BÀI 7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa đường trung trực
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.
Trên hình vẽ, \[d\]là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].
Ta cũng nói: \[A\]đối xứng \[B\]qua \[d\]
2. Định lí 1
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
3. Định lý 2
Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
\[MA=MB\Leftrightarrow M\]thuộc đường trung trực của \[AB\].
4. Nhận xét
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Vận dụng tính chất của đường trung trục để giải quyết bài toán
Cách giải:
Sử dụng Định lí 1.
Dạng 2. Chứng minh một điểm thuộc đường trung trục. Chứng minh một đường thẳng là đường trung trục của một đoạn thẳng
Cách giải:
+ Để chứng minh điểm M thuộc trung trực của đoạn thẳng AB, ta dùng Định lí 2 hoặc Định nghĩa đường trung trực.
+ Để chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B, hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.
Dạng 3. Xác định vị trí của điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài
Cách giải:
Sử dụng Định lí 2 để xác định một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng
Dạng 4. Sử dụng tính chất đường trung trực vào bài toán về cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất)
Cách giải:
+ Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài một đoạn thẳng bằng độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.
+ Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 44: (SGK Toán 7 tập 2 trang 76)
Điểm\[M\]thuộc đường trung trực của \[AB\]
\[\Rightarrow MA=MB\] (định lí thuận)
Vì \[MA=5\]cm nên \[MB=5\]cm
Bài 45: (SGK Toán 7 tập 2 trang 76)
Ta có : Hai cung tròn tâm \[M\] và \[N\]có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại\[P,Q\].
Nên \[MP=NP\]và \[MQ=NQ\]
\[\Rightarrow P,Q\] cách đều hai mút \[M,N\]của đoạn thẳng \[MN\]
nên theo định lí 2: \[P,Q\] thuộc đường trung trực của \[MN\]
hay đường thẳng qua \[P,Q\]là đường trung trực của \[MN\].
Vậy \[PQ\]là đường trung trực của \[MN\]
Bài 46: (SGK Toán 7 tập 2 trang 76)
Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\Rightarrow AB=AC\]
⇒ \[A\]thuộc đường trung trực của \[BC\].
Vì \[\Delta DBC\]cân tại \[D\] \[\Rightarrow DB=DC\]
\[\Rightarrow D\] thuộc đường trung trực của \[BC\]
Vì \[\Delta EBC\]cân tại \[E\Rightarrow EB=EC\]
\[\Rightarrow E\]thuộc đường trung trực của \[BC\]
Do đó \[A,D,E\]cùng thuộc đường trung trực của \[BC\]
Vậy \[A,D,E\]thẳng hàng
LUYỆN TẬP
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM (LUYỆN TẬP)
+ Định nghĩa đường trung trực
+ Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
+ Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
\[MA=MB\Leftrightarrow M\]thuộc đường trung trực của \[AB\].
II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (LUYỆN TẬP)
Bài 47: (SGK Toán 7 tập 2 trang 76)
Vì \[M\] thuộc đường trung trực của \[AB\]
\[\Rightarrow MA=MB\] (định lý thuận về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực)
\[N\] thuộc đường trung trực của \[AB\]
\[\Rightarrow NA=NB\] (định lý thuận về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực)
Do đó \[\Delta AMN\]và \[\Delta BMN\]có:
\[AM=BM\] (cmt)
\[MN\] chung
\[AN=BN\] (cmt)
\[\Rightarrow \Delta AMN=\Delta BMN\] (c.c.c)
Bài 48: (SGK Toán 7 tập 2 trang 77)
Vì \[L\] và \[M\] đối xứng qua đường thẳng \[xy\] nên \[xy\] là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với \[ML\]
Nên đường thẳng \[xy\] là trung trực của \[ML\].
\[I\in xy\Rightarrow IM=IL\](theo định lý 1).
Nên \[IM+IN=IL+IN\]
TH1: Nếu \[I,L,N\]thẳng hàng
\[\Rightarrow IL+IN=LN\] (vì \[N\] và \[L\]nằm khác phía so với đường thẳng \[xy\] và I nằm trên \[xy\]).
\[\Rightarrow IM+IN=LN\]
TH2: Nếu \[I\]không là giao điểm của \[LN\]và \[xy\]thì ba điểm \[I,L,N\]không thẳng hàng
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào \[\Delta INL\]ta được: \[IL+IN>LN\]mà \[IM=IL\](cmt)
\[\Rightarrow IL+IN>LN\] (bất đẳng thức tam giác)
\[\Rightarrow IM+IN>LN\]
Vậy với mọi vị trí của \[I\]trên \[xy\] thì \[IM+IN\ge LN\]
Bài 49: (SGK Toán 7 tập 2 trang 77)
Gọi đường thẳng \[xy\] là bờ sông cần xây trạm bơm.
⇒ Bài toán đưa về: Hai điểm \[A,B\] cố định cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \[xy\]. Tìm vị trí điểm \[C\]nằm trên đường \[xy\] sao cho \[CA+CB\]nhỏ nhất.
Gọi \[{{A}^{'}}\] là điểm đối xứng của \[A\] qua đường thẳng \[xy\].
Theo như chứng minh ở bài \[48\] ta có: \[CA+CB=C{{A}^{'}}+CB\ge {{A}^{'}}B\](\[{{A}^{'}}B\] cố định).
Dấu \[''=''\] xảy ra khi\[C{{A}^{'}}+CB={{A}^{'}}B\], tức là \[{{A}^{'}},B,C\] thẳng hàng hay \[C\] là giao điểm của \[{{A}^{'}}B\] và \[xy\].
Vậy điểm đặt trạm bơm là giao điểm của đường thẳng xy với đường thẳng\[{{A}^{'}}B\], trong đó \[{{A}^{'}}\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[xy\].
Bài 50: (SGK Toán 7 tập 2 trang 77)
Gọi \[A\]và \[B\] là hai điểm dân cư
\[C\] là điểm đặt trạm y tế
\[m\]là đường quốc lộ
Vì \[C\]cách đều \[AB\] nên \[C\] thuộc đường trung trực của \[AB\]
mà \[C\in d\]nên \[C\] là giao điểm của \[d\] và đường trung trực \[\left( d \right)\] của \[AB\].
Gọi 2 điểm dân cư là hai điểm \[A,B\]. Để xây dựng trạm y tế ở bên đường cách đều hai điểm dân cư thì trạm y tế đó phải là giao điểm giữa con đường và đường trung trực của \[AB\].
Bài 51: (SGK Toán 7 tập 2 trang 77)
\[a)\]Ta có: \[PA=PB\] (\[A,B\] nằm trên cung tròn tâm \[P\]) nên \[P\] nằm trên đường trung trực của \[AB\]
\[CA=CB\] (\[C\]nằm trên 2 cung tròn tâm \[A,B\] bán kính bằng nhau) nên \[C\]nằm trên đường trung trực của \[AB\].
Vậy \[CP\]là đường trung trực của \[AB\], suy ra \[PC\bot d\].
\[b)\] Một cách vẽ khác:
- Lấy hai điểm \[A,B\]bất kì trên \[d\].
- Vẽ cung tròn tâm \[A\] bán kính \[AP\], cung tròn tâm \[B\]bán kính \[BP\]. Hai cung tròn cắt nhau tại \[C\] \[(C\ne P)\].
- Vẽ đường thẳng \[PC\]. Khi đó \[PC\] là đường đi qua \[P\] và vuông góc với \[d\].
Chứng minh:
Theo định lí 2:
\[PA=CA\] ( \[P,C\] cùng thuộc cung tròn tâm \[A\] bán kính\[PA\])
\[\Rightarrow A\]thuộc đường trung trực của \[PC\].
\[PB=CB\] (\[P,C\] cùng thuộc cung tròn tâm \[B\] bán kính \[PB\])
\[\Rightarrow B\]thuộc đường trung trực của\[PC\].
\[\Rightarrow AB\]là đường trung trực của \[PC\]
\[\Rightarrow PC\bot AB\]hay\[PC\bot d\].
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 7 bài tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.