BÀI 3: HÌNH THANG CÂN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Chú ý: Nếu ABCD là hình thang cân có đáy là \[AB,CD\] thì \[\widehat{A}=\widehat{B};\widehat{C}=\widehat{D}\] .
2. Tính chất
Định lí 1:
Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
(\[ABCD\] là hình thang cân có đáy là \[AB,CD\]\[\Rightarrow AD=BC\])
Định lí 2:
Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau
(\[ABCD\] là hình thang cân có đáy là \[AB,CD\Rightarrow AC=BD\])
Định lí 3:
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
(Hình thang \[ABCD\] đáy \[AB,CD\] có \[AC=BD\Rightarrow ABCD\] là hình thang cân)
3. Dấu hiệu nhận biết
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thang cân
Cách giải:
Dựa vào định nghĩa, định lí, dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác \[ABCD\] là hình thang cân.
- Chứng minh tứ giác \[ABCD\] là hình thang
- Chứng minh hình thang \[ABCD\] có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau để suy ra \[ABCD\] là hình thang cân.
Dạng 2. Chứng minh các yếu tố bằng nhau (cạnh, góc,…) hoặc tính số đo liên quan đến hình thang cân
Cách giải:
Thông qua tính chất của hình thang cân và các kiến thức về tam giác bằng nhau, định lí Phytago,…, ta suy ra các yếu tố liên quan như cạnh, góc,…
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 11. (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1)
(Mỗi ô vuông là 1cm).
Từ hình vẽ ta thấy :
+ \[AB=2cm\]
+ \[CD=4cm\].
Xét tam giác vuông \[ADE\] có \[AE=1cm,DE=3cm\].
\[\Rightarrow A{{D}^{2}}=A{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10\](Định lý Pytago)
\[\Rightarrow AD=\sqrt{10}cm\]
Vì \[ABCD\] là hình thang cân nên \[BC=AD=\sqrt{10}cm\].
Vậy \[AB=2cm,CD=4cm,AD=BC=\sqrt{10}cm\].
Bài 12. (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1)
Vì hình thang ABCD cân nên \[AD=BC\]; \[\widehat{C}=\widehat{D}\]
Xét hai tam giác vuông \[AED\] và \[BFC\] có:
\[AD=BC\]; \[\widehat{C}=\widehat{D}\]
\[\Rightarrow \Delta AED=\Delta BFC\] (cạnh huyền – góc nhọn)
\[\Rightarrow DE=CF\].
Bài 13. (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1)
Vì \[ABCD\] là hình thang cân nên \[AD=BC;AC=BD\]
Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có:
\[AD=BC\](cmt)
\[AC=BD\](cmt)
DC cạnh chung
\[\Rightarrow \Delta ADC=\Delta BCD\left( c.c.c \right)\]
\[\Rightarrow \widehat{{{\text{C}}_{1}}}=\widehat{{{\text{D}}_{1}}}\] \[\Rightarrow \Delta ECD\] cân tại E
\[\Rightarrow EC=ED\].
Mà \[AC=BD\]
\[\Rightarrow ACEC=BDED\]\[\Leftrightarrow EA=EB\].
Vậy \[EA=EB,EC=ED\].
Bài 14. (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)
+ Xét tứ giác \[ABCD\]
Ta thấy \[AB//CD\Rightarrow \]Tứ giác ABCD là hình thang.
Xét \[\Delta ACK\] vuông tại K ta có: \[A{{C}^{2}}=A{{K}^{2}}+K{{C}^{2}}={{4}^{2}}+{{1}^{2}}=17\]
Tương tự ta có \[B{{D}^{2}}={{4}^{2}}+{{1}^{2}}=17\]
\[\Rightarrow A{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}\]\[\Rightarrow AC=BD\]
Vì hình thang \[ABCD\] có hai đường chéo \[AC=BD\] nên là hình thang cân.
+ Xét tứ giác \[EFGH\]
Ta thấy \[FG//EH\Rightarrow \] Tứ giác EFGH là hình thang.
Ta có : \[EG=4cm\]
Mà \[F{{H}^{2}}={{2}^{2}}+{{3}^{2}}=13\Rightarrow FH=\sqrt{13}\ne EG\].
Vì hình thang \[EFGH\] có hai đường chéo không bằng nhau nên không phải hình thang cân.
Bài 15. (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)
Ta có \[\text{AD}=\text{AE}\Rightarrow \Delta \text{ADE}\] cân \[\Rightarrow \widehat{{{\text{D}}_{1}}}=\widehat{{{\text{E}}_{1}}}\]
Xét \[\Delta \text{ADE}\] có \[\widehat{\text{A}}+\widehat{{{\text{D}}_{1}}}+\widehat{{{\text{E}}_{1}}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{\text{A}}+2{{\widehat{\text{D}}}_{1}}={{180}^{0}}\]
\[\Rightarrow \widehat{{{\text{D}}_{1}}}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{\text{A}}}{2}\]
Xét \[\Delta \text{ABC}\] có \[\widehat{\text{A}}+\widehat{\text{B}}+\widehat{\text{C}}={{180}^{0}}\]
Mà \[\Delta \text{ABC}\] cân tại \[A\Rightarrow \widehat{\mathbf{B}}=\widehat{\mathbf{C}}\]
\[\Rightarrow \widehat{\text{A}}+2\widehat{\text{B}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{\text{B}}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{\text{A}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow \widehat{{{\text{D}}_{1}}}=\widehat{\text{B}}\]
Mà hai góc ở vị trí đồng vị \[\Rightarrow DE//BC\]
\[\Rightarrow \] Tứ giác \[DECB\] là hình thang.
Mà \[\widehat{\mathbf{B}}=\widehat{\mathbf{C}}\] nên hình thang \[DECB\] là hình thang cân.
b) Ta có \[\widehat{A}={{50}^{0}}\Rightarrow \widehat{B}=\frac{{{180}^{0}}-{{50}^{0}}}{2}={{65}^{0}}\]
Mà \[\widehat{B}=\widehat{C}\Rightarrow \widehat{C}={{65}^{0}}\]
Vì \[\text{DE}//\text{BC}\Rightarrow \widehat{{{D}_{2}}}+\widehat{B}={{180}^{0}}\]
\[\Rightarrow \widehat{{{D}_{2}}}={{180}^{0}}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{65}^{0}}={{115}^{0}}\]
Mà \[DECB\] là hình thang cân
\[\Rightarrow \widehat{{{E}_{2}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\Rightarrow \widehat{{{E}_{2}}}={{115}^{0}}\]
Vậy \[\widehat{B}=\widehat{C}={{65}^{0}}\]; \[\widehat{{{E}_{2}}}=\widehat{{{D}_{2}}}={{115}^{0}}\] .
LUYỆN TẬP
Bài 16. (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)
Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân
\[\Delta ABC\] cân tại \[A\Rightarrow \widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}\]
BD là phân giác của \[\widehat{\text{B}}\Rightarrow \widehat{{{\text{B}}_{1}}}=\widehat{{{\text{B}}_{2}}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ABC}}\]
CE là phân giác của \[\widehat{\text{C}}\Rightarrow \widehat{{{\text{C}}_{2}}}=\widehat{{{\text{C}}_{2}}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ACB}}\]
\[\Rightarrow \widehat{{{\text{B}}_{1}}}=\widehat{{{\text{B}}_{2}}}=\widehat{{{\text{C}}_{1}}}=\widehat{{{\text{C}}_{2}}}\]
Xét \[\Delta AEC\] và \[\Delta ADB\] có:
\[\widehat{A}\] chung
\[AB=AC\]
\[\widehat{{{\text{C}}_{1}}}=\widehat{{{\text{B}}_{1}}}\]
\[\Rightarrow \Delta AEC=\Delta ADB\]\[\Rightarrow AE=AD\]
Vậy tam giác ABC cân tại A có \[AE=AD\]
Theo kết quả bài 15a) suy ra \[BCDE\] là hình thang cân.
Chứng minh \[ED=EB\].
Ta có \[ED//BC\Rightarrow \widehat{{{\text{D}}_{1}}}=\widehat{{{\text{B}}_{2}}}\] (Hai góc so le trong)
Mà \[\widehat{{{\text{B}}_{1}}}=\widehat{{{\text{B}}_{2}}}\Rightarrow \widehat{{{\text{D}}_{1}}}=\widehat{{{\text{B}}_{1}}}\] \[\Rightarrow \Delta EDB\] cân tại \[E\Rightarrow ED=EB\].
Vậy \[EBCD\] là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Bài 17. (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Ta có: \[\widehat{{{\text{C}}_{1}}}=\widehat{{{\text{D}}_{1}}}\] \[\Rightarrow \Delta EDC\] cân tại \[E\Rightarrow ED=EC\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Lại có: \[AB//CD\Rightarrow \] \[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{\text{C}}_{1}}}\] và \[\widehat{{{\text{B}}_{1}}}=\widehat{{{\text{D}}_{1}}}\] (Các cặp góc so le trong)
Mà \[\widehat{{{\text{C}}_{1}}}=\widehat{{{\text{D}}_{1}}}\Rightarrow \widehat{{{\text{A}}_{1}}}=\widehat{{{\text{B}}_{1}}}\]
\[\Rightarrow \Delta EAB\] cân tại \[E\Rightarrow EA=EB\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\] suy ra: \[EA+EC=EB+ED\] hay \[AC=BD\].
Vậy hình thang \[ABCD\] có hai đường chéo \[AC=BD\] nên là hình thang cân.
Bài 18. (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)
a) Hình thang \[ABEC\left( AB//CE \right)\] có hai cạnh bên \[AC,BE\] song song nên chúng bằng nhau: \[AC=BE\left( 1 \right)\]
Theo giả thiết \[AC=BD\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\] \[\Rightarrow BE=BD\Rightarrow \] \[\Delta BDE\] cân tại B.
b) Vì \[\text{AC}//\text{BE}\Rightarrow \widehat{E}=\widehat{{{C}_{1}}}\,\,\,\,\left( 3 \right)\]
Mà \[\Delta BDE\] cân tại B \[\Rightarrow \widehat{E}=\widehat{{{D}_{1}}}\,\,\,\,\left( 4 \right)\]
Từ \[\left( 3 \right);\left( 4 \right)\Rightarrow \widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\]
Xét \[\Delta ACD\] và \[\Delta BDC\] có:
\[DC\] chung
\[\text{AC}=\text{BD}\]
\[\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{D}_{1}}}\]
\[\Rightarrow \Delta \text{ACD}=\Delta \text{BDC}\left( \text{c}.\text{g}.\text{c} \right)\]
c) Ta có \[\Delta \text{ACD}=\Delta \text{BDC}\Rightarrow \] \[\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\] (hai góc tương ứng)
Vì hình thang \[ABCD\] có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
Bài 19. (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)
Ta có thể xác định hai điểm M thỏa mãn như dưới hình.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài Hình thang cân do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ