BÀI 1: TỨ GIÁC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Tứ giác \[ABCD\] là hình gồm bốn đoạn thẳng \[AB,\text{ }BC,\text{ }CD,\text{ }DA\], trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.
2. Tính chất
Trong một tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau tại tại một điểm thuộc miền trong của tứ giác .
Tổng bốn góc của một tứ giác bằng \[{{360}^{0}}\] .
Tổng các góc ngoài của một tứ giác lồi bằng \[{{360}^{0}}\] .
Chú ý:
Từ nay , khi nói tới tứ giác mà không chú thích gì thêm thì ta hiểu đó là tứ giác lồi
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính số đo góc của tứ giác
Cách giải:
Áp dụng các kiến thức sau:
- Tổng bốn góc của một tứ giác bằng \[{{360}^{0}}\] .
- Tổng các góc ngoài của một tứ giác lồi bằng \[{{360}^{0}}\].
- Tổng số đo hai góc kề bù bằng $${{180}^{0}}$$.
Dạng 2. Vẽ tứ giác khi biết số đo các cạnh
Cách giải:
Để vẽ tứ giác $$ABCD$$, ta dựa vào cách vẽ hai tam giác $$ABC,ACD$$(hoặc $$ABD,BCD;...$$)
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 66 SGK Toán 8 Tập 1)
Ta có định lý: Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng \[{{360}^{0}}\].
+ Hình 5a: Xét tứ giác ABCD ta có:
\[x+{{110}^{0}}+{{120}^{0}}+{{80}^{0}}={{360}^{0}}\]
\[\Rightarrow x={{360}^{0}}-{{110}^{0}}-{{120}^{0}}-{{80}^{0}}={{50}^{0}}\]
+ Hình 5b: Dựa vào hình vẽ ta có: $$\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{H}={{90}^{0}}$$
Xét tứ giác EFGH ta có:
\[x+{{90}^{0}}+{{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{360}^{0}}\]
\[\Rightarrow x={{360}^{0}}-{{90}^{0}}-{{90}^{0}}-{{90}^{0}}={{90}^{0}}\].
+ Hình 5c:Dựa vào hình vẽ ta có: $$\widehat{B}=\widehat{E}={{90}^{0}}$$
Xét tứ giác ABDE ta có:
\[x+{{90}^{0}}+{{65}^{0}}+{{90}^{0}}={{360}^{0}}\]
\[\Rightarrow x={{360}^{0}}-{{90}^{0}}-{{65}^{0}}-{{90}^{0}}={{115}^{0}}\]
+ Hình 5d:
$$\widehat{\text{IKM}}$$ kề bù với góc $${{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{\text{IKM}}={{180}^{0}}-{{60}^{0}}={{120}^{0}}$$
$$\widehat{\text{KMN}}$$ kề bù với góc $${{105}^{0}}\Rightarrow \widehat{\text{KMN}}={{180}^{0}}-{{105}^{0}}={{75}^{0}}$$
$$\widehat{\text{NIK}}$$ là góc vuông $$\Rightarrow \widehat{\text{NIK}}={{90}^{0}}$$
Xét tứ giác \[IKMN\] ta có:
\[x+90{}^\text{o}+120{}^\text{o}+75{}^\text{o}=360{}^\text{o}\]\(\Rightarrow x=360{}^\text{o}-90{}^\text{o}-120{}^\text{o}-75{}^\text{o}=75{}^\text{o}\)
+ Hình 6a: Xét tứ giác PQRS ta có:
\[x+x+65{}^\text{o}+95{}^\text{o}=360{}^\text{o}\]
\[\Rightarrow 2x+160{}^\text{o}=360{}^\text{o}\]
\[\Rightarrow 2x=200{}^\text{o}\]
\[\Rightarrow x=100{}^\text{o}\]
+ Hình 6b: Xét tứ giác MNPQ ta có:
\[x+2x+3x+4x=360{}^\text{o}\]
\[\Rightarrow 10x=360{}^\text{o}\Rightarrow x=36{}^\text{o}.\]
Bài 2. (trang 66 SGK Toán 8 Tập 1)
Gọi \[\widehat{{{A}_{1}}};\widehat{{{B}_{1}}};\widehat{{{C}_{1}}};\widehat{{{D}_{1}}}\] lần lượt là các góc ngoài tại đỉnh \[A,B,C,D.\]
a) Ta có:
$$\widehat{{{\text{A}}_{1}}}+{{75}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{\text{A}}_{1}}}={{180}^{0}}-{{75}^{0}}={{105}^{0}}$$
$$\widehat{{{\text{B}}_{1}}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{\text{B}}_{1}}}={{90}^{0}}$$
$$\widehat{{{\text{C}}_{1}}}+{{120}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{\text{C}}_{1}}}={{60}^{0}}$$
$${{\widehat{\text{D}}}_{1}}+\widehat{\text{D}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{\text{D}}_{1}}}={{180}^{0}}-\widehat{\text{D}}$$
Theo định lý tổng các góc trong một tứ giác bằng 360º ta có:
\[{{75}^{0}}+{{90}^{0}}+{{120}^{0}}+\widehat{\text{D}}={{360}^{0}}\Rightarrow \widehat{\text{D}}={{360}^{0}}-{{75}^{0}}-{{90}^{0}}-{{120}^{0}}={{75}^{0}}\]
$$\Rightarrow \widehat{{{\text{D}}_{1}}}={{180}^{0}}-\widehat{\text{D}}={{105}^{0}}$$
Vậy góc ngoài tại D bằng \[{{105}^{0}}\].
b) Hình 7b:
Ta có:
\(\begin{array}{l} \widehat {{{\rm{A}}_1}} + \widehat {\rm{A}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{{\rm{A}}_1}} = {180^0} - \widehat {\rm{A}}\\ \widehat {{{\rm{B}}_1}} + \widehat {\rm{B}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{{\rm{B}}_1}} = {180^0} - \widehat {\rm{B}}\\ \widehat {{{\rm{C}}_1}} + \widehat {\rm{C}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{{\rm{C}}_1}} = {180^0} - \widehat {\rm{C}}\\ \widehat {{{\rm{D}}_1}} + \widehat {\rm{D}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{{\rm{D}}_1}} = {180^0} - \widehat {\rm{D}}\\ \Rightarrow \widehat {{{\rm{A}}_1}} + \widehat {{{\rm{B}}_1}} + \widehat {{{\rm{C}}_1}} + \widehat {{{\rm{D}}_1}} = {180^0} - \widehat {\rm{A}} + {180^0} - \widehat {\rm{B}} + {180^0} - \widehat {\rm{C}} + {180^0} - \widehat {\rm{D}} = {4.180^0} - \left( {\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{D}}} \right) \end{array}\)
Mặt khác, $$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}={{360}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{{{D}_{1}}}={{4.180}^{0}}-{{360}^{0}}={{360}^{0}}$$
c) Nhận Xét : Tổng các góc ngoài của tứ giác cũng bằng \[360{}^\text{o}\].
Bài 3. (trang 67 SGK Toán 8 Tập 1)
a) Ta có:
\[AB=AD\left( gt \right)\Rightarrow A\] thuộc đường trung trực của BD
\[CB=CD\left( gt \right)\Rightarrow C\]thuộc đường trung trực của BD
Vậy AC là đường trung trực của BD
b) Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta ADC\] có:
\[AB=AD\left( gt \right)\]
\[BC=DC\left( gt \right)\]
AC cạnh chung
\[\Rightarrow \Delta ABC=\Delta ADC\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{\text{D}}\]
Xét tứ giác $$ABCD$$ có $$\widehat{\text{A}}+\widehat{\text{B}}+\widehat{\text{C}}+\widehat{\text{D}}={{360}^{0}}$$
$$\Rightarrow \widehat{\text{B}}+\widehat{\text{D}}={{360}^{0}}-\widehat{\text{A}}-\widehat{\text{C}}={{360}^{0}}-{{100}^{0}}-{{60}^{0}}={{200}^{0}}$$
Mà $$\widehat{B}=\widehat{D}\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{D}={{200}^{0}}:2={{100}^{0}}$$
Bài 4. (trang 67 SGK Toán 8 Tập 1)
- Cách vẽ hình 9:
+ Vẽ đoạn thẳng \[AB=3cm\]
+ Quay cung tròn tâm A, bán kính 3cm, cung tròn tâm B bán kính 3,5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại C.
+ Quay cung tròn tâm C bán kính 2cm và cung tròn tâm A bán kính 1,5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại D.
+ Nối các đoạn \[BC,AC,CD,AD\] ta được hình cần vẽ.
- Cách vẽ hình 10:
+ Vẽ góc $$\widehat{\text{xNy}}={{70}^{0}}$$ . Trên tia Nx, lấy điểm M sao cho \[MN=4cm\], trên tia Ny lấy điểm P sao cho \[NP=2cm\].
+ Vẽ cung tròn tâm P bán kính 1,5cm và cung tròn tâm M bán kính 3cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại Q.
+ Nối \[PQ,MQ\] ta được hình cần vẽ.
Bài 5. (trang 67 SGK Toán 8 Tập 1)
+ Xác định các điểm A, B, C, D trong hệ trục tọa độ như trên hình vẽ.
+ Hai đường chéo của tứ giác là AC và BD.
+ Vị trí kho báu là giao điểm của AC và BD và là điểm E trên hình vẽ.
+ Nhìn trên hình vẽ thấy điểm E có tọa độ \[\left( 5;6 \right)\]
Vậy vị trí tọa độ của kho báu là \[\left( 5;6 \right)\]