Bài 3. Thể tích của hình hộp chữ nhật

BÀI 3. THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT 

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

- Khi đường thẳng A’A vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AD và AB của mặt phẳng $$\left( ABCD \right)$$ ta nói A’A vuông góc với mặt phẳng $$\left( ABCD \right)$$ tại A và kí hiệu:

$$A'A\bot mp\left( ABCD \right)$$

Nhận xét . Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng đó.

- Khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì người ta nói hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau và kí hiệu:

$$mp\left( ADD'A' \right)\bot mp\left( ABCD \right)$$

2. Thể tích của hình hộp chữ nhật

Tổng quát, nếu các kích thước của hình hộp chữ nhật là a, b, c (cùng đơn vị độ dài) thì thể tích của hình hộp chữ nhật đó là: $$V=abc$$

Đặc biệt, thể tích hình lập phương cạnh a là $$V={{a}^{3}}$$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc mặt phẳng

Cách giải:

- Nếu $$A'A\bot AB;A'A\bot AD$$; AB và AD cắt nhau trong mặt phẳng $$\left( ABCD \right)$$ thì $$A'A\bot \left( ABCD \right)$$.

- Nếu $$d\bot mp\left( ABCD \right);d\in \left( \alpha  \right)$$ thì $$\left( \alpha  \right)\bot \left( ABCD \right)$$

Dạng 2. Tính các thông số của hình hộp chữ nhật

Cách giải:

Hình hộp chữ nhật có các kích thước là a, b, c có:

- Diện tích toàn phần là $${{S}_{tp}}=2.\left( ab+ac+bc \right)$$

- Thể tích là $$V=abc$$

Hình lập phương cạnh a có thể tích bằng $$V={{a}^{3}}\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{V}$$

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 

Bài 10. SGK toán 8 tập 2 trang 103

1) Gấp hình 87a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chữ nhật.

2)

a) Ta có: $$BF\bot EF;BF\bot GF$$; EF và GF cắt nhau trong mặt phẳng $$\left( EFGH \right)$$

$$\Rightarrow BF\bot \left( EFGH \right)$$

Ta có: $$BF\bot AB;BF\bot BC$$; AB và BC cắt nhau trong mặt phẳng $$\left( ABCD \right)$$

$$\Rightarrow BF\bot \left( ABCD \right)$$

b) Ta có: $$HE\bot \left( CGHD \right)$$

$$\Rightarrow \left( AEHD \right)\bot \left( CGHD \right)$$ (điều phải chứng minh)

Bài 11. SGK toán 8 tập 2 trang 104

a) Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật là a, b, c.

Vì a, b, c tỉ lệ với 3, 4, 5 nên ta có: $$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=t$$

$$\Rightarrow a=3t;b=4t;d=5t$$

Thể tích hình hộp chữ nhật là $$480c{{m}^{3}}$$

$$\Rightarrow 3t.4t.5t=480$$

$$\Leftrightarrow {{t}^{3}}=8\Leftrightarrow t=2$$

$$\Rightarrow a=6cm;b=8cm;c=10cm$$

Vậy các kích thước của hình hộp là 6cm, 8cm, 10cm.

b) Gọi a là độ dài một cạnh hình lập phương.

$$\Rightarrow $$Diện tích một mặt hình lập phương là $${{a}^{2}}$$

$$\Rightarrow $$Diện tích toàn phần của hình lập phương là $$6{{a}^{2}}$$

$$\Rightarrow 6{{a}^{2}}=486$$

$$\Rightarrow {{a}^{2}}=81\Rightarrow a=9$$

Thể tích hình lập phương là $${{a}^{3}}=729\left( {{m}^{3}} \right)$$

Vậy thể tích hình lập phương đó là $$729{{m}^{3}}$$.

Bài 12. SGK toán 8 tập 2 trang 104

Ta có:

$$B{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}$$( $$\Delta BCD$$ vuông tại C)

$$A{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}$$($$\Delta ABD$$ vuông tại B)

$$B{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}$$$$\Rightarrow A{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}$$

$$A{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}\Rightarrow AD=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}$$

Cột 1: $$AB=6;BC=15;CD=42$$

$$\Rightarrow AD=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{15}^{2}}+{{42}^{2}}}=45$$

Cột 2: $$AB=13;BC=16;AD=45$$

$$\Rightarrow CD=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{45}^{2}}-{{13}^{2}}-{{16}^{2}}}=40$$

Cột 3: $$AB=14;CD=70;AD=75$$

$$\Rightarrow BC=\sqrt{A{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{75}^{2}}-{{70}^{2}}-{{14}^{2}}}=23$$

Cột 4: $$BC=34;CD=62;AD=75$$

$$\Rightarrow AB=\sqrt{A{{D}^{2}}-B{{C}^{2}}-C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{75}^{2}}-{{34}^{2}}-{{62}^{2}}}=25$$

Bài 13. SGK toán 8 tập 2 trang 104

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật $$ABCD.MNPQ$$ là: $${{V}_{ABCD.MNPQ}}=AB.AD.AM$$

b) Ta có:

Thể tích = Chiều dài x Chiều rộng x Chiều cao

Diện tích một đáy = Chiều dài x Chiều rộng

LUYỆN TẬP

Bài 14. SGK toán 8 tập 2 trang 104

a)

Thể tích nước đổ vào bể là: $$120.20=2400\left( l \right)=2,4\left( {{m}^{3}} \right)$$

Chiều rộng bể nước là: $$2,4:\left( 2.0,8 \right)=1,5\left( m \right)$$

b)

Thể tích bể nước là: $$2400+60.20=3600\left( l \right)=3,6\left( {{m}^{3}} \right)$$

Chiều cao bể nước là: $$3,6:\left( 2.1,5 \right)=1,2\left( m \right)$$

Bài 15. SGK toán 8 tập 2 trang 105

Thể tích nước trong thùng bằng: $$7.7.4=196\left( d{{m}^{3}} \right)$$

Thể tích 25 viên gạch bằng: $$25.\left( 2.1.0,5 \right)=25\left( d{{m}^{3}} \right)$$

Tổng thể tích của nước và gạch bằng: $$196+25=221\left( d{{m}^{3}} \right)$$

Sau khi thả gạch, mực nước trong bể cao: $$221:\left( 7.7 \right)\approx 4,51\left( dm \right)$$

Nước trong thùng dâng lên cách miệng bằng: $$7-4,51=2,49\left( dm \right)$$

Bài 16. SGK toán 8 tập 2 trang 105

a) Các đường thẳng song song với mặt phẳng $$\left( ABKI \right)$$ là: $$A'B',C'D',CD,GH$$.

b) Các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $$\left( DCC'D' \right)$$ là: $$A'D',B'C',DG,CH,IA,BK$$

c) Mặt phẳng $$\left( A'D'C'B' \right)\bot \left( DCC'D' \right)$$ vì $$A'D'\bot \left( CDD'C' \right);A'D'\in \left( A'D'C'B' \right)$$

Bài 17. SGK toán 8 tập 2 trang 105

a) Các đường thẳng song song với $$mp\left( EFGH \right)$$ là: $$AB,BC,CD,AD$$

b) Đường thẳng AB song song với các mặt phẳng $$\left( CDHG \right),\left( EFGH \right),\left( DCFE \right)$$

c) Đường thẳng AD song song với các đường thẳng: $$BC,GF,HE$$

Bài 18. SGK toán 8 tập 2 trang 105

Trải hình hộp chữ nhật trên một mặt phẳng ta được hình vẽ trên.

Để con kiến bò theo đường ngắn nhất thì nó phải bò theo đường thẳng $${{P}_{1}}Q$$ hoặc $${{P}_{2}}Q$$.

Ta có: $${{P}_{1}}Q=\sqrt{{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}=\sqrt{41}$$; $${{P}_{2}}Q=\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{45}$$

Lại có: $$\sqrt{41}<\sqrt{45}\Rightarrow {{P}_{1}}Q<{{P}_{2}}Q$$

$$\Rightarrow $$ Con kiến bò theo đường $${{P}_{1}}Q$$

b) Đọ dài đường ngắn nhất là $${{P}_{1}}Q=\sqrt{41}\approx 6,4\left( cm \right)$$