BÀI 8: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Bình phương của một tổng
Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có:
\[{{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}\]
2. Bình phương của một hiệu
Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:
\[{{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}\]
3. Hiệu hai bình phương
Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có:
\[{{A}^{2}}-{{B}^{2}}-\left( A+B \right)\left( A-B \right)\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Viết biểu thức đã cho dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu
Cách giải:
Áp dụng hai hằng đẳng thức:
- Bình phương của một tổng: \[{{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}\]
- Bình phương của một hiệu: \[{{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}\]
Dạng 2. Điền vào chỗ trống để tạo thành hằng đẳng thức
Cách giải:
Áp dụng hai hằng đẳng thức:
- Bình phương của một tổng: \[{{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}\]
- Bình phương của một hiệu: \[{{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}\]
Dạng 3. Tính nhanh
Cách giải:
- Biến đổi các số đã cho thành tổng của hai số thích hợp.
- Áp dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép tính nhanh.
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức
Cách giải:
Áp dụng các hằng đẳng thức linh hoạt để biến đổi hai vế đẳng thức.
Dạng 5. Tính giá trị biểu thức
Cách giải:
- Áp dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức đã cho thành bình phương của một tổng, một hiệu.
- Thay giá trị trong đề bài vào biểu thức sau khi biến đổi.
Dạng 6. Khai triển bình phương của một tổng, một hiệu thành một biểu thức
Cách giải:
Áp dụng các hằng đẳng thức:
- Bình phương của một tổng: \[{{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}\]
- Bình phương của một hiệu: \[{{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}\]
- Hiệu hai bình phương: \[{{A}^{2}}-{{B}^{2}}-\left( A+B \right)\left( A-B \right)\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 16. (SGK Toán 8 tập 1 trang 11)
a) \[{{x}^{2}}+2x+1={{x}^{2}}+2.x.1+{{1}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\]
b) \[9{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6xy=9{{x}^{2}}+6xy+{{y}^{2}}={{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.y+{{y}^{2}}={{\left( 3x+y \right)}^{2}}\]
c) \(25{a^2} + 4{b^2} - 20ab = 25{a^2} - 20ab + 4{b^2} = {(5a)^2} - 2.5a.2b + {(2b)^2} = {(5a - 2b)^2}\)
d) \[{{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}={{x}^{2}}-2x.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}={{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\]
Bài 17. (SGK Toán 8 tập 1 trang 11)
Ta có: \[{{\left( 10a+5 \right)}^{2}}={{\left( 10a \right)}^{2}}+2.10a.5+{{5}^{2}}=100{{a}^{2}}+100a+25=100a\left( a+1 \right)+25\]
Đặt A = a.(a + 1). Khi đó ta có bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 là:
\[{{\left( \overline{a5} \right)}^{2}}={{\left( 10a+5 \right)}^{2}}=100a\left( a+1 \right)+25=100A+25=\overline{A25}\]
\[\Rightarrow \] Để tính bình phương của một số tự nhiên cótận cùng bằng chữ số 5, ta tính tích \[a.\left( a+1 \right)\] và viết 25 vào sau kết quả vừa tìm được
Vậy: \({25^2} = {\left( {10.2 + 5} \right)^2}\)] \[\Rightarrow \] \[a=2\Rightarrow A=a\left( a+1 \right)=2.3=6\Rightarrow {{25}^{2}}=625\]
\[{{35}^{2}}={{\left( 10.3+5 \right)}^{2}}\] \[\Rightarrow \] \[a=3\Rightarrow A=a\left( a+1 \right)=3.4=12\] \[\Rightarrow \] \[{{35}^{2}}=1225\]
\[{{65}^{2}}={{\left( 10.6+5 \right)}^{2}}\] \[\Rightarrow \] \[a=6\Rightarrow A=a\left( a+1 \right)=6.7=42\] \[\Rightarrow \] \[{{65}^{2}}=4225\]
\[{{75}^{2}}={{\left( 10.7+5 \right)}^{2}}\] \[\Rightarrow \] \[a=7\Rightarrow A=a\left( a+1 \right)=7.8=56\] \[\Rightarrow \] \[{{75}^{2}}=5625\]
Bài 18. (SGK Toán 8 tập 1 trang 11)
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} A = x\\ 2AB = 6xy\\ B = 3y \Rightarrow {B^2} = 9{y^2} \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow \] \[{{x}^{2}}+6xy+9{{y}^{2}}={{\left( x+3y \right)}^{2}}\]
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} 2AB = 10xy\\ {B^2} = 25{y^2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = x\\ B = 5y \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {x^2} - 10xy + 25{y^2} = {(x - 5y)^2}\)
Đề bài tương tự:
\(\begin{array}{l} ... + 24xy + 36{y^2} = {\left( {2x + ...} \right)^2}\\ {x^2} - 14xy + ... = {\left( {... - 7y} \right)^2} \end{array}\)
Bài 19. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)
Diện tích của miếng tôn ban đầu là: \[{{\left( a+b \right)}^{2}}\]
Diện tích của miếng tôn bị cắt là: \( {(a - b)^2}\)
Diện tích miếng tôn còn lại là: \({(a + b)^2} - {(a - b)^2}\)
Ta có: \({(a + b)^2} - {(a - b)^2} = \left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) = {a^2} + 2ab + {b^2} - {a^2} + 2ab - {b^2} = 4ab\)
Vậy phần diện tích phần hình còn lại là \[4ab\] và không phụ thuộc vào vị trí cắt.
LUYỆN TẬP
Bài 20. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)
Kết quả đó là sai.
Ta có:\[{{\left( x+2y \right)}^{2}}={{x}^{2}}+2.x.2y+4{{y}^{2}}={{x}^{2}}+4xy+4{{y}^{2}}\ne {{x}^{2}}+2xy+4{{y}^{2}}\]
Bài 21. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)
a) \(9{x^2} - 6x + 1 = {(3x)^2} - 2.3x.1 + {1^2} = {(3x - 1)^2}\)
b) \[{{\left( 2x+3y \right)}^{2}}+2.\left( 2x+3y \right)+1={{\left( 2x+3y \right)}^{2}}+2.\left( 2x+3y \right).1+{{1}^{2}}={{\left[ \left( 2x+3y \right)+1 \right]}^{2}}={{\left( 2x+3y+1 \right)}^{2}}\]
c) Đề bài tương tự:
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:
\(\begin{array}{l} 9{x^2} - 12xy + 4{y^2}\\ {x^2} + 2x\left( {4y + 1} \right) + {\left( {4y + 1} \right)^2} \end{array}\)
Bài 22. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)
a) \[{{101}^{2}}={{\left( 100+1 \right)}^{2}}={{100}^{2}}+2.100+1=10000+200+1=10201\]
b) \({199^2} = {(200 - 1)^2} = {200^2} - 2.200 + 1 = 40000 - 400 + 1 = 39601\)
c) \(47.53 = (50 - 3)(50 + 3) = {50^2} - {3^2} = 2500 - 9 = 2491\)
Bài 23. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)
+ Chứng minh: \({(a + b)^2} = {(a - b)^2} + 4ab\)
Ta có: \(VP = {(a - b)^2} + 4ab = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab = {a^2} + (4ab - 2ab) + {b^2}\)
\(= {a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2} = VT(dpcm)\)
+ Chứng minh: \({(a - b)^2} = {(a + b)^2} - 4ab\)
Ta có: \(VP = {(a + b)^2} - 4ab = {a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab = {a^2} + (2ab - 4ab) + {b^2}\)
\( = {a^2} - 2ab + {b^2} = {(a - b)^2} = VT(dpcm)\)
a) \({(a - b)^2} = {(a + b)^2} - 4ab = {7^2} - 4.12 = 49 - 48 = 1\)
b) \[{{\left( a+b \right)}^{2}}={{\left( ab \right)}^{2}}+4ab={{20}^{2}}+4.3=400+12=412\]
Bài 24. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)
Ta có: \(A = 49{x^2} - 70x + 25 = {(7x)^2} - 2.7x.5 + {5^2} = {(7x - 5)^2}\)
a) Thay\[x=5\] vào A ta có: \(A = {(7.5 - 5)^2} = {30^2} = 900\)
b) Thay \[x=\frac{1}{7}\] vào A ta có: \[A={{\left( 7.\frac{1}{7}-5 \right)}^{2}}={{\left( 1-5 \right)}^{2}}={{\left( -4 \right)}^{2}}=16\]
Bài 25. (SGK Toán 8 tập 1 trang 12)
a)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}\\ { = {{\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]}^2}}\\ { = {{\left( {a + b} \right)}^2} + 2\left( {a + b} \right)c + {c^2}}\\ { = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}}\\ { = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac} \end{array}\)
b)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b-c} \right)}^2}}\\ { = {{\left[ {\left( {a + b} \right)-c} \right]}^2}}\\ { = {{\left( {a + b} \right)}^2}-2\left( {a + b} \right)c + {c^2}}\\ { = {a^2} + 2ab + {b^2}-2ac-2bc + {c^2}}\\ { = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab-2bc-2ac} \end{array}\)
c)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a-b-c} \right)}^2}}\\ { = {{\left[ {\left( {a-b} \right)-c} \right]}^2}}\\ { = {{\left( {a-b} \right)}^2}-2\left( {a-b} \right)c + {c^2}}\\ { = {a^2}-2ab + {b^2}-2ac + 2bc + {c^2}}\\ { = {a^2} + {b^2} + {c^2}-2ab + 2bc-2ac} \end{array}\)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ