Hình chữ nhật

BÀI 9: HÌNH CHỮ NHẬT

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

2. Tính chất

Hình chữ nhật có tất cả tính chất của hình bình hành, hình thang cân.

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
2. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
4. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Áp dụng vào tam giác

1. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
2. Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật, cạnh huyền trong tam giác vuông

Cách giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông: Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Dạng 2. Chứng minh tính chất trong hình chữ nhật

Cách giải:

- Giao điểm của hai đường chéo trong hình chữ nhật là tâm đối xứng của hình chữ nhật đó.

- Hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật là hai trục đối xứng của hình chữ nhật đó.

Dạng 3. Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Cách giải:

Sử dụng bốn dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật đã học.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 58. (SGK Toán 8 tập 1 trang 99)

Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: $$d^2=a^2+b^2$$ .

Ta có bảng sau:

Bài 59. (SGK Toán 8 tập 1 trang 99)

a)

Gọi O là giao điểm của AC và BD trong hình chữ nhật ABCD.

$$\Rightarrow OA=OC;OB=OD$$

$$\Rightarrow$$ O là tâm đối xứng của hình chữ nhật đó (đpcm)

b)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật

$$\Rightarrow$$ ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB và CD

$$\Rightarrow$$ Đường thẳng đi qua trung điểm AB và CD là trục đối xứng ABCD.

Chứng minh tương tự: ABCD là hình thang cân có hai đáy là AD và BC

$$\Rightarrow$$ Đường thẳng đi qua trung điểm AD và BC là trục đối xứng của ABCD.

$$\Rightarrow$$ Điều phải chứng minh.

Bài 60. (SGK Toán 8 tập 1 trang 99)

Gọi a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đã cho.

Ta có: $$a^2=7^2+{24}^2=625$$ (theo định lí Pi-ta-go)

$$\Rightarrow$$ $$a=25(cm)$$

$$\Rightarrow$$ Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng: $$\frac{1}{2}a=\frac{25}{2}=12,5\left(cm\right)$$

Bài 61. (SGK Toán 8 tập 1 trang 99)

Vì I là trung điểm của AC$$\Rightarrow IA=IC$$.

Vì E đối xứng với H qua I $$\Rightarrow IE=IH$$

$$\Rightarrow AC\cap HE=I$$ là trung điểm của AC và HE

$$\Rightarrow$$ AHCE là hình bình hành

Lại có: $$\hat{H}={90}^0$$

$$\Rightarrow$$ AHCE là hình chữ nhật (đpcm).

LUYỆN TẬP

Bài 62. (SGK Toán 8 tập 1 trang 99)

a) Đúng

Gọi O là trung điểm của AB.

Ta có: OC là trung tuyến ứng với cạnh huyền

$$\Rightarrow$$ $$OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$$

$$\Rightarrow$$ A, B, C cùng thuộc đường tròn bán kính OA

Lại có: Tâm O là trung điểm của AB

$$\Rightarrow$$ AB là đường kính

Vậy C thuộc đường tròn đường kính AB.

b) Đúng.

Ta có: O là tâm đường tròn

$$\Rightarrow OA=OB=OC=R$$

Lại có: AB là đường kính đường tròn tâm O

$$\Rightarrow$$ $$AB=2R$$

Tam giác ABC có OC là trung tuyến và $$OC=\frac{1}{2}AB$$

$$\Rightarrow$$ $$\mathrm{\Delta }ABC$$ vuông tại C

Bài 63. (SGK Toán 8 tập 1 trang 100)

Hạ đường vuông góc từ B xuống CD cắt CD tại H

Xét tứ giác ABHD có: $$\hat{A}=\hat{D}=\hat{H}={90}^0$$

$$\Rightarrow$$ ABHD là hình chữ nhật

$$\Rightarrow AB=DH=10$$

$$\Rightarrow$$ $$CH=CD-DH=15-10=5$$

Xét $$\mathrm{\Delta }HBC$$ vuông tại H có: $$B{C}^2=B{H}^2+H{C}^2$$ (định lí Pi-ta-go)

$$\iff {13}^2=B{H}^2+5^2$$

$\begin{array}{l}\iff B{H}^2={13}^2-5^2=144\\ \iff BH=12\end{array}$

Mà ABHD là hình chữ nhật

$$\Rightarrow$$ $$AD=BH=12$$

$$\Rightarrow$$ $$x=12$$

Bài 64. (SGK Toán 8 tập 1 trang 100)

Vì ABCD là hình bình hành

$\begin{array}{l}\Rightarrow AB//CD\\ \Rightarrow \widehat{BAD}+\widehat{CAD}={180}^0\end{array}$

AH là phân giác trong của $$\widehat{BAD}$$ $$\Rightarrow \widehat{DAH}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}$$

DH là phân giác trong của $$\widehat{ADC}\Rightarrow \widehat{ADH}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}$$

Xét $$\mathrm{\Delta }ADH$$ có:

$\begin{array}{l}\widehat{DAH}+\widehat{ADH}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}+\frac{1}{2}\widehat{ADC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BAD}+\widehat{ADC}\right)=\frac{1}{2}{.180}^0={90}^0\\ \Rightarrow \widehat{AHD}={90}^0\Rightarrow \widehat{GHE}=\widehat{AHD}={90}^0\end{array}$

Chứng minh tương tự: $$\widehat{HGF}={90}^0;\widehat{EFG}={90}^0$$

$$\Rightarrow$$ EFGH là hình chữ nhật (đpcm)

Bài 65. (SGK Toán 8 tập 1 trang 100)

Ta có: $$AE=BE,BF=CF$$

$$\Rightarrow$$ EF là đường trung bình của $$\mathrm{\Delta }ABC$$

$$\Rightarrow$$ $$EF//AC;EF=\frac{1}{2}AC$$ (1)

Ta có: $$DH=AH,CG=DG$$

$$\Rightarrow$$ GH là đường trung bình của $$\mathrm{\Delta }ACD$$

$$\Rightarrow$$ $$GH//AC;GH=\frac{1}{2}AC$$ (2)

Từ (1) và (2) $$\Rightarrow$$ $$EF//GH;EF=GH$$

$$\Rightarrow$$ EFGH là hình bình hành (3)

Lại có: $$AE=BE,AH=DH$$

$$\Rightarrow$$ EH là đường trung bình của $$\mathrm{\Delta }ABD$$

$$\Rightarrow$$ $$HE//BD$$

Mà $$EF//AC,AC\mathrm{\perp }BD$$ $$\Rightarrow$$ $$HE\mathrm{\perp }EF\Rightarrow \hat{E}={90}^0$$ (4)

Từ (3) và (4) $$\Rightarrow$$ EFGH là hình chữ nhật

Bài 66. (SGK Toán 8 tập 1 trang 100)

Xét tứ giác BCDE có:

$$BC=DE$$;$$BC//DE$$ (cùng vuông góc với CD);

$$\Rightarrow$$ BCDE là hình bình hành $$\Rightarrow$$ $$BE//CD$$

Lại có: $$\widehat{ABC}=\hat{C}={90}^0$$ $$\Rightarrow AB//CD$$

$$\widehat{DEF}=\hat{D}={90}^0$$ $$\Rightarrow CD//EF$$

$$\Rightarrow$$ A, B, E, F thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit)

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài Hình chữ nhật do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.