BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Bất phương trình dạng \[ax+b<0\] (hoặc \[ax+b>0\], \[ax+b\le 0\], \[ax+b\ge 0\]) trong đó \[a,b\]là hai số đã cho, \[a\ne 0\], được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
a) Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.
b) Quy tắc nhân với một số
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác \[0\], ta phải:
– Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.
– Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
3. Áp dụng
Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau:
Dạng: \[ax+b>0\Leftrightarrow ax>-b\Leftrightarrow x>\frac{-b}{a}\]nếu \[a>0\] hoặc \[x<\frac{-b}{a}\]nếu \[a<0\]
Vậy nghiệm của bất phương trình \[ax+b>0\]là: \[{{S}_{1}}=\left\{ x|x>\frac{-b}{a},a>0 \right\}\] hoặc \[{{S}_{2}}=\left\{ x|x<\frac{-b}{a},a<0 \right\}\]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định nghiệm, tập nghiệm của bất phương trình
Cách giải:
+ Quy tắc chuyển vế: Chuyển vế đổi dấu
+ Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số khác không ta làm như sau:
- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương
- Đổi chiều chiều bất phương trình nếu số đó âm.
Dạng 2: Xác định hai bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
Dạng 3: Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số
Bài toán thường gặp
Bài toán 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình và biểu diễn trên trục số
Bài toán 2: Chứng minh hai bất phương trình tương đương.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 19. (SGK Toán 8 tập 2 trang 47)
a) \[x-5>3\Leftrightarrow x>3+5\Leftrightarrow x>8\]
Vậy \[S=\left\{ x|x>8 \right\}\]
b) \[x-2x<-2x+4\Leftrightarrow x-2x+2x<4\Leftrightarrow x<4\]
Vậy \[x<4\]
c) \[-3x>-4x+2\Leftrightarrow -3x+4x>2\Leftrightarrow x>2\]
Vậy \[x>2\]
d) \[8x+2<7x-1\Leftrightarrow 8x-7x<-1-2\Leftrightarrow x<-3\]
Vậy \[x<-3\]
Bài 20. (SGK Toán 8 tập 2 trang 47)
Hướng dẫn:
Nhân hai vế của bất phương trình với một số sao cho hệ số của \[x\] bằng \[1\]
Lưu ý đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm.
Giải:
a) \[0,3x>0,6\Leftrightarrow \frac{10}{3}.0,3x>\frac{10}{3}.0,6\Leftrightarrow x>2\]
Vậy \[x>2\]
b) \[-4x<12\Leftrightarrow \left( \frac{-1}{4} \right).\left( -4x \right)>\left( \frac{-1}{4} \right).12\Leftrightarrow x>-3\]
Vậy \[x>-3\]
c) \[-x>4\Leftrightarrow \left( -1 \right).\left( -x \right)<\left( -1 \right).4\Leftrightarrow x<-4\]
Vậy \[x<-4\]
d) \[1,5x>-9\Leftrightarrow \frac{2}{3}.1,5x>\frac{2}{3}.\left( -9 \right)\Leftrightarrow x>-6\]
Vậy \[x>-6\]
Bài 21. (SGK Toán 8 tập 2 trang 47)
a) Cộng hai vế của bất phương trình \[x-3>1\]với \[6\] ta được \[x+3>7\]Vậy hai bất phương trình tương đương.
b)
Nhân hai vế của bất phương trình \[-x<2\]với \[-3\]ta được \[3x>-6\]
Vậy hai bất phương trình tương đương.
Bài 22. (SGK Toán 8 tập 2 trang 47)
a) \[1,2x<-6\Leftrightarrow x<\frac{-6}{1,2}=-5\]. Vậy \[S=\left\{ x|x<-5 \right\}\]
b) \[3x+4>2x+3\Leftrightarrow 3x-2x>3-4\Leftrightarrow x>-1\]. Vậy \[S=\left\{ x|x>-1 \right\}\]
Bài 23. (SGK Toán 8 tập 2 trang 47)
a) \[2x-3>0\Leftrightarrow 2x>3\Leftrightarrow x>\frac{3}{2}\]. Vậy \[S=\left\{ x|x>\frac{3}{2} \right\}\]
b) \[3x+4<0\Leftrightarrow 3x<-4\Leftrightarrow x<\frac{-4}{3}\]. Vậy \[S=\left\{ x|x<\frac{-4}{3} \right\}\]
c) \[4-3x\le 0\Leftrightarrow -3x\le -4\Leftrightarrow x\ge \frac{4}{3}\]. Vậy \[S=\left\{ x|x\ge \frac{4}{3} \right\}\]
d) \[5-2x\ge 0\Leftrightarrow -2x\ge -5\Leftrightarrow x\le \frac{5}{2}\]. Vậy \[S=\left\{ x|x\le \frac{5}{2} \right\}\]
Bài 24. (SGK Toán 8 tập 2 trang 47)
a) \[2x-1>5\Leftrightarrow 2x>5+1\Leftrightarrow 2x>6\Leftrightarrow x>3\]
Vậy \[S=\left\{ x|x>3 \right\}\]
b) \[3x-2<4\Leftrightarrow 3x<4+2\Leftrightarrow 3x<6\Leftrightarrow x<2\]. Vậy \[S=\left\{ x|x<2 \right\}\]
c) \[2-5x\le 17\Leftrightarrow -5x\le 17-2\Leftrightarrow -5x\le 15\Leftrightarrow x\ge -3\]
Vậy \[S=\left\{ x|x\ge -3 \right\}\]
d) \[3-4x\ge 19\Leftrightarrow -4x\ge 19-3\Leftrightarrow -4x\ge 16\Leftrightarrow x\le -4\]. Vậy \[S=\left\{ x|x\le -4 \right\}\]
Bài 25. (SGK Toán 8 tập 2 trang 47)
a) \[\frac{2}{3}x>-6\Leftrightarrow x>\left( -6 \right):\frac{2}{3}\Leftrightarrow x>-9\]
Vậy \[S=\left\{ x|x>-9 \right\}\]
b) \[\frac{-5}{6}x<20\Leftrightarrow x>20:\left( \frac{-5}{6} \right)\Leftrightarrow x>-24\]
Vậy \[S=\left\{ x|x>-24 \right\}\]
c) \[3-\frac{1}{4}x>2\Leftrightarrow -\frac{1}{4}x>2-3\Leftrightarrow -\frac{1}{4}x>-1\Leftrightarrow x<4\]
Vậy \[S=\left\{ x|x<4 \right\}\]
d) \[5-\frac{1}{3}x>2\Leftrightarrow -\frac{1}{3}x>2-5\Leftrightarrow -\frac{1}{3}x>-3\Leftrightarrow x<9\]
Vậy \[S=\left\{ x|x<9 \right\}\]
Bài 26. (SGK Toán 8 tập 2 trang 47)
a) Tập nghiệm \[S=\left\{ x|x\le 12 \right\}\]là tập nghiệm của các bất phương trình sau: \[2x\le 24;x+2\le 14;-x\ge -12\]
b) Tập nghiệm \[S=\left\{ x|x\ge 8 \right\}\]là tập nghiệm của các bất. phương trình sau: \[3x\ge 24;x+1\ge 9;-2x\le -16\]
Bài 27. (SGK Toán 8 tập 2 trang 48)
Cách 1: Thay số vào bất phương trình rồi kết luận.
Cách 2: Tìm nghiệm của bất phương trình rồi xem \[x=-2\]có thuộc tập nghiệm hay không.
a) \[x+2{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}+4{{x}^{4}}-5<2{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}+4{{x}^{4}}-6\]
\[\Leftrightarrow x-5<-6\Leftrightarrow x<-6+5\Leftrightarrow x<-1\]
Tập nghiệm \[S=\left\{ x|x<-1 \right\}\]
Ta có \[x=-2\in S\]nên \[x=-2\]là nghiệm của bất phương trình
b) \[\left( -0,001 \right)x>0,003\Leftrightarrow x<-3\]
Tập nghiệm \[S=\left\{ x|x<-3 \right\}\]
Vì \[-2\notin S\]nên \[x=-2\]không là nghiệm của bất phương trình.
LUYỆN TẬP
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn
2. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
+ Quy tắc chuyển vế
+ Quy tắc nhân với một số
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên truc số
Dạng 2: Giải bài toán có lời văn bằng cách đưa về dạng giải bất phương trình
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 28. (SGK Toán 8 tập 2 trang 48)
a) Với \[x=2\] thì \[VT={{x}^{2}}=4>VP=0\]
với \[x=-3\] thì \[VT={{x}^{2}}=9>VP=0\]
Vậy \[x=2\], \[x=-3\]là nghiệm của bất phương trình \[{{x}^{2}}>0\]
b) Với \[x=0\]thì \[VT=0\]nên \[x=0\]không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy không phải mọi giá trị của ẩn \[x\] đều là nghiệm của bất phương trình \[{{x}^{2}}>0\]
Bài 29. (SGK Toán 8 tập 2 trang 48)
a) \[2x-5\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge 5\Leftrightarrow x\ge \frac{5}{2}\]
Vậy với \[x\ge \frac{5}{2}\] thì giá trị của biểu thức \[2x-5\]không âm.
b) \[-3x\le -7x+5\Leftrightarrow -3x+7x\le 5\Leftrightarrow 4x\le 5\Leftrightarrow x\le \frac{5}{4}\]
Vậy với \[x\le \frac{5}{4}\] thì giá trị của biểu thức \[-3x\]không lớn hơn giá trị của biểu thức \[-7x+5\]
Bài 30. (SGK Toán 8 tập 2 trang 48)
Gọi \[x\] là số tờ giấy bạc loại \[5000\] đồng (\[x\] nguyên dương). Số tờ giấy bạc loại \[2000\] đồng là: \[15-x\]
Số tiền người đó có: \[5000x+2000\left( 15-x \right)\]
Theo đề bài, ta có bất phương trình:
\[5000x+2000\left( 15-x \right)\le 70000\Leftrightarrow 3000x+30000\le 70000\Leftrightarrow 3000x\le 40000\Leftrightarrow x\le \frac{40}{3}\]
Vì \[x\] nguyên dương nên \[0
Vậy số tờ giấy bạc loại \[5000\] không vượt quá \[13\]
Bài 31. (SGK Toán 8 tập 2 trang 48)
a) \[\frac{15-6x}{3}>5\]
\[\Leftrightarrow 15-6x>15\] (Nhân cả hai vế với \[3>0\], BPT không đổi chiều)
\[\Leftrightarrow -6x>15-15\] (Chuyển vế và đổi dấu hạng tử \[15\])
\[\Leftrightarrow -6x>0\]
\[\Leftrightarrow x<0\] (Chia cả hai vế với \[-6<0\], BPT đổi chiều)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x<0\]
b) \[\frac{8-11x}{4}<13\]
\[\Leftrightarrow 8-11x<13.4\](Nhân cả hai vế với \[4>0\], BPT không đổi chiều)
\[\Leftrightarrow 8-11x<52\]
\[\Leftrightarrow -11x<52-8\](Chuyển vế và đổi dấu hạng tử \[8\])
\[\Leftrightarrow -11x<44\]
\[\Leftrightarrow x>-4\](Chia cả hai vế cho \[-11<0\], BPT đổi chiều)
Vậy bất phương trình có nghiệm \[x>-4\].
c)
\[\frac{1}{4}\left( x-1 \right)<\frac{x-4}{6}\]
\[\Leftrightarrow \frac{3\left( x-1 \right)}{12}<\frac{2\left( x-4 \right)}{12}\]
\[\Leftrightarrow 3\left( x-1 \right)<2\left( x-4 \right)\]
\[\Leftrightarrow 3x-3<2x-8\]
\[\Leftrightarrow 3x-2x<-8+3\]
\[\Leftrightarrow x<-5\]
Vậy bất phương trình có nghiệm \[x<-5\]
d) \[\frac{2-x}{3}<\frac{3-2x}{5}\]
\[\Leftrightarrow \frac{5\left( 2-x \right)}{15}<\frac{3\left( 3-2x \right)}{15}\]
\[\Leftrightarrow 5\left( 2-x \right)<3\left( 3-2x \right)\]
\[\Leftrightarrow 10-5x<9-6x\]
\[\Leftrightarrow -5x+6x<9-10\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[x<-1\].
Bài 32. (SGK Toán 8 tập 2 trang 48)
Hướng dẫn:
Bỏ dấu ngoặc rồi chuyển các hạng tử có chứa \[x\] sang vế trái của bất phương trình, chuyển các hạng tử không chứa \[x\] sang vế phải của bất phương trình.
Giải:
a) \[8x+3\left( x+1 \right)>5x-\left( 2x-6 \right)\]
\[\Leftrightarrow 8x+3x+3>5x-2x+6\]
\[\Leftrightarrow 8x+3x-5x+2x>6-3\]
\[\Leftrightarrow 8x>3\]
\[\Leftrightarrow x>\frac{3}{8}\]
Vậy \[S=\left\{ x|x>\frac{3}{8} \right\}\].
b) \[2x\left( 6x-1 \right)>\left( 3x-2 \right)\left( 4x+3 \right)\]
\[\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-2x>12{{x}^{2}}+x-6\]
\[\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}-2x-x>-6\]
\[\Leftrightarrow -3x>-6\]
\[\Leftrightarrow x<2\]
Vậy \[S=\left\{ x|x<2 \right\}\]
Bài 33. (SGK Toán 8 tập 2 trang 48)
Gọi \[x\] là điểm thi môn toán của Chiến (\[x>6\]).
Điểm trung bình các môn thi của Chiến là: \[\frac{8.2+7+10+2x}{6}\]
Theo đề bài, ta có phương trình: \[\frac{8.2+7+10+2x}{6}\ge 8\]
\[\Leftrightarrow \frac{33+2x}{6}\ge 8\Leftrightarrow 33+2x\ge 48\Leftrightarrow x\ge 7,5\]
Vậy để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán ít nhất là \[7,5\] điểm.
Bài 34. (SGK Toán 8 tập 2 trang 49)
a) Sai lầm trong lời giải ở biến đổi: \[-2x>23\Leftrightarrow x>23+2\]
Biến đổi đúng là: \[-2x>23\Leftrightarrow x<\frac{-23}{2}\]
b) Sai lầm trong lời giải là nhân số âm cho hai vế bất phương trình mà không đổi chiều bất phương trình.
Biến đổi đúng là: \[-\frac{3}{7}x>12\Leftrightarrow \left( -\frac{7}{3} \right).\left( -\frac{3}{7}x \right)<\left( -\frac{7}{3} \right).12\Leftrightarrow x<-28\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bất phương trình bậc nhất một ẩn toán học 8, toán 8 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thứcchính xác nhất