BÀI 8: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông
Từ các trường hợp đồng dạng của hai tam giác đã xét trước đây, ta suy ra:
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.
b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
2. Dấu hiệu đặc biết nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng
Định lí 1:
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
3. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Định lí 2:
Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Định lí 3:
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh tam giác đồng dạng và tìm cặp tam giác đồng dạng
Cách giải:
- Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông:
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.
b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
- Áp dụng định lí 1:
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
- Áp dụng định nghĩa, tính chất hai tam giác đồng dạng:
\[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k\] ( k là tỉ số đồng dạng)
Tính chất 1: Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó
Tính chất 2: Nếu \[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\] thì \[\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\]
Tính chất 3: Nếu \[\Delta A'B'C'\backsim \Delta A''B''C''\] và \[\Delta A''B''C''\backsim \Delta ABC\] thì \[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\] .
Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳng
Cách giải:
- Áp dụng định nghĩa, tính chất tam giác đồng dạng.
- Áp dụng các trường hợp tam giác vuông đồng dạng và các định lí:
Định lí 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Định lí 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Định lí 3: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 46. SGK toán 8 tập 2 trang 84
a) Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta ADC\] có \[\widehat{A}\] chung , \[\widehat{ABE}=\widehat{ADC}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow \Delta ABE\backsim \Delta ADC\left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta FBC\] và \[\Delta FDE\] có \[\widehat{BFC}=\widehat{DFE};\widehat{CBF}=\widehat{EDF}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow \Delta FBC\backsim \Delta FDE\left( 2 \right)\]
Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta FDE\] có \[\widehat{E}\] chung , \[\widehat{ABE}=\widehat{EDF}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow \Delta ABE\backsim FDE\left( 3 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \Delta ADC\backsim \Delta FDE\left( 4 \right)\]
Từ (2) và (3) \[\Rightarrow \Delta ABE\backsim \Delta FBC\]
Từ (3) và (4) \[\Rightarrow \Delta ADC\backsim \Delta FBC\]
Bài 47. SGK toán 8 tập 2 trang 84
Xét \[\Delta ABC:A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25;B{{C}^{2}}={{5}^{2}}=25\]
\[\Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại A (định lí Pi-ta-go đảo)
\[\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=6\left( c{{m}^{2}} \right)\]
Lại có \[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\] (giả thiết)
\[\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k\] với k là tỉ số đồng dạng.
\[\Rightarrow \frac{S_{A'B'C'}^{'}}{{{S}_{ABC}}}={{k}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{k}^{2}}=\frac{54}{6}=9\Rightarrow k=3\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A'B' = 3AB = 9\left( {cm} \right)\\ A'C' = 3AC = 12\left( {cm} \right)\\ B'C' = 3BC = 15\left( {cm} \right) \end{array}\)
Bài 48. SGK toán 8 tập 2 trang 84
Gọi chiều cao của cột điện là x(m) \[(x>0)\] .
Giả sử cột điện AC có bóng trên mặt đất là AB và thanh sắt A’B’ có bóng trên mặt đất là A’B’.
Vì AC và A’C’ cùng vuông góc với mặt đất
\[\Rightarrow \Delta ABC\] và \[\Delta A'B'C'\] vuông góc tại A và A’.
Bóng của cột điện và thanh sắt được tia sáng tạo ra cùng một thời điểm
\[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{B'}\]
\[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\]
\[\Rightarrow \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\]
\[\Leftrightarrow \frac{x}{2,1}=\frac{4,5}{0,6}\]
\[\Leftrightarrow x=15,75\left( m \right)\]
Vậy chiều cao của cột điện đó là 15,75m.
LUYỆN TẬP
Bài 49. SGK toán 8 tập 2 trang 84
a) Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta HBA\] có: \[\widehat{A}=\widehat{H}={{90}^{0}};\widehat{B}\] chung
\[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta HBA\] (1)
Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta HAC\] có: \[\widehat{A}=\widehat{H}={{90}^{0}};\widehat{C}\] chung
\[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta HAC\] (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \Delta HBA\backsim \Delta HAC\] .
b) Ta có \[\Delta ABC\] vuông tại A
\[\Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\]
\[\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{12,{{45}^{2}}+20,{{5}^{2}}}\approx 23,98\left( cm \right)\]
Lại có: \[\Delta ABC\backsim \Delta HBA\Rightarrow \frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}\]
\[\Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{12,{{45}^{2}}}{23,98}\approx 6,46\left( cm \right)\]
Ta có: \[CH=BC-BH=23,98-6,46=17,52\left( cm \right)\]
Bài 50. SGK toán 8 tập 2 trang 84
Giả sử thanh sắt A’B’ có bóng là A’C’.
Vì AB và A’B’ đều vuông góc với mặt đất nên \[\Delta ABC\] và \[\Delta A'B'C'\] đều là tam giác vuông lần lượt tại A và A’.
Vì bóng của ống khói và thanh sắt được tia sáng tạo ra cùng thời điểm
\[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{B'}\]
\[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\]
\[\Rightarrow \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\]
\[\Leftrightarrow \frac{x}{2,1}=\frac{36,9}{1,62}\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{2,1.36,9}{1,62}\approx 47,83\left( m \right)\]
Vậy ống khói cao 47,83m.
Bài 51. SGK toán 8 tập 2 trang 84
Ta có: \[BC=BH+CH=25+36=61\left( cm \right)\]
Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta ABC\] có: \[\widehat{A}=\widehat{H}={{90}^{0}};\widehat{B}\] chung
\[\Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta CBA\]
\[\Rightarrow \frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}\]
\[\Rightarrow A{{B}^{2}}=BC.BH\]
\[\Rightarrow AB=\sqrt{BC.BH}=\sqrt{61.25}=5\sqrt{61}\left( cm \right)\]
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại A ta có: \[B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\]
\[\Rightarrow A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}\]
\[\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{61}^{2}}-1525}=6\sqrt{61}\left( cm \right)\]
Chu vi \[\Delta ABC\] là \[{{P}_{ABC}}=AB+AC+BC=5\sqrt{61}+6\sqrt{61}+61=61+11\sqrt{61}\left( cm \right)\]
Diện tích \[\Delta ABC\] là \[{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}5\sqrt{61}.6\sqrt{61}=915\left( c{{m}^{2}} \right)\]
Bài 52. SGK toán 8 tập 2 trang 85
Ta có \[\Delta ABC\] vuông tại A có \[AB=12cm;BC=20cm\] .
Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta ABC\] có: \[\widehat{A}=\widehat{H}={{90}^{0}};\widehat{B}\] chung
\[\Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta CBA\]
\[\Rightarrow \frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}\]
\[\Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{{{12}^{2}}}{20}=7,2\left( cm \right)\]
\[\Rightarrow CH=BC-BH=20-7,2=12,8\left( cm \right)\]
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài trường hợp đồng dạng của tam giác vuông do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ