tương tự: AC là trục đối xứng của hình thoi
Bài 78. (SGK Toán 8 tập 1 trang 106)
Các tứ giác IEKF, KGMH là hình thoi
\[\Rightarrow \] KI là phân giác của \[\widehat{EKF}\] , KM là phân giác của \[\widehat{GKH}\]
Lại có: \[\widehat{EKF}=\widehat{GKH}\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}=\widehat{{{K}_{2}}}=\widehat{{{K}_{3}}}=\widehat{{{K}_{4}}}\]
\[\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}+\widehat{EKG}+\widehat{{{K}_{3}}}=\widehat{{{K}_{2}}}+\widehat{EKG}+\widehat{{{K}_{1}}}={{180}^{0}}\]
\[\Rightarrow \] I, K, M thẳng hàng
Chứng minh tương tự: I, K, M, N, O cùng nằm trên một đường thẳng.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài Hình thoi do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ