BÀI 8: ĐỐI XỨNG TÂM
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hai điểm đối xứng qua một điểm
Định nghĩa:
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Quy ước:
Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O cũng là điểm O.
2. Hai hình đối xứng qua một điểm
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại.
Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.
Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.
3. Hình có tâm đối xứng
Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H. Trong trường hợp này, ta còn nói rằng hình H có tâm đối xứng.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Vẽ hai điểm đối xứng qua một điểm
Cách giải:
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Dạng 2. Chứng minh hai điểm đối xứng nhau qua một điểm
Cách giải:
Để chứng minh hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O, ta chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Dạng 3. Tìm các hình vẽ có tâm đối xứng
Cách giải:
Hình có tâm đối xứng là các hình có: Mỗi điểm đối xứng của các điểm thuộc hình đó đều thuộc hình đó.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 50. (SGK Toán 8 tập 1 trang 95)
Bài 51. (SGK Toán 8 tập 1 trang 96)
Vì K đối xứng với H qua gốc tọa độ O
\[\Leftrightarrow O\left( 0;0 \right)\]là trung điểm của KH
Dựa vào hình biểu diễn ta có \[K\left( -3;-2 \right)\]
Bài 52. (SGK Toán 8 tập 1 trang 96)
Vì ABCD là hình bình hành
\[\Rightarrow \] \[AB//CD;AB=CD;AD//BC;AD=BC\]
Có: E đối xứng với D qua A\[\Rightarrow AE=AD\]
Mà \[AD=BC\]\[\Rightarrow BC=AE\]
Lại có: \[AE//BC\]
\[\Rightarrow \] AEBC là hình bình hành\[\Rightarrow EB//=AC\left( 1 \right)\]
Có: F đối xứng với D qua C\[\Rightarrow CD=CF\]
Mà \[AB=CD\]\[\Rightarrow AB=CF\]
Mà \[AB//CF\] \[\Rightarrow \] ABFC là hình bình hành
\[\Rightarrow AC//BF;AC=BF\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] \[BE=BF\];E, B, F thẳng hàng
\[\Rightarrow \] B là trung điểm EF
\[\Rightarrow \] E đối xứng với F qua B (đpcm)
Bài 53. (SGK Toán 8 tập 1 trang 96)
Ta có: \[MD//AE;ME//AD\]
\[\Rightarrow \] AEMD là hình bình hành
Lại có: I là trung điểm của DE
\[\Rightarrow \] I là trung điểm của AM
\[\Rightarrow \] A đối xứng với M qua I (đpcm)
LUYỆN TẬP
Bài 54. (SGK Toán 8 tập 1 trang 96)
Có: B đối xứng với A qua Ox
\[\Rightarrow \] Ox là đường trung trực của AB
\[\Rightarrow OA=OB\left( 1 \right)\]
Có: C đối xứng với A qua Oy
\[\Rightarrow \] Oy là đường trung trực của AC
\[\Rightarrow \] \[OA=OC\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] \[OB=OC\left( 3 \right)\]
Xét \[\Delta OAC\]cân tại O có đường trung trực Oy
\[\Rightarrow \] Oy đồng thời là đường phân giác
\[\Rightarrow \widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{O}_{2}}}\]
Xét \[\Delta OAB\]cân tại O có Ox là đường trung trực
\[\Rightarrow \] Ox đồng thời là đường phân giác
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\\ \Rightarrow \widehat {BOC} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 2\widehat {{O_2}} + 2\widehat {{O_3}} = 2\left( {\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}}} \right) = 2\widehat {xOy} = {2.90^0} = {180^0} \end{array}\)
\[\Rightarrow \] B, O, C thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) \[\Rightarrow \] O là trung điểm BC
\[\Rightarrow \] B đối xứng với C qua O (đpcm)
Bài 55. (SGK Toán 8 tập 1 trang 96)
Có: ABCD là hình bình hành có giao điểm hai đường chéo là O
\[\Rightarrow OB=OD\]
ABCD là hình bình hành \[\Rightarrow AB//CD\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{D}_{1}}}\] (Hai góc so le trong)
Xét \[\Delta OMB\] và \[\Delta ODN\] có:
\(\begin{array}{l} \widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\\ OB = OD\\ \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} \end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow \Delta BOM = \Delta DON\left( {g.c.g} \right)}\\ { \Rightarrow OM = ON} \end{array}\)
\[\Rightarrow \] O là trung điểm của MN
\[\Rightarrow \] M đối xứng với N qua O (đpcm)
Bài 56. (SGK Toán 8 tập 1 trang 96)
a) Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng AB
b) Không có tâm đối xứng
c) Tâm đối xứng là tâm của hình tròn.
d) Không có tâm đối xứng.
Bài 57. (SGK Toán 8 tập 1 trang 96)
a) Đúng.
b) Sai.
Chỉ có tâm giác đều có trọng tâm là tâm đối xứng.
c) Đúng.
Hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm bằng nhau nên chu vi của chúng bằng nhau.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài Đối xứng tâm do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ