Những hằng đẳng thức đáng nhớ

BÀI 8: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Bình phương của một tổng

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$${(A+B)}^2=A^2+2AB+B^2$$

2. Bình phương của một hiệu

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

$${(A-B)}^2=A^2-2AB+B^2$$

3. Hiệu hai bình phương

Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có:

$$A^2-B^2-(A+B)(A-B)$$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Viết biểu thức đã cho dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu

Cách giải:

Áp dụng hai hằng đẳng thức:

- Bình phương của một tổng: $${(A+B)}^2=A^2+2AB+B^2$$

- Bình phương của một hiệu: $${(A-B)}^2=A^2-2AB+B^2$$

Dạng 2. Điền vào chỗ trống để tạo thành hằng đẳng thức

Cách giải:

Áp dụng hai hằng đẳng thức:

- Bình phương của một tổng: $${(A+B)}^2=A^2+2AB+B^2$$

- Bình phương của một hiệu: $${(A-B)}^2=A^2-2AB+B^2$$

Dạng 3. Tính nhanh

Cách giải:

- Biến đổi các số đã cho thành tổng của hai số thích hợp.

- Áp dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép tính nhanh.

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức

Cách giải:

Áp dụng các hằng đẳng thức linh hoạt để biến đổi hai vế đẳng thức.

Dạng 5. Tính giá trị biểu thức

Cách giải:

- Áp dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức đã cho thành bình phương của một tổng, một hiệu.

- Thay giá trị trong đề bài vào biểu thức sau khi biến đổi.

Dạng 6. Khai triển bình phương của một tổng, một hiệu thành một biểu thức

Cách giải:

Áp dụng các hằng đẳng thức:

- Bình phương của một tổng: $${(A+B)}^2=A^2+2AB+B^2$$

- Bình phương của một hiệu: $${(A-B)}^2=A^2-2AB+B^2$$

- Hiệu hai bình phương: $$A^2-B^2-(A+B)(A-B)$$

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 16. (SGK Toán 8 tập 1 trang 11)

a) $$x^2+2x+1=x^2+2.x.1+1^2={(x+1)}^2$$

b) $$9x^2+y^2+6xy=9x^2+6xy+y^2={\left(3x\right)}^2+2.3x.y+y^2={(3x+y)}^2$$

c) $25a^2+4b^2-20ab=25a^2-20ab+4b^2=(5a{)}^2-2.5a.2b+(2b{)}^2=(5a-2b{)}^2$

d) $$x^2-x+\frac{1}{4}=x^2-2x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={(x-\frac{1}{2})}^2$$

Bài 17. (SGK Toán 8 tập 1 trang 11)

Ta có: $${(10a+5)}^2={\left(10a\right)}^2+2.10a.5+5^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25$$

Đặt A = a.(a + 1). Khi đó ta có bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 là:

$${\left(\overline{a5}\right)}^2={(10a+5)}^2=100a(a+1)+25=100A+25=\overline{A25}$$

$$\Rightarrow$$ Để tính bình phương của một số tự nhiên cótận cùng bằng chữ số 5, ta tính tích $$a.(a+1)$$ và viết 25 vào sau kết quả vừa tìm được

Vậy: ${25}^2={\left(10.2+5\right)}^2$] $$\Rightarrow$$ $$a=2\Rightarrow A=a(a+1)=2.3=6\Rightarrow {25}^2=625$$

$${35}^2={(10.3+5)}^2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=3\Rightarrow A=a(a+1)=3.4=12$$ $$\Rightarrow$$ $${35}^2=1225$$

$${65}^2={(10.6+5)}^2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=6\Rightarrow A=a(a+1)=6.7=42$$ $$\Rightarrow$$ $${65}^2=4225$$

$${75}^2={(10.7+5)}^2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=7\Rightarrow A=a(a+1)=7.8=56$$ $$\Rightarrow$$ $${75}^2=5625$$

Bài 18. (SGK Toán 8 tập 1 trang 11)

a) Ta có: $\{\begin{array}{l}A=x\\ 2AB=6xy\\ B=3y\Rightarrow B^2=9y^2\end{array}$

$$\Rightarrow$$ $$x^2+6xy+9y^2={(x+3y)}^2$$

b) Ta có: $\{\begin{array}{l}2AB=10xy\\ B^2=25y^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A=x\\ B=5y\end{array}$

$\Rightarrow x^2-10xy+25y^2=(x-5y{)}^2$

Đề bài tương tự:

$\begin{array}{l}...+24xy+36y^2={\left(2x+...\right)}^2\\ x^2-14xy+...={\left(...-7y\right)}^2\end{array}$

Bài 19. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)

Diện tích của miếng tôn ban đầu là: $${(a+b)}^2$$

Diện tích của miếng tôn bị cắt là: $(a-b{)}^2$

Diện tích miếng tôn còn lại là: $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2$

Ta có: $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)-\left(a^2-2ab+b^2\right)=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab$

Vậy phần diện tích phần hình còn lại là $$4ab$$ và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

LUYỆN TẬP

Bài 20. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)

Kết quả đó là sai.

Ta có:$${(x+2y)}^2=x^2+2.x.2y+4y^2=x^2+4xy+4y^2\ne x^2+2xy+4y^2$$

Bài 21. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)

a) $9x^2-6x+1=(3x{)}^2-2.3x.1+1^2=(3x-1{)}^2$

b) $${(2x+3y)}^2+2.(2x+3y)+1={(2x+3y)}^2+2.(2x+3y).1+1^2={[(2x+3y)+1]}^2={(2x+3y+1)}^2$$

c) Đề bài tương tự:

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:

$\begin{array}{l}9x^2-12xy+4y^2\\ x^2+2x\left(4y+1\right)+{\left(4y+1\right)}^2\end{array}$

Bài 22. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)

a) $${101}^2={(100+1)}^2={100}^2+2.100+1=10000+200+1=10201$$

b) ${199}^2=(200-1{)}^2={200}^2-2.200+1=40000-400+1=39601$

c) $47.53=(50-3)(50+3)={50}^2-3^2=2500-9=2491$

Bài 23. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)

+ Chứng minh: $(a+b{)}^2=(a-b{)}^2+4ab$

Ta có: $VP=(a-b{)}^2+4ab=a^2-2ab+b^2+4ab=a^2+(4ab-2ab)+b^2$

$=a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2=VT(dpcm)$

+ Chứng minh: $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$

Ta có: $VP=(a+b{)}^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2+(2ab-4ab)+b^2$

$=a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2=VT(dpcm)$

a) $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab=7^2-4.12=49-48=1$

b) $${(a+b)}^2={\left(ab\right)}^2+4ab={20}^2+4.3=400+12=412$$

Bài 24. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)

Ta có: $A=49x^2-70x+25=(7x{)}^2-2.7x.5+5^2=(7x-5{)}^2$

a) Thay$$x=5$$ vào A ta có: $A=(7.5-5{)}^2={30}^2=900$

b) Thay $$x=\frac{1}{7}$$ vào A ta có: $$A={(7.\frac{1}{7}-5)}^2={(1-5)}^2={(-4)}^2=16$$

Bài 25. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)

a)

$\begin{array}{l}{\left(a+b+c\right)}^2\\ ={\left[\left(a+b\right)+c\right]}^2\\ ={\left(a+b\right)}^2+2\left(a+b\right)c+c^2\\ =a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2\\ =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}{\left(a+b-c\right)}^2\\ ={\left[\left(a+b\right)-c\right]}^2\\ ={\left(a+b\right)}^2-2\left(a+b\right)c+c^2\\ =a^2+2ab+b^2-2ac-2bc+c^2\\ =a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}{\left(a-b-c\right)}^2\\ ={\left[\left(a-b\right)-c\right]}^2\\ ={\left(a-b\right)}^2-2\left(a-b\right)c+c^2\\ =a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2\\ =a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac\end{array}$

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ