Trường hợp đồng dạng thứ ba

BÀI 7: TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định lí:

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Chứng minh cặp tam giác đồng dạng

Cách giải:

- Áp dụng định lí hai tam giác đồng dạng để giải bài toán:

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau: \[\widehat{A'}=\widehat{A};\widehat{B'}=\widehat{B}\Rightarrow \Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\] .

- Áp dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng:

\[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\Rightarrow \widehat{A'}=\widehat{A};\widehat{B'}=\widehat{B};\widehat{C'}=\widehat{C};\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}\]

Dạng 2. Chứng minh tỉ số bằng nhau bằng cặp tam giác đồng dạng

Cách giải:

- Áp dụng định lí hai tam giác đồng dạng.

- Áp dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng.

- Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức bằng nhau.

Dạng 3. Tính tỉ số các đoạn thẳng bằng cặp tam giác đồng dạng

Cách giải:

- Áp dụng định lí hai tam giác đồng dạng.

- Áp dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng.

- Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức bằng nhau.

Dạng 4. Tính độ dài đoạn thẳng bằng tính chất các cặp tam giác đồng dạng

Cách giải:

- Áp dụng định lí và tính chất của hai tam giác đồng dạng.

- Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức bằng nhau: \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\]

- Áp dụng các định lí trong tam giác.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 35. SGK toán 8 tập 2 trang 79

Gọi AD và AD’ lần lượt là hai đường phân giác của \[\Delta ABC\] và \[\Delta A'B'C'\] .

Ta có \[\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\] theo tỉ số k

\[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{B'};\widehat{A}=\widehat{A'};\frac{A'B'}{AB}=k\]

Mà AD và AD’ lần lượt là hai đường phân giác của \[\widehat{A}\] và \[\widehat{A'}\]

\[\widehat{B'A'D'}=\frac{1}{2}\widehat{B'A'C'};\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}\]

\[\Rightarrow \widehat{B'A'D'}=\widehat{BAD}\]

Xét \[\Delta A'B'D'\] và \[\Delta ABD\] có:

\[\widehat{B}=\widehat{B'};\widehat{B'A'D'}=\widehat{BAD}\]

\[\Rightarrow \Delta A'B'D'\backsim \Delta ABD\]

\[\Rightarrow \frac{A'D'}{AD}=\frac{A'B'}{AB}=k\] (điều phải chứng minh)

Bài 36. SGK toán 8 tập 2 trang 79

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta BDC\] có:

\[\widehat{BAD}=\widehat{CBD};\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\left( AB//CD \right)\]

\[\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta BDC\]

\[\Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}\]

\[\Rightarrow B{{D}^{2}}=AB.CD\]

\[\Rightarrow BD=\sqrt{AB.CD}=\sqrt{12,5.28,5}\approx 18,87\left( cm \right)\]

Bài 37. SGK toán 8 tập 2 trang 79

a) Ta có: \[\widehat{CBD}+\widehat{CDB}={{90}^{0}};\widehat{CDB}=\widehat{ABE}\]

\[\Rightarrow \widehat{CBD}+\widehat{ABE}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{DBE}={{90}^{0}}\]

\[\Rightarrow \widehat{DBE}={{90}^{0}}\]

Vậy hình trên có ba tam giác vuông là:

\[\Delta ABE\] vuông tại A.

\[\Delta BCD\] vuông tại C.

\[\Delta BDE\] vuông tại B.

b) Xét \[\Delta ABE\] vuông tại A có: \[B{{E}^{2}}=A{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}={{10}^{2}}+{{15}^{2}}=325\]

\[\Rightarrow BE=\sqrt{325}=5\sqrt{13}\approx 18\left( cm \right)\]

Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta CDB\] có: \[\widehat{A}=\widehat{C}\left( ={{90}^{0}} \right);\widehat{ABE}=\widehat{BDC}\]

\[\Rightarrow \Delta ABE\backsim \Delta CDB\]

\[\Rightarrow \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{BD}=\frac{AE}{BC}\]

\[\Rightarrow \frac{15}{CD}=\frac{5\sqrt{13}}{BD}=\frac{10}{12}\]

\[\Rightarrow CD=18;BD=6\sqrt{13}\approx 21,6\left( cm \right)\]

Xét \[\Delta BED\] vuông tại B ta có: \[D{{E}^{2}}=B{{E}^{2}}+B{{D}^{2}}={{\left( 5\sqrt{13} \right)}^{2}}+{{\left( 6\sqrt{13} \right)}^{2}}=793\]

\[\Rightarrow DE=\sqrt{793}\approx 28,2\left( cm \right)\]

c) \[{{S}_{BDE}}=\frac{1}{2}BE.BD=\frac{1}{2}.5\sqrt{13}.6\sqrt{13}=195\left( c{{m}^{2}} \right)\]

\[{{S}_{ABE}}=\frac{1}{2}AE.AB=\frac{1}{2}.10.15=75\left( c{{m}^{2}} \right)\]

\[{{S}_{BCD}}=\frac{1}{2}BC.CD=\frac{1}{2}.12.18=108\left( c{{m}^{2}} \right)\]

\[\Rightarrow {{S}_{ABE}}+{{S}_{BCD}}=75+108=183\left( c{{m}^{2}} \right)<{{S}_{BDE.}}\]

LUYỆN TẬP 1

Bài 38. SGK toán 8 tập 2 trang 79

Ta có \[\widehat{ABC}=\widehat{EDC}\] và hai góc ở vị trí so le trong

\[\Rightarrow AB//CD\]

\[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta EDC\]

\[\Rightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CE}\]

\[\Leftrightarrow \frac{3}{6}=\frac{x}{3,5}=\frac{2}{y}\]

\[\Leftrightarrow x=\frac{3,5.3}{6}=1,7;y=\frac{2.6}{3}=4\]

Bài 39. SGK toán 8 tập 2 trang 79

a) Xét \[\Delta AOB\] và \[\Delta COD\] ta có:

\[\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\] (hai góc so le trong ); \[\widehat{OBA}=\widehat{ODC}\] (hai góc so le trong)

\[\Rightarrow \Delta AOB\backsim \Delta COD\]

\[\Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\]

\[\Rightarrow OA.OD=OB.OC\] ( điều phải chứng minh)

b) Ta có \[\Delta AOB\backsim \Delta COD\]

\[\Rightarrow \frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}\]

Xét \[\Delta OAH\] và \[\Delta OCK\] ta có: \[\widehat{OAH}=\widehat{OCK};\widehat{OHA}=\widehat{OKC}=\left( {{90}^{0}} \right)\]

\[\Rightarrow \Delta OAH\backsim \Delta OCK\]

\[\Rightarrow \frac{OH}{OK}=\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}\] ( điều phải chứng minh)

Bài 40. SGK toán 8 tạp 2 trang 80

Ta có \[\frac{AE}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5};\frac{AD}{AC}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\]

\[\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\left( =\frac{2}{5} \right)\] 
Xét \[\Delta ADE\] và \[\Delta ACB\] có: \[\widehat{A}\] chung ; \[\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\]

\[\Rightarrow \Delta ADE\backsim \Delta ACB\]

LUYỆN TẬP 2

Bài 41. SGK toán 8 tập 2 trang 80

Các dấu hiệu để nhận biết hai tam giác cân đồng dạng:

+ Nếu hai tam giác cân có hai góc ở đỉnh bằng nhau thì hai tam giác cân đó đồng dạng.

+ Nếu hai tam giác cân có góc ở đáy bằng nhau thì hai tam giác cân đó đồng dạng.

+ Nếu hai tam giác cân có cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cần này đồng dạng với canh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác cân đó đồng dạng.

Bài 42. SGK toán 8 tập 2 trang 80

Bài 43. SGK toán 8 tập 2 trang 80

a) Ta có:

\[\Delta CDF:BE//CD\Rightarrow \Delta FBE\backsim \Delta FCD\] (1)

\[\Delta ADE:BF//AD\Rightarrow \Delta FBE\backsim \Delta DAE\] (2)

(1) và (2) \[\Rightarrow \Delta FCD\backsim \Delta DAE\]

b) Ta có: \[BE=AB-AE=12-8=4cm\]

Lại có \[\Delta FBE\backsim \Delta DAE\]

\[\Rightarrow \frac{EF}{DE}=\frac{BE}{AE}=\frac{BF}{AD}\]

\[\Leftrightarrow \frac{EF}{10}=\frac{4}{8}=\frac{BF}{7}\]

\[\Leftrightarrow EF=5cm;BF=3,5cm\] .

Bài 44. SGK toán 8 tập 2 trang 80

a) Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACN\] có: \[\widehat{BAD}=\widehat{CAN};\widehat{AMB}=\widehat{ANC}=\left( {{90}^{0}} \right)\]

\[\Rightarrow \Delta ABM\backsim \Delta ACN\]

\[\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}=\frac{24}{28}=\frac{6}{7}\]

b) Ta có: \[\Delta ABM\backsim \Delta ACN\]

\[\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}\left( 1 \right)\]

Xét \[\Delta BDM\] và \[\Delta CDN\] có: \[\widehat{BMD}=\widehat{CND}\left( ={{90}^{0}} \right);\widehat{BDM}=\widehat{CDN}\]

\[\Rightarrow \Delta BDM\backsim \Delta CDN\]

\[\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{MD}{ND}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{DM}{DN}\] ( Điều phải chứng minh)

Bài 45. SGK toán 8 tập 2 trang 80

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta DEF\] có: \[\widehat{A}=\widehat{D};\widehat{B}=\widehat{E}\]

\[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta DEF\]

\[\Rightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\]

\[\Leftrightarrow \frac{8}{6}=\frac{AC}{DF}=\frac{10}{EF}\]

\[\Rightarrow EF=7,5cm\]

Lại có \[\frac{AC}{DF}=\frac{8}{6}\]

\[\Leftrightarrow \frac{AC}{8}=\frac{DF}{6}=\frac{AC-DF}{8-6}=\frac{3}{2}\]

\[\Leftrightarrow AC=\frac{3}{2}.8=12cm;DF=\frac{3}{2}.6=9cm\]

Vậy \[AC=12cm;DF=9cm;EF=7,5cm\] .

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài trường hợp đồng dạng thứ ba do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.