BÀI 9: BIẾN ĐỔI CÁC BIẾN HỮU TỈ. GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Biểu thức hữu tỉ
Những phân thức biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức gọi là những biểu thức hữu tỉ.
2. Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức
Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia của các phân thức ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.
3. Giá trị của phân thức
Khi làm những bài toán liên quan đến giá trị phân thức thì trước hết phải tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0. Đó chính là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định. Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức ấy và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Biến đổi biểu thức thành một phân thức đại số
Cách giải:
Sử dụng các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia.
Dạng 2. Tìm giá trị của biến để phân thức xác định
Cách giải:
Tìm điều kiện của biến để mẫu thức khác 0 hay cho mẫu thức bằng 0 để tìm các giá trị làm phân thức không xác định.
Dạng 3. Rút gọn phân thức
Cách giải:
Sử dụng quy tắc đặt nhân tử chung, nhóm các hạng tử hoặc dùng hằng đẳng thức để rút gọn đa thức.
Dạng 4. Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các phân thức
Cách giải:
Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia đa thức để giải bài toán.
Dạng 5. Chứng minh giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện
Cách giải:
- Rút gọn biểu thức ( nếu có thể).
- Chứng minh bằng tính chất chia hết, các tính chất của phép cộng, trừ, nhân, chia.
Dạng 6. Tính giá trị biểu thức
Cách giải:
- Rút gọn biểu thức ( nếu có thể).
- Thay giá trị có sẵn trong đề bài vào biểu thức sau khi đã rút gọn ta được giá trị cần tìm.
Dạng 7. Bài toán đưa về giá trị của phân thức
Cách giải:
Phân tích bài toán để tìm được biểu thức cụ thể sau đó rút gọn biểu thức.
Thay giá trị có sẵn trong đề bài vào biểu thức sau khi đã rút gọn ta được giá trị cần tìm.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 46. (SGK Toán 8 tập 1 trang 57)
a) \[\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\left( 1+\frac{1}{x} \right):\left( 1-\frac{1}{x} \right)=\frac{x+1}{x}:\frac{x-1}{x}=\frac{x+1}{x}.\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}\]
b) \(\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}} = \left( {1 - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}} \right) = \frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}}:\frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}}\)
\(= \frac{{x - 1}}{{x + 1}}:\frac{1}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}} \cdot (x - 1)(x + 1) = {(x - 1)^2}\)
Bài 47. (SGK Toán 8 tập 1 trang 57)
a) Phân thức \[\frac{5x}{2x+4}\] xác định
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow 2x + 4 \ne 0}\\ { \Leftrightarrow 2x \ne - 4}\\ { \Leftrightarrow x \ne - 2} \end{array} \)
Vậy với mọi \[x\ne -2\]thì phân thức \[\frac{5x}{2x+4}\] xác định
b) Phân thức \[\frac{x-1}{{{x}^{2}}-1}\] xác định
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow {x^2}-1 \ne 0}\\ { \Leftrightarrow \left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0} \end{array}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ne 0\\ x + 1 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x \ne - 1 \end{array} \right. \end{array} \)
Vậy với mọi \[x\ne \pm 1\]thì phân thức \[\frac{x-1}{{{x}^{2}}-1}\] xác định
Bài 48. (SGK Toán 8 tập 1 trang 58)
a) Phân thức \[\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{x+2}\] xác định
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow x + 2 \ne 0}\\ { \Leftrightarrow x \ne - 2} \end{array} \)
Vậy phân thức xác định khi \[x\ne -2\]
b) \[A=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{x+2}=\frac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{x+2}=x+2\]
c) Để \[A=1\Leftrightarrow x+2=1\Leftrightarrow x=-1\ne -2\left( t/m \right)\]
Vậy \[x=-1\]thỏa mãn bài toán.
d) Để \[A=0\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\] (không thỏa mãn)
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn bài toán.
Bài 49. (SGK Toán 8 tập 1 trang 58)
Tập hợp ước của 2 là: Ư \[\left( 2 \right)=\left\{ -1;1;-2;2 \right\}\]
Vậy các phân thức cần tìm phải xác định với mọi \[x\ne -1;1;-2;2\] .
Ví dụ:
\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2} + x + 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ \frac{{4x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ \frac{{3x + 8}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \end{array} \)
LUYỆN TẬP
Bài 50. (SGK Toán 8 tập 1 trang 58)
a)
\(\begin{array}{l} \left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right) = \frac{{x + x + 1}}{{x + 1}}:\frac{{1 - {x^2} - 3{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\frac{{1 - {x^2}}}{{1 - 4{x^2}}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{2x - 1}} \end{array} \)
b)
\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}} - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot \frac{1}{{x + 1}} - \left( {{x^2} - 1} \right)\\ = \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} - \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x + 1}} - \left( {{x^2} - 1} \right) \end{array}\\ { = x + 1 - (x - 1) - \left( {{x^2}} \right) - 1 = 3 - {x^2}} \end{array}\)
Bài 51. (SGK Toán 8 tập 1 trang 58)
a)
\(\begin{array}{l} \left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{y}{x}} \right):\left( {\frac{x}{{{y^2}}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}} \right) = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x{y^2}}}:\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{x{y^2}}} = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x{y^2}}}.\frac{{x{y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}} = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\\ = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}}{{{x^2} - xy + {y^2}}} = x + y \end{array} \)
b)
\(\begin{array}{l} \left( {\frac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \frac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{x - 2}}} \right)\\ = \frac{{{x^2} - 4x + 4 - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}}:\frac{{x - 2 + x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 8x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x}}\\ = \frac{{ - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \end{array} \)
Bài 52. (SGK Toán 8 tập 1 trang 58)
\(\begin{array}{l} \left( {a - \frac{{{x^2} + {a^2}}}{{x + a}}} \right).\left( {\frac{{2a}}{x} - \frac{{4a}}{{x - a}}} \right)\\ = \frac{{a\left( {x + a} \right) - {x^2} - {a^2}}}{{x + a}}.\frac{{2a\left( {x - a} \right) - x.4a}}{{x\left( {x - a} \right)}}\\ = \frac{{ax - {x^2}}}{{x + a}}.\frac{{ - 2{a^2} - 2ax}}{{x\left( {x - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - ax} \right)\left( {2{a^2} + 2ax} \right)}}{{\left( {x + a} \right)x\left( {x - a} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x - a} \right).2a\left( {x + a} \right)}}{{x\left( {x + a} \right)\left( {x - a} \right)}}\\ = 2a \end{array} \)
Với \[x\ne 0\] thì 2a là một số chẵn
\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.
Bài 53. (SGK Toán 8 tập 1 trang 58)
a)
\(\begin{array}{l} 1 + \frac{1}{x} = \frac{{x + 1}}{x}\\ 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{x + 1}}{x}}} = 1 + \frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x + 1 + x}}{{x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\\ 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}}} = 1 + \frac{{x + 1}}{{2x + 1}} = \frac{{2x + 1 + x + 1}}{{2x + 1}} = \frac{{3x + 2}}{{2x + 1}} \end{array} \)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}}}} = \frac{{3x + 2 + 2x + 1}}{{3x + 2}} = \frac{{5x + 3}}{{3x + 2}}\\ \Rightarrow 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}}}}}} = \frac{{5x + 3 + 3x + 2}}{{5x + 3}} = \frac{{8x + 5}}{{3x + 2}} \end{array} \)
Chứng minh:
\(\begin{array}{l} 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{3x + 2}}{{2x + 1}}}} = 1 + \frac{{2x + 1}}{{3x + 2}} = \frac{{3x + 2 + 2x + 1}}{{3x + 2}} = \frac{{5x + 3}}{{3x + 2}}\\ 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}}}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{5x + 3}}{{3x + 2}}}} = 1 + \frac{{3x + 2}}{{5x + 3}} = \frac{{5x + 3 + 3x + 2}}{{5x + 3}} = \frac{{8x + 5}}{{5x + 3}} \end{array} \)
Bài 54. (SGK Toán 8 tập 1 trang 59)
a) Phân thức \[\frac{3x+2}{2{{x}^{2}}-6x}\] xác định
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow 2{x^2}-6x \ne 0}\\ { \Leftrightarrow 2x\left( {x-3} \right) \ne 0} \end{array}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x - 3 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x \ne 3 \end{array} \right. \end{array} \)
Vậy phân thức trên xác định với mọi\[x\ne 0;x\ne 3\].
b) Phân thức \[\frac{5}{{{x}^{2}}-3}\] xác định
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow {x^2}-3 \ne 0}\\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - \sqrt 3 \ne 0\\ x + \sqrt 3 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ne \pm \sqrt 3 \end{array} \end{array} \)
Vậy phân thức trên xác định với mọi \[x\ne \pm \sqrt{3}\] .
Bài 55. (SGK Toán 8 tập 1 trang 59)
a) Phân thức \[\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}-1}\] xác định
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow {x^2}-1 \ne 0}\\ { \Leftrightarrow \left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0} \end{array}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ne 0\\ x + 1 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x \ne - 1 \end{array} \right. \end{array} \)
Vậy phân thức xác định với mọi \[x\ne \pm 1\]
b) Với \[x\ne \pm 1\] ta có: \[\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{x+1}{x-1}\]
c) + Với \[x=2\] (thỏa mãn\[x\ne \pm 1\]) , bạn Thắng tính giá trị biểu thức đúng.
+ Với\[x=-1\] , phân thức \[\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}-1}\] không xác định do vi phậm điều kiện \[x\ne \pm 1\] nên Thắng tính sai.
Với những giá trị của biến làm phân thức xác định ta có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn.
Bài 56. (SGK Toán 8 tập 1 trang 59)
a) Phân thức \[\frac{3{{x}^{2}}+6x+12}{{{x}^{3}}-8}\] xác định
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow {x^3}-8 \ne 0}\\ { \Leftrightarrow {x^3}-{2^3} \ne 0}\\ { \Leftrightarrow \left( {x-2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) \ne 0}\\ { \Leftrightarrow x-2 \ne 0}\\ { \Leftrightarrow x \ne 2} \end{array} \)
Vậy phân thức xác định với mọi \[x\ne 2\].
b) Với \[x\ne 2\]ta có: \[\frac{3{{x}^{2}}+6x+12}{{{x}^{3}}-8}=\frac{3\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{3}{x-2}\]
c) Thay \[x=\frac{4001}{2000}\] vào biểu thức ta được: \[\frac{3}{\frac{4001}{2000}-2}=\frac{3}{\frac{1}{2000}}=6000\]
Vậy trên \[1c{{m}^{2}}\] bề mặt da có 6000 con vi khuẩn.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa biến đổi các biểu thức hữu tỉ toán học 8, toán 8 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất