BÀI 3: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
Chú ý
Định lí vẫn đúng đối với tia phân giác của góc ngoài của tam giác: \[\frac{D'B}{D'C}=\frac{AB}{AC}\left( AB\ne AC \right)\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác
Cách giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác:
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
\[\Delta ABC\] có AD là phân giác \[\left( D\in BC \right)\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\] .
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức: \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\] .
Dạng 2. Chứng minh đoạn thẳng song song, bằng nhau
Cách giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác.
Áp dụng định lí Ta-lét đảo.
Sử dụng các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức:
Nếu \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\] thì \[ad=bc\] .
Nếu \[ad=bc\] và \[a,b,c,d\ne 0\] thì \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d};\frac{a}{c}=\frac{b}{d};\frac{b}{a}=\frac{d}{c};\frac{c}{a}=\frac{d}{b}\]
Nếu \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\] thì \[\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\] .
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức bằng nhau
Cách giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác.
Áp dụng định lí, hệ quả của định lí Ta-lét và định lí Ta-lét đảo.
Sử dụng các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức:
Nếu \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\] thì \[ad=bc\] .
Nếu \[ad=bc\] và \[a,b,c,d\ne 0\] thì \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d};\frac{a}{c}=\frac{b}{d};\frac{b}{a}=\frac{d}{c};\frac{c}{a}=\frac{d}{b}\]
Nếu \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\] thì \[\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\] .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 15. SGK toán 8 tập 2 trang 67
a)
Xét \[\Delta ABC\] có AD là đường phân giác của \[\widehat{BAC}\]
\[\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{3,5}{x}=\frac{4,5}{7,2}\Leftrightarrow x=5,6\]
b) Xét \[\Delta MNP\] có PQ là đường phâ giác của \[\widehat{MPN}\]
\( \Rightarrow \frac{{MQ}}{{NQ}} = \frac{{MP}}{{NP}} \Leftrightarrow \frac{{12,5 - x}}{x} = \frac{{6,2}}{{8,7}} \Leftrightarrow \frac{{12,5}}{x} - 1 = \frac{{6,2}}{{8,7}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{12,5}}{x} = 1 + \frac{{6,2}}{{8,7}} = \frac{{8,7 + 6,2}}{{8,7}} \Leftrightarrow x = 12,5 \cdot \frac{{8,7}}{{8,7 + 6,2}} \approx 7,3\)
Bài 16. SGK toán 8 tập 2 trang 67
Kẻ \[AH\bot BC\]
\[\Rightarrow \] AH là đường cao từ đỉnh A của \[\Delta ABC\] .
Ta có AD là đường phân giác của \[\Delta ABC\]
\[\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}\]
Ta có: \[\frac{{{S}_{ABD}}}{{{S}_{ACD}}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.CD}=\frac{BD}{CD}=\frac{m}{n}\] ( điều phải chứng minh)
Bài 17. SGK toán 8 tập 2 trang 68
\[\Delta AMB\] có đường phân giác MD \[\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM}\] (1)
\[\Delta AMC\] có đường phân giác ME \[\Rightarrow \frac{AE}{CE}=\frac{AM}{CM}\] (2)
Lại có: AM là trung tuyến của \[\Delta ABC\] \[\Rightarrow MB=MC\Rightarrow \frac{AM}{BM}=\frac{AM}{CM}\] (3)
(1), (2), (3) \[\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}\]
\[\Rightarrow DE//BC\] (Điều phải chứng minh)
LUYỆN TẬP
Bài 18. SGK toán 8 tập 2 trang 68
\[\Delta ABC\] có đường phân giác AE
\[\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EC}\Rightarrow \frac{EC}{AC}=\frac{EB}{AB}=\frac{EC+EB}{AC+AB}=\frac{BC}{6+5}=\frac{7}{11}\]
\[\frac{EC}{AC}=\frac{7}{11}\Leftrightarrow EC=AC.\frac{7}{11}=6.\frac{7}{11}=\frac{42}{11}\]
\[EB=BC-EC=7-\frac{42}{11}=\frac{35}{11}\]
Bài 19. SGK toán 8 tập 2 trang 68
Gọi O là giao điểm của AC và EF.
a)
\[OE//CD\Rightarrow \frac{AE}{DE}=\frac{OA}{OC}\]
\[OF//AB\Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{BF}{CF}\]
\[\Rightarrow \frac{AE}{DE}=\frac{BF}{CF}\left( =\frac{OA}{OC} \right)\]
b)
\(OE//CD \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{OA}}{{AC}}\)
\[OF//AB\Rightarrow \frac{OA}{AC}=\frac{BF}{BC}\]
\[\Rightarrow \frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}\left( =\frac{OA}{AC} \right)\]
c)
\[\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow 1-\frac{AE}{AD}=1-\frac{BF}{BC}\]
\[\Rightarrow \frac{AD-AE}{AD}=\frac{BC-BF}{BC}\]
\[\Rightarrow \frac{DE}{DA}=\frac{CF}{CB}\] (điều phải chứng minh)
Bài 20. SGK toán 8 tập 2 trang 68
Ta có:
\(OE//CD \Rightarrow \frac{{OE}}{{CD}} = \frac{{OA}}{{AC}}\)
\(OF//CD \Rightarrow \frac{{OF}}{{CD}} = \frac{{BF}}{{BC}}\)
\[\Rightarrow \frac{OE}{CD}=\frac{OA}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{OF}{CD}\]
\[\Rightarrow OE=OF\] (điều phải chứng minh)
Bài 21. SGK toán 8 tập 2 trang 68
a)
Ta có: \[\frac{{{S}_{ABD}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}d\left( A,BC \right).BD}{\frac{1}{2}d\left( A,BC \right).BC}=\frac{BD}{BC}\]
\[\Delta ABC\] có phân giác AD \[\Rightarrow \frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}\]
\[\Rightarrow \frac{CD}{BD}+1=\frac{AC}{AB}+1\]
\[\Rightarrow \frac{CD+BD}{BD}=\frac{AC+AB}{AB}\]
\[\Rightarrow \frac{BC}{BD}=\frac{AC+AB}{AB}\]
\[\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\]
\[\Rightarrow \frac{{{S}_{ABD}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{AB}{AB+AC}\Rightarrow {{S}_{ABD}}=\frac{AB}{AB+AC}.{{S}_{ABC}}=\frac{m}{m+n}.S\]
Mà \[\frac{{{S}_{ABM}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{ABM}}=\frac{1}{2}S\]
\[{{S}_{ADM}}={{S}_{ABM}}-{{S}_{ABD}}=\frac{1}{2}S-\frac{m}{m+n}.S=\frac{n-m}{2\left( m+n \right)}.S\]
b) Thay \[n=7cm,m=3cm\] vào \[{{S}_{ADM}}\] , ta được:
\[{{S}_{ADM}}=\frac{7-3}{2\left( 7+3 \right)}S=\frac{1}{5}S=20%S\]
Vậy diện tích \[\Delta ADM\] chiếm \[20%\] diện tích \[\Delta ABC\] .
Bài 22. SGK toán 8 tập 2 trang 68
\[\Delta OAC\] có phân giác OB \[\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{c}\]
\[\Delta OBD\] có phân giác OC \[\Rightarrow \frac{y}{b}=\frac{z}{d}\]
\[\Delta OAE\] có phân giác OC \[\Rightarrow \frac{AC}{AO}=\frac{CE}{OE}\Leftrightarrow \frac{x+y}{a}=\frac{z+t}{e}\]
\[\Delta OCE\] có phân giác OD \[\Rightarrow \frac{z}{c}=\frac{t}{e}\]
\[\Delta OAG\] có phân giác OD \[\Rightarrow \frac{x+y+z}{a}=\frac{t+u+v}{g}\]
\[\Delta OBF\] có phân giác OD \[\Rightarrow \frac{y+z}{b}=\frac{t+u}{f}\]
\[\Delta ODF\] có phân giác OE \[\Rightarrow \frac{t}{d}=\frac{u}{f}\]
\[\Delta OCG\] có phân giác OE \[\Rightarrow \frac{z+t}{c}=\frac{u+v}{g}\]
\[\Delta OEG\] có phân giác OF \[\Rightarrow \frac{u}{e}=\frac{v}{g}\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa tính chất đường phân giác của tam giác toán học 8, toán 8 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất