ÔN TẬP CHƯƠNG III (HÌNH HỌC 8)
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đoạn thẳng tỉ lệ
a) Định nghĩa
AB, CD tỉ lệ với \[A'B',C'D'\Leftrightarrow \frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}\]
b) Tính chất
\[\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}\] \[\Rightarrow \] \[AB.C'D'=CD.A'B'\] và \[\frac{AB\pm CD}{CD}=\frac{A'B'\pm C'D'}{C'D'}\] và \[\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}=\frac{AB\pm A'B'}{CD\pm C'D'}\] .
2. Định lí Ta-lét thuận và đảo
Cho tam giác ABC
\[a//BC\Leftrightarrow \] \[\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}\] hoặc \[\frac{AB'}{BB'}=\frac{AC'}{CC'}\] hoặc \[\frac{BB'}{AB}=\frac{CC'}{AC}\]
3. Hệ quả của định lí Ta-lét
Cho tam giác ABC.
\[a//BC\Rightarrow \frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}\]
4. Tính chất của đường phân giác trong tam giác
AD là tia phân giác của BAC.
AE là tia phân giác của góc Bax.
Ta có : \[\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}=\frac{EB}{EC}\]
5. Tam giác đồng dạng
a) Định nghĩa
\[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\] (tỉ số đồng dạng k)
\[\Leftrightarrow \widehat{A'}=\widehat{A};\widehat{B'}=\widehat{B};\widehat{C'}=\widehat{C};\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k\]
b) Tính chất
\[\frac{h'}{h}=k\]
( h’, h tương ứng là đường cao của tam giác A’B’C’ và tam giác ABC)
\[\frac{p'}{p}=k;\frac{S'}{S}={{k}^{2}}\]
( p’, p tương ứng là nửa chu vi của tam giác A’B’C’ và tam giác ABC; S’, S tương ứng là diện tích của tam giác A’B’C’ và tam giác ABC).
6. Liên hệ giữa các trường hợp đồng dạng và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác ABC và A’B’C’
| Các trường hợp đồng dạng | Các trường hợp bằng nhau |
a) \[\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}\left( c.c.c \right)\] b) \[\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}\] và \[\widehat{B'}=\widehat{B}\left( c.g.c \right)\] c) \[\widehat{A'}=\widehat{A};\widehat{B'}=\widehat{B}\left( g.g \right)\] | a) \[A'B'=AB;B'C'=BC;A'C'=AC\left( c.c.c \right)\] b) \[A'B'=AB;B'C'=BC;\widehat{B'}=\widehat{B}\left( c.g.c \right)\] c) \[\widehat{A'}=\widehat{A};\widehat{B'}=\widehat{B};A'B'=AB\left( g.c.g \right)\] |
7. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ \[\left( \widehat{A}=\widehat{A'}={{90}^{0}} \right)\]
a) \[\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}\]
b) \[\widehat{B'}=\widehat{B}\] hoặc \[\widehat{C'}=\widehat{C}\]
c) \[\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}\]
II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 56. SGK toán 8 tập 2 trang 92
a) \[\frac{AB}{CD}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\]
b) \[\frac{AB}{CD}=\frac{45.10}{150}=3\]
c) \[AB=5CD\Rightarrow \frac{AB}{CD}=5\]
Bài 57. SGK toán 8 tập 2 trang 92
Nhận xét : D luôn thuộc đoạn MH hay D luôn nằm giữa M và H.
Chứng minh :
\[\Delta ABC\] có đường phân giác là AD
\[\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}\]
\[\Rightarrow BD do \[AB
\[\Rightarrow BD+CD
\[\Rightarrow BC<2CD\]
\[\Rightarrow CD>\frac{1}{2}BC\]
Lại có \[CM=\frac{1}{2}BC\] do M là trung điểm BC
\[\Rightarrow \] M nằm giữa C và D (1)
Ta có : \[\widehat{CAH}={{90}^{0}}-\widehat{C}=\frac{1}{2}\left( \widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C} \right)-\widehat{C}=\frac{1}{2}\left( \widehat{BAC}+\widehat{B}-\widehat{C} \right)\]
Lại có \[AB
\[\Rightarrow \widehat{B}-\widehat{C}>0\]
\[\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{B}-\widehat{C}>\widehat{BAC}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{2}\left( \widehat{BAC}+\widehat{B}-\widehat{C} \right)>\frac{1}{2}\widehat{BAC}\]
\[\Rightarrow \widehat{CAH}>\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\widehat{CAD}\]
\[\Rightarrow \] D nằm giữa C và H (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] D nằm giữa M và H.
Bài 58. SGK toán 8 tập 2 trang 92
a) Xét \[\Delta BKC\] và \[\Delta CHB\] có : BC chung ; \[\widehat{ABC}=\widehat{ACB};\widehat{BKC}=\widehat{BHC}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow \Delta BKC=\Delta CHB\]
\[\Rightarrow BK=CH\]
b) Ta có : \[AB=AC\] ( \[\Delta ABC\] cân tại A ) \[;BK=BH\]
\[\Rightarrow AK=AH\]
\[\Rightarrow \frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}\]
\[\Rightarrow HK//BC\] ( định lí Pi-ta-go đảo)
c) Gọi \[M=BH\cap CK\]
\[\Rightarrow M\] là trực tâm của \[\Delta ABC\]
\[\Rightarrow AM\bot BC\]
Gọi \[I=AM\cap BC\Rightarrow AI\bot BC\]
Xét \[\Delta AIC\] và \[\Delta BHC\] có : \[\widehat{C}\] chung ; \[\widehat{I}=\widehat{H}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow \Delta AIC\backsim \Delta BHC\]
\[\Rightarrow \frac{CI}{CH}=\frac{AC}{BC}\]
\[\Leftrightarrow \frac{\frac{a}{2}}{CH}=\frac{b}{a}\]
\[\Leftrightarrow CH=\frac{{{a}^{2}}}{2b}\]
\[\Rightarrow AH=b-\frac{{{a}^{2}}}{2b}=\frac{2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{2b}\]
Lại có \[HK//BC\]
\[\Rightarrow \frac{HK}{BC}=\frac{AH}{AC}\]
\[\Leftrightarrow HK=\frac{AH.BC}{AC}\]
\[\Leftrightarrow HK=\frac{a}{b}.\frac{2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{2b}=\frac{2a{{b}^{2}}-{{a}^{3}}}{2{{b}^{2}}}=a-\frac{{{a}^{3}}}{2{{b}^{2}}}\]
Bài 59. SGK toán 8 tập 2 trang 92
Gọi \[M=OK\cap AB;N=OK\cap CD\] .
Ta có : \[MA//ND\Rightarrow \frac{MA}{ND}=\frac{MK}{NK}\] ; \[MB//NC\Rightarrow \frac{MB}{NC}=\frac{MK}{NK}\]
\[\Rightarrow \frac{MA}{ND}=\frac{MB}{NC}\]
\[\Leftrightarrow \frac{MA}{MB}=\frac{ND}{NC}\]
Lại có : \[MA//NC\Rightarrow \frac{MA}{NC}=\frac{OM}{ON}\] ; \[MB//ND\Rightarrow \frac{MB}{ND}=\frac{OM}{ON}\]
\[\Rightarrow \frac{MA}{NC}=\frac{MB}{ND}\]
\[\Leftrightarrow \frac{NC}{ND}=\frac{MA}{MB}=\frac{ND}{NC}\]
\[\Rightarrow NC=ND\]
\[\Rightarrow MA=MB\]
\[\Rightarrow M,N\] là trung điểm AB và CD (điều phải chứng minh)
Bài 60. SGK toán 8 tập 2 trang 92
a) Xét \[\Delta ABC\] vuông tại A có \[\widehat{C}={{30}^{0}}\]
\[\Rightarrow AB=\frac{1}{2}BC\] ( trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc \[{{30}^{0}}\] bằng nửa canh huyền)
\[\Delta ABC\] có phân giác BD
\[\Rightarrow \frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}=\frac{1}{2}\] hay \[\Rightarrow \frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}\] .
b) Ta có : \[AB=12,5cm\Rightarrow BC=25cm\]
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại A có : \[B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\]
\[\Rightarrow A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}\]
\[\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{25}^{2}}-12,{{5}^{2}}}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\left( cm \right)\]
Chu vi \[\Delta ABC\] là : \[{{P}_{ABC}}=AB+AC+BC=12,5+25+\frac{25\sqrt{3}}{2}=37,5+\frac{25\sqrt{3}}{2}\]
Diện tích \[\Delta ABC\] là : \[{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.12,5.\frac{25\sqrt{3}}{2}\approx 135,32\left( c{{m}^{2}} \right)\]
Bài 61. SGK toán 8 tập 2 trang 92
a) Cách vẽ tứ giác ABCD :
- Vẽ đoạn thẳng CD dài 25cm.
- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 20cm và cung tròn tâm D bán kính 10cm. Giao hai cung tròn là điểm B.
- Nối BC và BD.
- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 4cm và cung tròn tâm D bán kính 8cm. Giao hai cung tròn là điểm A. Nối AB và AD ta được tứ giác ABCD.
b) Ta có : \[\frac{AB}{BD}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5};\frac{BD}{CD}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5};\frac{AD}{BC}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\]
\[\Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{BC}\left( =\frac{2}{5} \right)\]
\[\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta BDC\left( c.c.c \right)\]
c) Ta có : \[\Delta ABD\backsim \Delta BDC\]
\[\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BDC}\]
Mà hai góc ở vị trí so le trong
\[\Rightarrow AB//CD\] ( điều phải chứng minh)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài ôn tập chương 3 hình học 8 do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ