Giải toán bằng cách lập phương trình (tiếp)

BÀI 7: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (TIẾP)

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Để lập được phương trình ta cần khéo chọn ẩn số, tìm sự liên quan đến các đại lượng trong bài toán. Lập bảng biểu diễn các đại lượng trong bài toán theo ẩn số đã chọn là một phương pháp thường dùng

II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 37. (SGK Toán 8 tập 2 trang 30)

Phân tích bài toán:

Chọn \[x\] là vận tốc trung bình của xe máy.

(Các bạn có thể chọn \[x\] là quãng đường AB và làm tương tự).

Giải:

Gọi vận tốc trung bình của xe máy là \[x\] (\[x>0\], km/h).

Thời gian xe máy đi từ A đến B: \[9h30-6h=3,5\left( h \right)\]

Quãng đường AB (tính theo xe máy) là: \[3,5x\] (km).

Vận tốc trung bình của ô tô lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy \[20\]km/h

\[\Rightarrow \] Vận tốc trung bình của ô tô là: \[x+20\] (km/h)

Ô tô xuất phát sau xe máy\[1h\]

\[\Rightarrow \]thời gian ô tô đi từ A đến B là: \[3,5-1=2,5\] (h).

Quãng đường AB (tính theo ô tô) là: \[2,5\left( x+20 \right)\] (km)

Vì quãng đường AB là không đổi nên ta có phương trình:

\[3,5x=2,5\left( x+20 \right)\Leftrightarrow x=50\] (thỏa mãn).

⇒ Quãng đường AB: \[x=3,5.50=175\left( km \right)\]

Vậy quãng đường AB dài \[175\left( km \right)\] và vận tốc trung bình của xe máy là \[50\left( km/h \right)\]

Bài 38. (SGK Toán 8 tập 2 trang 30)

Gọi \[x\] là số học sinh (tần số) được điểm \[5\] (\[x\in \mathbb{N},0\le x\le 4\]).

Tần số hay số học sinh được điểm \[9\] là:

\[10-\left( 1+2+3+4+x \right)=4-x\]

Điểm trung bình của cả tổ bằng \[6,6\]điểm nên:

\(\begin{array}{l} \frac{{4.1 + 5x + 7.2 + 8.3 + 9\left( {4 - x} \right)}}{{10}} = 6,6\\ \Leftrightarrow 4 + 5x + 14 + 24 + 36 - 9x = 66 \end{array}\)

\[\Leftrightarrow x=3\](tmđk)

Điền kết quả vào ô trống :

Bài 39. (SGK Toán 8 tập 2 trang 30)

* Phân tích:

Vì trong \[120000\] Lan trả có \[10000\] thuế VAT nên giá gốc của hai sản phẩm không tính VAT là \[110000\] đồng.

Gọi giá gốc của mặt hàng thứ nhất là \[x\] (\[0đồng).

Vì trong \[120000\] đồng Lan trả đã có \[10000\] đồng thuế VAT nên tổng giá gốc của cả hai mặt hàng chỉ bằng: \[120000-10000=110000\] (nghìn đồng).

⇒ Giá gốc của mặt hàng thứ hai là: \[110000-x\] ( đồng).

Thuế VAT của mặt hàng thứ nhất bằng: \[10%x=0,1x\] (đồng).

Thuế VAT của mặt hàng thứ hai bằng: \[0,08\left( 110000-x \right)\] (đồng).

Thuế VAT của cả hai mặt hàng bằng: \[0,1x+\]\[0,08\left( 110000-x \right)\] (nghìn đồng).

Theo đề bài, tổng thuế VAT của cả hai mặt hàng là \[10000\]đồng nên ta có phương trình:

\[0,1x+\]\[0,08\left( 110000-x \right)\]\[=\]\[10000\]\[\Leftrightarrow x=60000\](tm)

Vậy không kể VAT thì giá của mặt hàng thứ nhất là \[60000\]đồng, giá của mặt hàng thứ hai là \[110000-60000=50000\]đồng.

LUYỆN TẬP

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Dạng 1: Toán về quan hệ các số

Dạng 2: Toán chuyển động

Dạng 3: Toán làm chung công việc

Dạng 4: Toán phần trăm

Dạng 5: Toán có nội dung hình học

Dạng 6: Toán về năng suất lao động

Dạng 7: Các dạng toán khác

II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 40. (SGK Toán 8 tập 2 trang 31)

Gọi tuổi Phương năm nay là \[x\] ( Tuổi , \[x>0\])

Tuổi mẹ năm nay là \[3x\] ( tuổi)

Sau \[13\]năm nữa thì tuổi Phương là : \[x+13\] (tuổi) và tuổi mẹ là : \[3x+13\] (tuổi)

Theo đề bài ta có phương trình:

\[3x+13=2\left( x+13 \right)\Leftrightarrow 3x+13=2x+26\Leftrightarrow x=13\]

Vậy năm nay Phương \[13\] tuổi.

Bài 41. (SGK Toán 8 tập 2 trang 31)

Gọi \[x\] là chữ số hàng chục (\[x\] nguyên dương , \[0)

Chữ số hàng đơn vị à \[2x\].

Số đã cho là : \[10x+2x=12x\]

Khi xen chữ số \[1\] vào giữa hai chữ số \[x\] và \[2x\] thì \[x\] thành chữ số hàng trăm, \[2x\]vẫn là chữ số hàng đơn vị. Số mới sẽ là”

\[100x+10-12x=370\Leftrightarrow 90x=360\Leftrightarrow x=4\]

Vậy số cần tìm là \[48\]

Bài 42. (SGK Toán 8 tập 2 trang 31)

Gọi \[x\] là số tự nhiên có hai chữ số.

Khi viết chữ số \[2\] vào bên trái và chữ số \[2\] vào bên phải ta đươc một số có bốn chữ số . Số nhận được là: \[2.1000+x.10+2=2002+10x\]

Số nhận được lớn gấp \[153\] lần số ban đầu nên ta có phương trình:

\[2002+10x=153x\Leftrightarrow 143x=2002\Leftrightarrow x=14\]

Vậy số cần tìm là \[14\]

Bài 43. (SGK Toán 8 tập 2 trang 31)

Gọi x là mẫu số (\[x\] có một chữ số , \[x\in \mathbb{N}\])

Tử số là \[x+4\]

Viết thêm bên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số thì được mẫu bằng:

\[10x+\left( x+4 \right)=11x+4\]

Phân số mới bằng phân số \[\frac{1}{5}\] . Ta có phương trình: \[\frac{x+4}{10x+x+4}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow \frac{x+4}{11x+4}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow 5\left( x+4 \right)=11x+4\Leftrightarrow x=\frac{16}{6}\] (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không tìm được phân số nào thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 44. (SGK Toán 8 tập 2 trang 31)

Gọi \[x\] là số học sinh của lớp (\[x\] nguyên dương)

Số điểm \[4\] của lớp là:

\[x-\left( 2+10+12+7+6+4+1 \right)=x-42\]

Điểm trung bình của lớp là 6,06 nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} \frac{{1.0 + 2.0 + 3.2 + 4\left( {x - 42} \right) + 5.10 + 6.12 + 7.7 + 8.6 + 9.4 + 10.1}}{x} = 6,06\\ \Leftrightarrow 103 + 4x = 6,06x\\ \Leftrightarrow x = 50\left( {tmdk} \right) \end{array}\)

Vậy số học sinh của lớp là \[50\] và số điểm \[4\] là \[8\].

Bài 45. (SGK Toán 8 tập 2 trang 31)

Gọi \[x\]là số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng ( tấm, \[x>0\])

Lập bảng sau:

Vì năng suất dệt của xí nghiệp tăng \[20%\]nên trong một ngày xí nghiệp dệt \[120%\]so với hợp đồng.

Ta có PT:

\[\frac{x+24}{18}=\frac{120}{100}.\frac{x}{20}\Leftrightarrow \frac{x+24}{9}=\frac{3x}{25}\Leftrightarrow x=300\left( tmdk \right)\]

Vậy xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng là \[300\] tấm thảm.

Bài 46. (SGK Toán 8 tập 2 trang 31)

* Giải:

Gọi C là địa điểm ô tô gặp tàu hỏa.

Quãng đường AC ô tô đi với vận tốc \[48km/h\]và đi trong \[1\] giờ nên \[{{S}_{AC}}=48.1=48\left( km \right)\]

Gọi quãng đường BC dài là \[x\] (km; \[x>0\]).

Vận tốc dự tính đi trên BC là: \[48km/h\] Suya ra thời gian dự tính đi quãng đường BC hết: \[\frac{x}{48}\] (giờ).

Thực tế ô tô đi quãng đường BC với vận tốc bằng \[48+6=54\left( km/h \right)\]

⇒ Thời gian thực tế ô tô đi quãng đường BC là: \[\frac{x}{54}\] (giờ).

Thời gian chênh nhau giữa dự tính và thực tế chính là thời gian ô tô đợi tàu hỏa là \[10\] phút = \[\frac{1}{6}\] (giờ).

Do đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} \frac{x}{{48}} - \frac{x}{{54}} = \frac{1}{6}\\ \Leftrightarrow \frac{{9x}}{{432}} - \frac{{8x}}{{432}} = \frac{{72}}{{432}}\\ \Leftrightarrow 9x - 8x = 72\\ \Leftrightarrow x = 72\left( {tm} \right) \end{array}\)

Nên quãng đường BC là \[72\] (km).

Vậy quãng đường AB là:

\[{{S}_{AB}}={{S}_{AC}}+{{S}_{BC}}=48+72=120\left( km \right)\]

Bài 47. (SGK Toán 8 tập 2 trang 32)

a) Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm: \[x\] đồng (\[x>0\]).

Lãi suất mỗi tháng là a% tháng nên số tiền lãi sau tháng thứ nhất bằng: \[x.a%\]

Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất: \[x+x.a%=\left( 1+a% \right)x\]

Số tiền lãi sau tháng thứ hai: \(x + x.a\% = \left( {1 + a\% } \right)x\)

Tổng số tiền lãi sau hai tháng bằng: \[xa%+\left( 1+a% \right)xa%\] (đồng) (1)

b) Vì sau hai tháng bà An lãi \[48288\] đồng với lãi suất \[1,2%\] (tức là \[a=1,2\]) nên thay vào (1) ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} 1,2\% x + \left( {1 + 1,2\% } \right).x.1,2\% = 48288\\ \Leftrightarrow 0,012x + 1,012x.0,012 = 48288\\ \Leftrightarrow 0,024144x = 48288 \end{array}\)

\[\Leftrightarrow x=2000000\] (đồng)

Vậy bà An đã gửi tiết kiệm \[2000000\]đồng.

Bài 48. (SGK Toán 8 tập 2 trang 32)

Gọi số dân tỉnh A năm ngoái là \[x\] (người) , \[0, \[x\in \mathbb{N}\]

Lập bảng liên hệ giữa số dân và năm:

Số dân tỉnh A năm nay nhiều hơn số dân tỉnh B là \[807200\]người nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} 1,011x - 1,012\left( {4000000 - x} \right) = 807200\\ \Leftrightarrow 2,023x = 4855200\\ \Leftrightarrow x = 2400000\left( {tmdk} \right) \end{array}\)

Vậy số dân tỉnh A năm ngoái là \[2,4\]triệu và số dân tỉnh CB năm ngoái là \[1,6\]triệu.

Bài 49. (SGK Toán 8 tập 2 trang 32)

Gọi \[x\] (cm) là độ dài cạnh \[AC\] (\[x>2\]).

Gọi hình chữ nhật là \[MNPA\] như hình vẽ.

Ta có: \[MC=AC-AM=x-2\left( cm \right)\]

Vì \[MN//AB\]nên theo định lý Talet ta có tỉ lệ:

\[\frac{MN}{AB}=\frac{MC}{AC}\Leftrightarrow MN=\frac{AB.MC}{AC}=\frac{3\left( x-2 \right)}{x}\]

Diện tích hình chữ nhật \[MNPA\] là: \[AM.MN=2.\frac{3\left( x-2 \right)}{x}=\frac{6\left( x-2 \right)}{x}\]

Diện tích tam giác \[ABC\] là: \[\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.3.x=\frac{3}{2}x\]

Vì diện tích tam giác \[ABC\]gấp đôi diện tích hình chữ nhật \[MNPA\] nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} \frac{3}{2}x = 2.\frac{{6\left( {x - 2} \right)}}{x} \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} = \frac{{12x - 24}}{x} \Leftrightarrow 3{x^2} - 24x + 48 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 4\left( {tmdk} \right) \end{array}\)

Vậy độ dài đoạn thẳng \[AC\] là \[4cm\]

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa luyện tập giải bài toán bằng cách lập phương trình toán học 8, toán 8 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất