BÀI 5: DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA. DỰNG HÌNH THANG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Bài toán dựng hình
- Với thước:
+ Vẽ được một đường thẳng khi biết hai điểm của nó.
+ Vẽ được một đoạn thẳng khi biết hai đầu mút của nó.
+ Vẽ được một tia khi biết gốc và một điểm của tia.
- Với compa: Vẽ được một đường tròn khi biết tâm và bán kính của nó.
2. Các bài toán dựng hình đã biết
a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước.
b) Dựng một góc bằng một góc cho trước.
c) Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
d) Dựng tia phân giác của một góc cho trước.
e) Qua một điểm cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
g) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
h) Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề (dựa vào các bài toán a) và b)).
3. Dựng hình thang
Giả sử dựng hình thang ABCD.
Tam giác ACD dựng được vì biết hai cạnh và góc xen giữa.
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:
- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.
- B nằm cách A một khoảng có độ dài AB nên nằm trên đường tròn tâm A bán kính AB.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Dựng tam giác
Cách giải:
Dựa vào các bài toán dựng hình đã học.
Dạng 2. Dựng hình thang
Cách giải:
Dựa vào các bài toán dựng hình đã học.
Dạng 3. Dựng góc
Cách giải:
Dựa vào các bài toán dựng hình đã học.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 29. (SGK Toán 8 tập 1 trang 83)
a) Phân tích
Giả sử dựng được \[\Delta ABC\]thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đoạn thẳng BC dựng được vì biết độ dài.
Khi đó điểm A là giao điểm của:
+ Tia Bx tạo với đoạn thẳng BC góc \[{{65}^{0}}\] .
+ Đường thẳng qua C và vuông góc với tia Bx vừa dựng.
b) Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng\[BC=4cm\].
- Dựng tia Bx tạo với BC một góc \[{{65}^{0}}\] .
- Dựng đường thẳng a qua C và vuông góc với Bx.
- Bx cắt a tại A.
\[\Delta ABC\] là tam giác cần dựng.
c) Chứng minh: \[\Delta ABC\]vừa dựng vuông tại A, \[\widehat{B}={{65}^{0}}\] và \[BC=4cm\].
d) Biện luận: Ta luôn dựng được một tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 30. (SGK Toán 8 tập 1 trang 83)
a) Phân tích:
Giả sử dựng được \[\Delta ABC\]thỏa mãn yêu cầu.
Ta dựng được đoạn BC vì biết độ dài\[BC=2cm\].
Khi đó điểm A là giao điểm của:
+ Tia Bx vuông góc với BC.
+ Cung tròn tâm C bán kính 4cm.
b) Cách dựng:
+ Dựng đoạn thẳng\[BC=2cm\].
+ Dựng tia Bx vuông góc với cạnh BC.
+ Dựng cung tròn tâm C, bán kính 4cm. Cung tròn cắt tia Bx tại A.
Kẻ AC ta được \[\Delta ABC\]cần dựng.
c) Chứng minh
\[\Delta ABC\]có góc\[\widehat{B}={{90}^{0}},BC=2cm\].
A thuộc cung tròn tâm C bán kính 4cm nên\[AC=4cm\].
Vậy \[\Delta ABC\]thỏa mãn yêu cầu đề bài
d) Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Bài 31. (SGK Toán 8 tập 1 trang 83)
a) Phân tích:
Giả sử dựng được hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu đề bài.
\[\Delta ACD\] dựng được vì biết ba cạnh của tam giác.
Điểm B phải thỏa mãn hai điều kiện:
+ B nằm trên tia Ax song song với CD
+ B cách A một đoạn 2cm.
b) Cách dựng:
+ Dựng \[\Delta ACD\] có\[AD=2cm,AC=4cm,CD=4cm\].
+ Dựng tia Ax song song với CD và nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AD.
+ Trên tia Ax lấy điểm B sao cho\[AB=2cm\].
Kẻ BC ta được hình thang ABCD cần dựng.
c) Chứng minh
Tứ giác ABCD là hình thang vì\[AB//CD\].
Hình thang ABCD có \[AB=AD=2cm,AC=BC=4cm\]thỏa mãn yêu cầu đề bài.
d) Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
LUYỆN TẬP
Bài 32. (SGK Toán 8 tập 1 trang 83)
a) Phân tích
Để dựng một góc \[{{30}^{0}}\] , ta dựng góc \[{{60}^{0}}\] rồi dựng tia phân giác của góc đó.
Để dựng góc \[{{60}^{0}}\] , ta dựng tam giác đều với độ dài cạnh bất kì.
b) Cách dựng:
- Dựng tam \[\Delta ABC\] đều cạnh bất kì.
- Dựng tia phân giác Bx của góc \[\widehat{ABC}\] .
Ta được góc \[\widehat{ABx}=\widehat{CBx}={{30}^{0}}\] .
c) Chứng minh
ΔABC đều nên \[\widehat{B}={{60}^{0}}\] .
Bx là tia phân giác của \[\widehat{ABC}\] nên \[\widehat{ABx}=\widehat{CBx}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}={{30}^{0}}\] .
Vậy ta dựng được góc \[{{30}^{0}}\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 33. (SGK Toán 8 tập 1 trang 83)
a) Phân tích
Giả sử dựng được hình thang ABCD theo yêu cầu đề bài.
Ta dựng được đoạn thẳng\[CD=3cm\].
Điểm A phải thỏa mãn hai điều kiện:
+ Tia DA tạo với DC một góc bằng \[{{80}^{0}}\] .
+ \[AC=4cm\]nên A thuộc cung tròn tâm C bán kính 4cm.
ABCD là hình thang nên \[AB//CD\]
Hình thang ABCD cân nên \[\widehat{BCD}=\widehat{D}={{80}^{0}}\] .
Vì vậy điểm B phải thỏa mãn 2 điều kiện:
+ B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD
+ Tia CB tạo với CD một góc 80º.
b) Cách dựng
+ Dựng đoạn \[CD=3cm\].
+ Dựng tia Dx thỏa mãn \[\widehat{CDx}={{80}^{0}}\] .
+ Dựng cung tròn tâm C, bán kính 4cm cắt tia Dx tại A.
+ Qua A dựng đường thẳng m song song với CD.
+ Dựng tia Cy trên cùng nửa mặt phẳng chứa điểm A, bờ CD thỏa mãn \[\widehat{CDy}={{80}^{0}}\] .
+ Tia Cy cắt đường thẳng m tại B.
Ta dựng được hình thang ABCD
c) Chứng minh
+ Tứ giác ABCD là hình thang vì \[AB//CD\]
+ Hình thang ABCD có \[\widehat{C}=\widehat{D}={{80}^{0}}\] nên ABCD là hình thang cân.
+ Hình thang cân ABCD có \[CD=3cm,AC=4cm,\widehat{D}={{80}^{0}}\] nên thỏa mãn yêu cầu đề bài.
d) Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 34. (SGK Toán 8 tập 1 trang 83)
a) Phân tích
Giả sử dựng được hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta dựng được \[\Delta ACD\] vì biết hai cạnh và góc xen giữa.
Điểm B phải thỏa mãn hai điều kiện:
+ B nằm trên đường thẳng qua A và song song với CD
+ \[BC=3cm\] nên B thuộc cung tròn tâm C bán kính 3cm.
b) Cách dựng:
- Dựng \[\Delta ACD\] vuông tại D với \[CD=3cm,AD=2cm\].
- Dựng tia \[Ax//CD\] (tia Ax về phía C).
- Dựng \[\left( C;3cm \right)\] cắt tia Ax tại hai điểm \[{{B}_{1}}\] và \[{{B}_{2}}\].
Hình thang ABCD với B trùng với \[{{B}_{1}}\] hoặc B trùng với \[{{B}_{2}}\] là hình thang cần dựng.
c) Chứng minh:
Theo cách dựng thì tứ giác ABCD hoặc AB1CD có góc \[\widehat{D}={{90}^{0}}\] , đáy\[CD=3cm\], cạnh bên\[AD=2cm\], cạnh bên \[BC=3cm\] nên đó là hình thang vuông thỏa mãn điều kiện đề bài.
d) Biện luận:
Ta dựng được hai hình thang thỏa mãn điều kiện đề bài.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.