BÀI 9. THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHÓP ĐỀU
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức tính thể tích:
Thể tích hình chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao h là:
$$V=\frac{1}{3}S.h$$
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính thể tích hình chóp đều
Cách giải:
Áp dụng công thức:
Thể tích hình chóp đều chiều cao h và diện tích đáy bằng S là $$V=\frac{1}{3}S.h$$
Dạng 2. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình chóp đều
Cách giải:
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
$${{S}_{xq}}=p.d$$ ( p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn của hình chóp đều)
- Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.
Dạng 3. Tính độ dài cạnh bên hình chóp đều
Cách giải:
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông:
$$\Delta ABC$$ vuông tại A $$\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$$
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 44. SGK toán 8 tập 2 trang 123
a) Lều là hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh 2m và chiều cao 2m.
Thể tích không khí trong lều bằng thể tích lều bằng: $$V=\frac{1}{3}.2.2.2=\frac{8}{3}\left( {{m}^{3}} \right)$$
b) Diện tích vải bạt cần để dựng lều bằng diện tích xung quanh của hình chóp.
Kẻ $$SH\bot BC$$ tại H
$$\Rightarrow SH$$là tiếp tuyến của $$\Delta SBC$$ cân tại S
$$\Rightarrow BH=CH=\frac{1}{2}BC=1\left( m \right)$$
Ta có: $$SH=\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}\left( m \right)$$
$$\Rightarrow {{S}_{xq}}=p.d=\left( \frac{1}{2}.2.4 \right).\sqrt{5}=4\sqrt{5}\approx 8,96\left( {{m}^{2}} \right)$$
Bài 45. SGK toán 8 tập 2 trang 124
Hình 130
Hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh 10cm.
Đường cao của tam giác đều là: $$h=\sqrt{C{{D}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2}BC \right)}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{5}^{2}}}=\sqrt{75}\left( cm \right)$$
Thể tích hình chóp đều là: $$V=\frac{1}{3}S.{{h}_{1}}=\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}BC.h \right).{{h}_{1}}=\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}.10.\sqrt{75} \right).12\approx 173,2\left( c{{m}^{3}} \right)$$
Hình 131
Hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh 8cm.
Đường cao của tam giác đều là: $$h=\sqrt{C{{D}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2}BC \right)}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}-{{4}^{2}}}=\sqrt{48}\left( cm \right)$$
Thể tích hình chóp đều là: $$V=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}BC.h \right).{{h}_{1}}=\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}.8.\sqrt{48} \right).16,2\approx 149,69\left( c{{m}^{3}} \right)$$
Bài 46. SGK toán 8 tập 2 trang 124
a) Ta có tam giác MHN là tam giác đều
$$\Rightarrow $$ Đường cao HK của $$\Delta MHN$$là $$HK=\sqrt{M{{H}^{2}}-M{{K}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}-{{6}^{2}}}=\sqrt{108}\left( cm \right)$$
Diện tích đáy của hình chóp lục giác đều là: $${{S}_{d}}=6{{S}_{MHN}}=6.\frac{1}{2}.HK.MN=6.\frac{1}{2}.12.\sqrt{108}\approx 374,04\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Thể tích hình chóp là: $$V=\frac{1}{3}{{S}_{d}}.SH=\frac{1}{3}.374,04.35=4363,8\left( c{{m}^{3}} \right)$$
b) $$\Delta MSH$$ vuông tại H có: $$MS=\sqrt{S{{H}^{2}}+M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{35}^{2}}+{{12}^{2}}}=37\left( cm \right)$$
Đường cao mỗi mặt bên là: $$h=HK=\sqrt{M{{S}^{2}}-M{{K}^{2}}}=\sqrt{{{37}^{2}}-{{6}^{2}}}\approx 36,51\left( cm \right)$$
Diện tích xung quanh hình chóp là: $${{S}_{xq}}=p.d=\frac{1}{2}.6.SK.MN=\frac{1}{2}.6.12.36,51=1314,36\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích toàn phần hình chóp là: $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=1314,36+374,04=1688,4\left( c{{m}^{2}} \right)$$
LUYỆN TẬP
Bài 47. SGK toán 8 tập 2 trang 124
Hình 1: Không được hình chóp đều vì có đáy là hình chữ nhật không phải đa giác đều.
Hình 2: Không được hình chóp đều. Khi gấp lại ta được lăng trụ đứng tam giác đều.
Hình 3: Không được hình chóp đều vì đáy không phải là đa giác đều.
Hình 4: Không được đa giác đều vì thiếu mặt đáy.
Bài 48. SGK toán 8 tập 2 trang 125
a)
Các mặt bên là các tam giác cân cạnh bằng 5cm.
Chiều cao của mỗi mặt bên là: $$SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-2,{{5}^{2}}}=\sqrt{18,75}\approx 4,33\left( cm \right)$$
Diện tích xung quanh hình chóp là: $${{S}_{xq}}=p.d=\frac{1}{2}.5.4.4,33=43.3\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Diện tích toàn phần của hình chóp là: $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=43,3+{{5}^{2}}=68,3\left( c{{m}^{2}} \right)$$
b)
Các mặt bên của hình chóp là các tam giác cân cạnh 10cm và đáy hình chóp là lục giác đều cạnh 6cm.
Đường cao của mặt bên là: $$SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{3}^{2}}}=\sqrt{91}\approx 9,54\left( cm \right)$$
Diện tích xung quanh của hình chóp là: $${{S}_{xq}}=p.d=\left( \frac{1}{2}.6.6 \right).9,54=171,72\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Đáy hình chóp là lục giác đều có diện tích gấp 6 lần diện tích tam giác đều OAB.
Chiều cao $$\Delta OAB$$ là: $$h=OH=\sqrt{0{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}-{{3}^{2}}}=\sqrt{27}\approx 5,2\left( cm \right)$$
Diện tích toàn phần hình chóp là: $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=171,72+6.\left( \frac{1}{2}.6.5,2 \right)=265,32\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Bài 49. SGK toán 8 tập 2 trang 125
a) $${{S}_{xq}}=p.d=\left( \frac{1}{2}.6.4 \right).10=120\left( c{{m}^{2}} \right)$$
b) $${{S}_{xq}}=p.d=\left( \frac{1}{2}.7,5.4 \right).9,5=142,5\left( c{{m}^{2}} \right)$$
c) Độ dài trung đoạn là: $$d=\sqrt{{{17}^{2}}-{{8}^{2}}}=\sqrt{225}=15$$
$$\Rightarrow {{S}_{xq}}=p.d=\left( \frac{1}{2}.16.4 \right).15=480\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Bài 50. SGK toán 8 tập 2 trang 125
a)
Diện tích đáy hình chóp đều là: $$S=B{{C}^{2}}=6,{{5}^{2}}=42,25\left( c{{m}^{2}} \right)$$
Thể tích hình chóp đều là: $$V=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}.42,25.12=169\left( c{{m}^{3}} \right)$$
b)
Chóp cụt có các mặt bên là các hình thang cân có đáy nhỏ bằng 2cm, đáy lớn bằng 4cm và chiều cao bằng 3,5cm.
Diện tích xung quanh hình chóp cụt là: $${{S}_{xq}}=4.\frac{\left( 2+3 \right).3,5}{2}=42\left( c{{m}^{2}} \right)$$