ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Khái niệm về phân thức đại số và tính chất của phân thức đại số
1. Phân thức đại số là biểu thức có dạng \[\frac{A}{B}\] , với A, B là những đa thức và B khác 0.
2. Hai phân thức bằng nhau : \[\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\] nếu \[A.D=B.C\]
3. Tính chất cơ bản của phân thức : nếu \[M\ne 0\] thì \[\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}\]
II. Các phép toán trên tập hợp các phân thức đại số
1. Phép cộng
a) Cộng hai phân thức cùng mẫu thức : \[\frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}\] .
b) Cộng hai phân thức khác mẫu thức :
- Quy đồng mẫu thức.
- Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
2. Phép trừ
a) Phân thức đối của \[\frac{A}{B}\] kí hiệu bởi \[-\frac{A}{B}\] .
b) \[\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left( -\frac{C}{D} \right)\] .
3. Phép nhân
\[\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}\]
4. Phép chia
a) Phân thức nghịch đảo của phân thức \[\frac{A}{B}\] khác 0 là \[\frac{B}{A}\] .
b) \[\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C}\left( \frac{C}{D}\ne 0 \right)\]
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 57. (SGK Toán 8 tập 1 trang 61)
a) \[\frac{3x+6}{2{{x}^{2}}+x-6}=\frac{3\left( x+2 \right)}{2{{x}^{2}}+4x-4x-6}=\frac{3\left( x+2 \right)}{\left( 2x-3 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{3}{2x-3}\left( dpcm \right)\]
b)
\[\frac{2{{x}^{2}}+6x}{{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+12x}=\frac{2x\left( x+3 \right)}{x\left( {{x}^{2}}+7x+12 \right)}=\frac{2\left( x+3 \right)}{{{x}^{2}}+7x+12}=\frac{2\left( x+3 \right)}{{{x}^{2}}+3x+4x+12}=\frac{2\left( x+3 \right)}{\left( x+4 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{2}{x+4}\left( dpcm \right)\]
Bài 58. (SGK Toán 8 tập 1 trang 62)
a)
\(\begin{array}{l} \left( {\frac{{2x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{2x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{10x - 5}}\\ = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\frac{{10x - 5}}{{4x}}\\ = \frac{{\left( {2x + 1 - 2x + 1} \right)\left( {2x + 1 + 2x - 1} \right).5\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right).4x}}\\ = \frac{{4x.2.5}}{{4x.\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{10}}{{2x + 1}} \end{array} \)
b)
\(\begin{array}{l} \left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right) = \left( {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right):\frac{{1 + x\left( {x - 2} \right)}}{x} = \frac{{1 - x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{x}{{1 + x\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{x}{{1 - 2x + {x^2}}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{{x + 1}} \end{array} \)
c)
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}.\left( {\frac{1}{{{x^2} - 2x + 1}} + \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right)\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}.\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right]\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}.\left[ {\frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right]\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}.\frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} \end{array} \)
Bài 59. (SGK Toán 8 tập 1 trang 62)
a) Thay \[P=\frac{xy}{x-y}\] vào biểu thức ta được :
\(\begin{array}{l} \frac{{x.\frac{{xy}}{{x - y}}}}{{x + \frac{{xy}}{{x - y}}}} - \frac{{y.\frac{{xy}}{{x - y}}}}{{y - \frac{{xy}}{{x - y}}}}\\ = \frac{{{x^2}y}}{{x - y}}:\frac{{x\left( {x - y} \right) + xy}}{{x - y}} - \frac{{x{y^2}}}{{x - y}}:\frac{{y\left( {x - y} \right) - xy}}{{x - y}}\\ = \frac{{{x^2}y}}{{x - y}}:\frac{{{x^2}}}{{x - y}} - \frac{{x{y^2}}}{{x - y}}:\frac{{ - {y^2}}}{{x - y}}\\ = \frac{{{x^2}y}}{{x - y}}.\frac{{x - y}}{{{x^2}}} - \frac{{x{y^2}}}{{x - y}}.\frac{{x - y}}{{ - {y^2}}}\\ = y - \left( { - x} \right)\\ = x + y \end{array} \)
b) Ta có : \[B=\frac{{{P}^{2}}{{Q}^{2}}}{{{P}^{2}}-{{Q}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{B}=\frac{{{P}^{2}}-{{Q}^{2}}}{{{P}^{2}}{{Q}^{2}}}=\frac{1}{{{Q}^{2}}}-\frac{1}{{{P}^{2}}}\]
Thay \[P=\frac{2xy}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}};Q=\frac{2xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\] vào \[\frac{1}{B}\] ta được :
\(\begin{array}{l} \frac{1}{B} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right)}^2}}}\\ = {\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2xy}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2xy}}} \right)^2}\\ = \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - {{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {2xy} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + {y^2} - {x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {x^2} - {y^2}} \right)}}{{4{x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{2{y^2}.2{x^2}}}{{4{x^2}{y^2}}}\\ = 1\\ \Rightarrow B = 1 \end{array} \)
Vậy \[B=1\] .
Bài 60. (SGK Toán 8 tập 1 trang 62)
a) Biểu thức xác định
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - 2 \ne 0\\ {x^2} - 1 \ne 0\\ 2x + 2 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x \ne \pm 1\\ x \ne - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 1 \)
b)
\(\begin{array}{l} \left( {\frac{{x + 1}}{{2x - 2}} + \frac{3}{{{x^2} - 1}} - \frac{{x + 3}}{{2x + 2}}} \right).\frac{{4{x^2} - 4}}{5}\\ = \left[ {\frac{{x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}} + \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x + 3}}{{2\left( {x + 1} \right)}}} \right].\frac{{4\left( {{x^2} - 1} \right)}}{5}\\ = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{6}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right].\frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5} \end{array} \)
\(\begin{array}{l} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6 - \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\ = \frac{2}{5}\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6 - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \right]\\ = \frac{2}{5}\left( {{x^2} + 2x + 1 + 6 - \left( {{x^2} + 3x - x - 3} \right)} \right)\\ = \frac{2}{5}.10\\ = 4 \end{array} \)
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
Bài 61. (SGK Toán 8 tập 1 trang 62)
Biểu thức xác định
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 10x \ne 0\\ {x^2} + 10x \ne 0\\ {x^2} + 4 \ne 0\left( {\forall x \in R} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\left( {x - 10} \right) \ne 0\\ x\left( {x + 10} \right) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x \ne \pm 10 \end{array} \right. \)
Ta có :
\(\begin{array}{l} \left( {\frac{{5x + 2}}{{{x^2} - 10x}} + \frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 10x}}} \right).\frac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\\ = \left[ {\frac{{5x + 2}}{{x\left( {x - 10} \right)}} + \frac{{5x - 2}}{{x\left( {x + 10} \right)}}} \right].\frac{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\ = \frac{{\left( {5x + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}}{{x\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}.\frac{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\ = \frac{{5{x^2} + 2x + 50x + 20 + 5{x^2} - 2x - 50x + 20}}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}}\\ = \frac{{10{x^2} + 40}}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}}\\ = \frac{{10}}{x} \end{array} \)
Thay \[x=20040\] vào biểu thức rút gọn ta được gái trị biểu thức bằng : \[\frac{10}{20040}=\frac{1}{2004}\]
Bài 62. (SGK Toán 8 tập 1 trang 62)
Biểu thức xác định \[\Leftrightarrow {{x}^{2}}5x\ne 0\Leftrightarrow x\left( x5 \right)\ne 0\Leftrightarrow x\ne 0;x\ne 5\]
Ta có : \[\frac{{{x}^{2}}-10x+25}{{{x}^{2}}-5x}=0\]
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow {x^2}-10x + 25 = 0}\\ { \Leftrightarrow {{\left( {x-5} \right)}^2} = 0}\\ { \Leftrightarrow x-5 = 0}\\ { \Leftrightarrow x = 5\left( L \right)} \end{array} \)
Vậy không có giá trị nào của x để giá trị phân thức trên bằng 0.
Bài 63. (SGK Toán 8 tập 1 trang 62)
a)
\[\frac{3{{x}^{2}}-4x-17}{x+2}=\frac{3{{x}^{2}}+6x-10x-20+3}{x+2}=\frac{\left( 3x-10 \right)\left( x+2 \right)+3}{x+2}=3x-10+\frac{3}{x+2}\]
Để phân thức là số nguyên
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x - 10 + \frac{3}{{x + 2}} \in Z\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{x + 2}} \in Z \end{array} \)
\[\Rightarrow x+2\in \] Ư \[\left( 3 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3 \right\}\]
\(\begin{array}{l} x + 2 = - 1 \Leftrightarrow x = - 3\\ x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1\\ x + 2 = - 3 \Leftrightarrow x = - 5\\ x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1 \end{array} \)
Vậy \[x\in \left\{ -5;-3;-1;1 \right\}\] thỏa mãn bài toán.
b)
\[\frac{{{x}^{2}}-x+2}{x-3}=\frac{{{x}^{2}}-3x+2x-6+8}{x-3}=\frac{\left( x+2 \right)\left( x-3 \right)+8}{x-3}=x+2+\frac{8}{x-3}\]
Để phân thức là số nguyên
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 + \frac{8}{{x - 3}} \in Z\\ \Leftrightarrow \frac{8}{{x - 3}} \in Z \end{array} \)
\[\Leftrightarrow x-3\in \] Ư \[\left( 8 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8 \right\}\]
\[\Leftrightarrow x\in \left\{ -5;-1;1;2;4;5;7;11 \right\}\]
Vậy \[x\in \left\{ -5;-1;1;2;4;5;7;11 \right\}\] thỏa mãn bài toán.
Bài 64. (SGK Toán 8 tập 1 trang 62)
Điều kiện để phân thức xác định : \[x\ne 0;x\ne 5\] .
Ta có : \[\frac{{{x}^{2}}-10x+25}{{{x}^{2}}-5x}=\frac{{{\left( x-5 \right)}^{2}}}{x\left( x-5 \right)}=\frac{x-5}{x}\]
Thay \[x=1,12\] vào biểu thức trên ta có : \[\frac{1,12-5}{1,12}=\frac{-97}{28}\approx -3,464\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 2 toán học 8, toán 8 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất