Thể tích của hình lăng trụ đứng

BÀI 6: THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Thể tích của hình hộp chữ nhật với các kích thước a, b, c được tính theo công thức

$$V=abc$$ hay V = Diện tích đáy x Chiều cao

Tổng quát, ta có công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng: $$V=S.h$$

( S là diện tích đáy, h là chiều cao)

Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tính diện tích, thể tích hình lăng trụ đứng

Cách giải:

- Thể tích hình lăng trụ đứng là $$V=S.h$$( S là diện tích đáy, h là chiều cao).

- Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích của các mặt bên:

$${{S}_{xq}}=2ph$$( p là nửa chu vi đáy).

Dạng 2. Tính diện tích, thể tích hình ghép bởi các hình như hình hộp, hình lăng trụ đứng

Cách giải:

Chia hình đã cho thành các hình quen thuộc rồi tính.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 27. SGK toán 8 tập 2 trang 113

Diện tích đáy: \[S=\frac{1}{2}bh\]

Thể tích: \[V=S.{{h}_{1}}\]

Cột 2: $$S=\frac{1}{2}.5.2=5;V=5.8=40$$

Cột 3: $$S=\frac{1}{2}bh\Rightarrow h=\frac{2S}{b}=\frac{2.12}{6}=4;V=S.{{h}_{1}}=12.5=60$$

Cột 4: $$h=\frac{2S}{b}=\frac{2.6}{4}=3;{{V}_{1}}=S.{{h}_{1}}\Rightarrow {{h}_{1}}=\frac{V}{S}=\frac{12}{6}=2$$

Cột 5: $$V=S.{{h}_{1}}=\frac{1}{2}bh.{{h}_{1}}\Rightarrow b=\frac{2V}{h.{{h}_{1}}}=\frac{2.50}{4.10}=2,5;S=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}.2,5.4=5$$

Bài 28. SGK toán 8 tập 2 trang 114

Vì thùng có dạng lăng trụ tam giác đứng có đáy là tam giác vuông nên ta có thể tích của lăng trụ là:

$$V=S.h=\left( \frac{1}{2}.60.90 \right).70=189000\left( c{{m}^{3}} \right)$$

Vậy thùng có dung tích là $$189000c{{m}^{3}}$$.

Bài 29. SGK toán 8 tập 2 trang 114

Bể bơi gồm hai phần:

- Phần hình hộp chữ nhật với các kích thước là 10m, 25m, 2m.

- Phần hình trụ tam giác đứng có chiều cao là 10m và đáy là tam giác vuông cạnh 2m và 7m.

Thể tích phần hình hộp chữ nhật là: $${{V}_{1}}=10.25.2=500\left( {{m}^{3}} \right)$$

Thể tích phần hình trụ tam giác là: $${{V}_{2}}=S.h=\frac{1}{2}2.7.10=70\left( {{m}^{3}} \right)$$

Vậy khi bể đầy ắp nước thì nó chứa được: $$V=500+70=570\left( {{m}^{3}} \right)$$

Bài 30. SGK toán 8 tập 2 trang 114

a)

Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cạnh 6cm và 8cm.

Diện tích đáy hình lăng trụ là: $$S=\frac{1}{2}.6.8=24\left( c{{m}^{2}} \right)$$

Thể tích lăng trụ là $$V=S.h=24.3=72\left( c{{m}^{3}} \right)$$

Diện tích xung quanh hình lăng trụ là: $${{S}_{xq}}=\left( 6+8+\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}} \right).3=72\left( c{{m}^{2}} \right)$$

Diện tích toàn phần hình lăng trụ là: $${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+S=72+2.24=120\left( c{{m}^{2}} \right)$$

b)

Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác có 3 cạnh 6cm, 8cm, 10cm

Mà $${{6}^{2}}+{{8}^{2}}={{10}^{2}}$$

$$\Rightarrow $$ Đáy lăng trụ là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 6cm và 8cm.

Diện tích đáy lăng trụ là: $$S=\frac{1}{2}.6.8=24\left( c{{m}^{2}} \right)$$

Thể tích lăng trụ là: $$V=S.h=24.3=72\left( c{{m}^{3}} \right)$$

Diện tích xung quanh hình lăng trụ là: $${{S}_{xq}}=\left( 6+8+10 \right).3=72\left( c{{m}^{2}} \right)$$

Diện tích toàn phần hình lăng trụ là: $${{S}_{tp}}=72+2.24=120\left( c{{m}^{2}} \right)$$

c)

Hình vẽ gồm hai phần:

- Phần hình hộp chữ nhật (1) có ba kích thước là 1cm, 1cm, 3cm.

- Phần hình hộp chữ nhật (2) có ba kích thước là 4cm, 3cm, 1cm.

Thể tích hình lăng trụ (1) là: $${{V}_{1}}=1.1.3=3\left( c{{m}^{3}} \right)$$

Thể tích hình lăng trụ (2) là: $${{V}_{2}}=4.3.1=12\left( c{{m}^{3}} \right)$$

Thể tích hình lăng trụ đứng là: $$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=3+12=15\left( c{{m}^{3}} \right)$$

Diện tích toàn phần hình lăng trụ (1) là: $${{S}_{tp1}}=2.1.1+4.1.3=14\left( c{{m}^{2}} \right)$$

Diện tích toàn phần hình lăng trụ (2) là: $${{S}_{tp2}}=2\left( 4.1+4.3 \right)+2.1.3=38\left( c{{m}^{2}} \right)$$

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: $${{S}_{tp}}=14+38-2.1.3=46\left( c{{m}^{2}} \right)$$

LUYỆN TẬP

Bài 31. SGK toán 8 tập 2 trang 115

Ta có: $$S=\frac{1}{2}ah\Rightarrow h=\frac{2S}{a};a=\frac{2S}{h}$$ và $$V=S.{{h}_{1}}\Rightarrow S=\frac{V}{{{h}_{1}}};{{h}_{1}}=\frac{V}{S}$$

Lăng trụ 1: $$h=\frac{2.6}{3}=4\left( cm \right);V=6.5=30\left( c{{m}^{3}} \right)$$

Lăng trụ 2: $$S=\frac{49}{7}=7\left( c{{m}^{2}} \right);h=\frac{2.7}{5}=\frac{14}{5}\left( cm \right)$$

Lăng trụ 3: $${{h}_{1}}=\frac{45}{15}=3\left( cm \right);a=\frac{2.15}{3}=10\left( cm \right)$$

Bài 32. SGK toán 8 tập 2 trang 115

a) Sau khi vẽ thêm các nét khuất, ta được hình vẽ trên.

Khi đó AB song song với CF và DE.

b) Lưỡi rìu là hình lăng trụ đứng có đáy tam giác.

Thể tích lưỡi rìu là: $$V=S.h=\left( \frac{1}{2}.4.10 \right).8=160\left( c{{m}^{3}} \right)=0,16\left( d{{m}^{3}} \right)$$

c) Khối lượng của lưỡi rìu là: $$m=D.V=7,874.0,16\approx 1,26\left( kg \right)$$

Bài 33. SGK toán 8 tập 2 trang 115

a) Các cạnh song song với AD là BC, GF, HE.

b) Cạnh song song với AB là EF.

c) Các đường thẳng song song với mặt phẳng $$\left( EFGH \right)$$ là AB, AD, BC, CD.

d) Các đường thẳng song song với mặt phẳng $$\left( DCGH \right)$$ là AE, BF.

Bài 34. SGK toán 8 tập 2 trang 116

a) Thể tích hộp xà phòng là: $$V=28.8=224\left( c{{m}^{3}} \right)$$

b) Thể tích hộp sô-cô-là là: $$V=12.9=108\left( c{{m}^{3}} \right)$$

Bài 35. SGK toán 8 tập 2 trang 116

Đáy hình lăng trụ là tứ giác ABCD.

Ta có: $${{S}_{ABCD}}={{S}_{ABC}}+{{S}_{ACD}}=\frac{1}{2}AC.BH+\frac{1}{2}AC.DK=\frac{1}{2}\left( 8.3+8.4 \right)=28\left( c{{m}^{2}} \right)$$

Thể tích hình lăng trụ là: $$V={{S}_{ABCD}}.h=28.10=280\left( c{{m}^{3}} \right)$$