BÀI 5. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC: GÓC – CẠNH – GÓC (G.C.G)
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kể của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
\(\left. \begin{array}{l} \widehat B = \widehat {B'}\\ BC = B'C'\\ \widehat C = \widehat {C'} \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'\)
2. Trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn của tam giác vuông
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề
Cách giải
Vẽ một cạnh của tam giác, rồi vẽ hai tia để xác định vị trí của đỉnh còn lại.
Dạng 2. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc
Cách giải
– Xét hai tam giác.
– Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau góc – cạnh – góc.
– Kết luận hai tam giác bằng nhau.
Dạng 3. Sử dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Cách giải
– Chọn hai tam giác có cạnh là đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau.
– Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.
– Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.
Dạng 4. Sử dụng nhiều trường hợp bằng nhau của tam giác
Cách giải
Sử dụng nhiều trường hợp bằng nhau của hai tam giác đã học: cạnh – cạnh – cạnh, cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc.
Dạng 5. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau.
cách giải
– Xét hai tam giác vuông
– Kiểm tra điều kiện bằng nhau cạnh – góc – cạnh, hoặc góc – cạnh – góc, hoặc cạnh huyền – góc nhọn.
– Kết luận hai tam giác bằng nhau.
Dạng 6. Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Cách giải
– Chọn hai tam giác vuông có cạnh là hai đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau.
– Chứng minh hai tam giác ấy bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn.
– Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 33. (SGK Toán 7 tập 1 trang 123)
Vẽ đoạn thẳng \[AC=2cm\]
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \[AC\] vẽ các tia \[Ax\] và \[Cy\] sao cho góc \[\widehat{CAx}={{90}^{0}},\widehat{ACy}={{60}^{0}}\]chúng cắt nhau tại \[B\]
Bài 34. (SGK Toán 7 tập 1 trang 123)
a) Hình 98
\[\Delta ABC=\Delta ABD\] (g.c.g)
Vì \[\widehat{CAB}=\widehat{DAB},\widehat{CBA}=\widehat{DBA},AB\]là cạnh chung.
b) Hình 99
\[\widehat{ABD}+\widehat{ABC}={{180}^{0}}\](kề bù)
\[\Rightarrow \widehat{ABD}={{180}^{0}}-\widehat{ABC}={{180}^{0}}-\widehat{ACB}=\widehat{ACE}\] (1)
– Xét hai \[\Delta ABD\]và \[\Delta ACE\], ta có:
\[\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\] (gt)
\[DB=EC\] (gt)
\[\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\] (cmt)
\[\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE\] (g.c.g)
– Xét hai \[\Delta ADC\]và \[\Delta AEB\], ta có:
\[DC=DB+BC=CE+BC=EB\left( DB=CE \right)\]
\[\widehat{ADC}=\widehat{AEB}\] (gt)
\[\widehat{ACD}=\widehat{ABE}\] (gt)
\[\Rightarrow \Delta ADC=\Delta AEB\] (g.c.g)
Bài 35. (SGK Toán 7 tập 1 trang 123)
a) Chứng minh \[OA=OB\]
Xét hai tam giác vuông \[\Delta OAH\]và \[\Delta OBH\]có:
\[\widehat{A}=\widehat{B}={{90}^{0}}\]
\[\widehat{HOA}=\widehat{HOB}\] (tính chất tia phân giác của góc);
\[OH\]cạnh chung
Do đó: \[\Delta OAH=\Delta OBH\] (c.g.c);
Suy ra: \[OA=OB\] (hai cạnh tương ứng).
b) Xét \[\Delta OAC\]và \[\Delta BOC\]có:
\[OA=OB\] (câu a)
\[\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\] (tính chất tia phân giác của góc);
\[OC\]cạnh chung;
Do đó: \[\Delta OAC=\Delta BOC\] (c.g.c);
Suy ra \[CA=CB\]và \[\widehat{OAC}=\widehat{OBC}\] (hai cạnh và hai góc tương ứng).
LUYỆN TẬP 1
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM (LUYỆN TẬP)
+ Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kể của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
+ Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (LUYỆN TẬP)
Bài 36. (SGK Toán 7 tập 1 trang 123)
Xét hai tam giác \[\Delta OAC\]và \[\Delta OBD\]có:
\[OA=OB\] (giả thiết);
\[\widehat{OAC}=\widehat{OBD}\] (giả thiết);
\[\widehat{O}\] là góc chung;
Do đó: \[\Delta OAC=\Delta OBD\] (g.c.g);
Suy ra: \[AC=BD\]
Bài 37. (SGK Toán 7 tập 1 trang 123)
a) Hình 101:
\[\Delta DEF:\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{E}={{180}^{0}}-{{80}^{0}}-{{60}^{0}}={{40}^{0}}\]
Nên \[\Delta ABC=\Delta FDE\] (g.c.g) vì:
\[\widehat{C}=\widehat{E}\left( ={{40}^{0}} \right);BC=DE\left( =3cm \right);\widehat{B}=\widehat{D}\left( ={{80}^{0}} \right)\]
b) Hình 102:
\[\Delta GHI\]không bằng \[\Delta MLK\]mặc dù có một cặp cạnh bằng nhau
\[GI=ML\]và hai cặp góc bằng nhau
\[\widehat{G}=\widehat{M}\left( ={{30}^{0}} \right),\widehat{I}=\widehat{K}\left( ={{80}^{0}} \right)\]. Nhưng hai cặp góc bằng nhau không kề với cặp cạnh bằng nhau.
c) Hình 102:
\[\Delta QNR:\widehat{N}={{180}^{0}}-\widehat{Q}-\widehat{R}={{180}^{0}}-{{60}^{0}}-{{40}^{0}}={{80}^{0}}\]
\[\Delta NPR:\widehat{R}={{180}^{0}}-\widehat{N}-\widehat{P}={{180}^{0}}-{{40}^{0}}-{{60}^{0}}={{80}^{0}}\]
\[\Delta NQR=\Delta RPN\] (g.c.g) vì:
\[\widehat{N}=\widehat{R}={{80}^{0}}\], \[\widehat{RNP}=\widehat{NRQ}={{40}^{0}},NR\] là cạnh chung.
Bài 38. (SGK Toán 7 tập 1 trang 124)
Nối \[A\] với \[D\]. Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta DAC\]có:
\[AB//CD\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{ADC}\] (hai góc so le trong);
\[AC//BD\Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{ADB}\] (hai góc so le trong);
\[AD\] là cạnh chung; r
Do đó \[\Delta ADB=\Delta DAC\] (g.c.g);
\[\Rightarrow AB=CD;DB=AC\]
LUYỆN TẬP 2
Bài 39. (SGK Toán 7 tập 1 trang 124)
Hình 105: \[\Delta AHB=\Delta AHC\] (c.g.c) vì:
\[HB=HC;AH\]là cạnh chung;\[\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left( ={{90}^{0}} \right)\]
Hình 106: \[\Delta DKE=\Delta DKF\] (g.c.g) vì:\[\widehat{EDK}=\widehat{FDK}\], \[DK\] là cạnh chung; \[\widehat{DKE}=\widehat{DKF}={{90}^{0}}\]
Hình 107: \[\Delta ABD=\Delta ACD\] (cạnh huyền – góc nhọn) vì: \[\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\], \[AD\] là cạnh chung.
Hình 108\[\Delta ABD=\Delta ACD\] (cạnh huyền – góc nhọn) vì: \[\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\], \[AD\] là cạnh chung.
\[\Delta ABH=\Delta ACE\]vì: \[AB=AC\](vì \[\Delta ABD=\Delta ACD\]); \[\widehat{ABH}=\widehat{ACE}={{90}^{0}}\]; \[\widehat{A}\] là góc chung;
\[\Delta DBE=\Delta DCH\] (g.c.g) vì:\[BD=CD\]( vì \[\Delta ABD=\Delta ACD\]) ; \[\widehat{DBE}=\widehat{DCH}\left( ={{90}^{0}} \right);\widehat{BDE}=\widehat{CDH}\](hai góc đối đỉnh).
Bài 40. (SGK Toán 7 tập 1 trang 124)
Xét hai tam giác vuông \[\Delta BEM\]và \[\Delta CFM\]có:
\[MB=MC\] (\[M\] là trung điểm của \[BC\]);
\[\widehat{BME}=\widehat{CMF}\] (đối đỉnh);
Do đó: \[\Delta BEM=\Delta CFM\] (cạnh huyền – góc nhọn);
Suy ra: \[BE=CF\]
Bài 41. (SGK Toán 7 tập 1 trang 124)
Xét tam giác vuông \[\Delta BID\]và \[\Delta BIE\]có:
\[\widehat{DBI}=\widehat{EBI}\] (\[BI\] là tia phân giác của góc \[B\]);
\[BI\]là cạnh chung;
Do đó: \[\Delta BID=\Delta BIE\] (cạnh huyền – góc nhọn)
\[\Rightarrow ID=IE\]
Chứng minh tương tự:
\[\Delta CIE=\Delta CIF\] (cạnh huyền – góc nhọn)
\[\Rightarrow IE=IF\]Vậy \[ID=IE=IF\]
Bài 42. (SGK Toán 7 tập 1 trang 124)
Không thể kết luận \[\Delta AHC=\Delta BAC\]như đề bài được vì cạnh \[AC\] không phải là cạnh tương ứng của hai tam giác trên.
Cạnh tương ứng của \[AC\] trong \[\Delta AHC\]là cạnh \[BC\] trong \[\Delta BAC\]
LUYỆN TẬP VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
Bài 43. (SGK Toán 7 tập 1 trang 125)
a) Xét \[\Delta OAD\]và \[\Delta OCD\]có:
\[OA=OC\] (gt);
\[\widehat{O}\] là góc chung;
\[OB=OD\] (gt);
Do đó\[\Delta OAD=\Delta OCD\] (c.g.c);
\[\Rightarrow AD=BC\] (hai cạnh tương ứng).
b) Vì: \[\Delta OAD=\Delta OCD\] (câu a) \[\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{B},\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\]
\[\Rightarrow \widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\] (hai góc cùng bù hai góc bằng nhau);
Ta có: \[AB=OB-OA\]
\[CD=OD-OC\] Mà \[OA=OB,OC=OD\]nên \[AB=CD\]
Do đó: \[\Delta EAB=\Delta ECD\] (g.c.g).
c) Vì \[\Delta EAB=\Delta ECD\Rightarrow EA=EC\]
xét \[\Delta OAE\]và \[\Delta OCE\]có:
\[OA=OC\] (gt);
\[EA=EC\]
\[OE\] là cạnh chung;
Nên \[\Delta OAE=\Delta OCE\] (c.c.c)
\[\Rightarrow \widehat{AOE}=\widehat{COE}\]\[\Rightarrow OE\] là tia phân giác của \[\widehat{xOy}\]
Bài 44. (SGK Toán 7 tập 1 trang 125)
a) \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat{A}\] \[\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\]
Mà \[\widehat{B}=\widehat{C}\]nên \[\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\]
Xét \[\Delta ABD\]và \[\Delta ACD\]có:
\[\widehat{B}=\widehat{C}\] (gt);
\[\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\]
\[AD\] là cạnh chung;
Nên \[\Delta ABD=\Delta ACD\] (g.c.g).
b) \[\Delta ABD=\Delta ACD\] (câu a) \[\Rightarrow AB=AC\]
Bài 45. (SGK Toán 7 tập 1 trang 125)
a) Xét \[\Delta AHB\]và \[\Delta CKD\]có:
\[AH=CK\]
\[HB=KD\]
\[\widehat{H}=\widehat{K}\left( ={{90}^{0}} \right)\]
Nên \[\Delta AHB=\Delta CKD\] (c.g.c) \[\Rightarrow AB=CD\]
Xét \[\Delta CEB\] và \[\Delta AFD\]có:
\[CE=AF\]
\[BE=DF\]
\[\widehat{E}=\widehat{F}={{90}^{0}}\]
Nên \[\Delta CEB=\Delta AFD\] (c.g.c) \[\Rightarrow BC=AD\]
b) Xét \[\Delta ABD\]và \[\Delta CDB\]có:
\[AB=CD\] (câu a);
\[BC=AD\] (câu a)
\[BD\] là cạnh chung;
Nên \[\Delta ABD=\Delta CDB\] (c.c.c)
Suy ra \[\widehat{ABD}=\widehat{CDB}\]\[\Rightarrow AB//CD\] (hai góc so le trong bằng nhau).