BÀI 7: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỪ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Ta có bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
- \[{{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}\]
- \[{{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}\]
- \[{{A}^{2}}-{{B}^{2}}-\left( A+B \right)\left( A-B \right)\]
- \[{{\left( A+B \right)}^{3}}={{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}\]
- \[{{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}\]
- \[{{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)\]
- \[{{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
Cách giải:
Áp dụng bảy hằng đẳng thức đã học.
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức
Cách giải:
- Áp dụng bảy hằng đẳng thức đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.
- Thay giá trị ẩn số đề cho vào biểu thức ta được kết quả cần tìm.
Dạng 3. Tính nhanh
Cách giải:
Phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử bằng cách sử dụng bảy hằng đẳng thức đã học.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 43. (SGK Toán 8 tập 1 trang 20)
a) \[{{x}^{2}}+6x+9={{x}^{2}}+2.x.3+{{3}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}\]
b) \(10x-25-{x^2} = -\left( {-10x + 25 + {x^2}} \right) = -\left( {25-10x + {x^2}} \right) = -\left( {{5^2}-2.5.x + {x^2}} \right) = -{\left( {5-x} \right)^2}\)
c) \[8{{x}^{3}}-\frac{1}{8}={{\left( 2x \right)}^{3}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\left( 2x-\frac{1}{2} \right).\left[ {{\left( 2x \right)}^{2}}+2x.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]=\left( 2x-\frac{1}{2} \right)\left( 4{{x}^{2}}+x+\frac{1}{4} \right)\]
d) \[\frac{1}{25}{{x}^{2}}-64{{y}^{2}}={{\left( \frac{1}{5}x \right)}^{2}}-{{\left( 8y \right)}^{2}}=\left( \frac{1}{5}x-8y \right).\left( \frac{1}{5}x+8y \right)\]
Bài 44. (SGK Toán 8 tập 1 trang 20)
a)
\[{{x}^{3}}+\frac{1}{27}={{x}^{3}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}=\left( x+\frac{1}{3} \right).\left( {{x}^{2}}-x.\frac{1}{3}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}} \right)=\left( x+\frac{1}{3} \right).\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9} \right)\]
b)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^3}-{{\left( {a-b} \right)}^3}}\\ { = \left[ {\left( {a + b} \right)-\left( {a-b} \right)} \right]\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + \left( {a + b} \right).\left( {a-b} \right) + {{\left( {a-b} \right)}^2}} \right]}\\ { = \left( {a + b-a + b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2} + {a^2}-{b^2} + {a^2}-2ab + {b^2}} \right)}\\ { = 2b.\left( {3{a^2} + {b^2}} \right)} \end{array}\)
c)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {{\left( {a-b} \right)}^3}}\\ { = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a-b} \right)} \right]\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2}-\left( {a + b} \right)\left( {a-b} \right) + {{\left( {a-b} \right)}^2}} \right]}\\ { = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a-b} \right)} \right]\left[ {\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)-\left( {{a^2}-{b^2}} \right) + \left( {{a^2}-2ab + {b^2}} \right)} \right]}\\ { = \left( {a + b + a-b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}-{a^2} + {b^2} + {a^2}-2ab + {b^2}} \right)}\\ { = 2a.\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right)} \end{array}\)
d)
\[8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}y+6x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}={{\left( 2x \right)}^{3}}+3.{{\left( 2x \right)}^{2}}.y+3.2x.{{y}^{2}}+{{y}^{3}}={{\left( 2x+y \right)}^{3}}\]
e)
\(-{x^3} + 9{x^2}-27x + 27 = {\left( {-x} \right)^3} + 3.{\left( {-x} \right)^2}.3 + 3.\left( {-x} \right){.3^2} + {3^3} = {\left( {-x + 3} \right)^3} = {\left( {3-x} \right)^3}\)
Bài 45. (SGK Toán 8 tập 1 trang 20)
a)
Cách 1:
\(\begin{array}{l} 2 - 25{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow 25{x^2} = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{2}{{25}}\\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{5} \end{array}\)
Cách 2:
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {2-25{x^2} = 0}\\ { \Leftrightarrow {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}-{{\left( {5x} \right)}^2} = 0}\\ { \Leftrightarrow \left( {\sqrt 2 -5x} \right)\left( {\sqrt 2 + 5x} \right) = 0} \end{array}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt 2 - 5x = 0\\ \sqrt 2 + 5x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\\ x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l} {x^2} - x + \frac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = 0 \end{array}\)
\[\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\]
Bài 46. (SGK Toán 8 tập 1 trang 21)
a) \({73^2}-{27^2} = \left( {73 + 27} \right)\left( {73-27} \right) = 100.46 = 4600\)
b) \({37^2}-{13^2} = \left( {37 + 13} \right)\left( {37-13} \right) = 50.24 = 100.12 = 1200\)
c) \({2002^2}-{2^2} = \left( {2002 + 2} \right)\left( {2002-2} \right) = 2004.2000 = 4008000\)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ