BÀI 4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC.
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đường trung tuyến của tam giác
+ Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.
+ Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Định lý 1: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác đó.
Định lý 2: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \[\frac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
\[\frac{GA}{DA}=\frac{GB}{EB}=\frac{GC}{FC}=\frac{2}{3}\]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng.
Cách giải: Chú ý đến vị trí trọng tâm của tam giác. Với \[G\] là trọng tâm của \[\Delta ABC\]và \[DA\], \[EB\], \[FC\] là các đường trung tuyến ta có: \[GA=\frac{2}{3}DA;GB=\frac{2}{3}EB;GC=\frac{2}{3}FC\].
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Cách giải: Để chứng minh một điểm là trọng tâm của một tam giác, ta có thể dùng một trong hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.
Cách 2: Chứng minh điểm đó thuộc một đường trung tuyến của tam giác và thỏa mãn một trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâm của tam giác
Dạng 3: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông)
Cách giải: Trong tam giác cân hoặc tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 23. (SGK Toán 7 tập 2 trang 66)
Hướng dẫn:
Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \[\frac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giải:
Khẳng định đúng: \[\frac{GH}{DH}=\frac{1}{3}\]vì \[\frac{GD}{DH}=\frac{2}{3}\] ( vị trí của trọng tâm)
Bài 24. (SGK Toán 7 tập 2 trang 66)
Hướng dẫn:
G là trọng tâm của tam giác MNP
Giải:
a) \[MG=\frac{2}{3}MR;GR=\frac{1}{3}MR;GR=\frac{1}{2}MG\]
b) \[NS=\frac{3}{2}NG;NS=3GS;NG=2GS\]
Bài 25. (SGK Toán 7 tập 2 trang 67)
Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\].
Áp dụng định lí pi-ta-go vào tam giác vuông \[ABC\], ta có: \[B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}={{5}^{2}}\]\[\Rightarrow BC=5cm\]\[\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}cm\]
Theo vị trí trọng tâm, ta có: \[AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{5}{2}=\frac{5}{3}cm\].
Bài 26. (SGK Toán 7 tập 2 trang 67)
Xét \[\Delta ABC\]cân tại\[A\]có các đường trung tuyến \[BD,CE\].
Do \[\Delta ABC\]cân tại\[A\]có \[AB=AC\]nên \[EA=EB=AD=DC\]
Xét \[\Delta ABD\]và \[\Delta ACE\]có:
\[AE=AD\];
\[AB=AC\]
\[\widehat{A}\] là góc chung.
\[\Delta ABD=\Delta ACE\left( c.g.c \right)\Rightarrow BD=CE\]
Bài 27. (SGK Toán 7 tập 2 trang 67)
Xét \[\Delta ABC\]có trọng tâm \[G\] và các đường trung tuyến \[BD,CE\]bằng nhau
Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có: \[GB=\frac{2}{3}BD;GC=\frac{2}{3}CE\]
Mà \[BD=CE\] nên \[GB=GC\]\[\Rightarrow GD=GE\]
Xét \[\Delta BGE\]và \[\Delta CGD\]có:
\[GB=GC\]; \[GD=GE\]
\[\widehat{BGE}=\widehat{CGD}\] (hai góc đối đỉnh)
Nên \[\Delta BGE\]\[=\]\[\Delta CGD\] (c.g.c) nên \[BE=CD\]
\[\Rightarrow \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC\] \[\Rightarrow AB=AC\] nên \[\Delta ABC\]cân ở \[A\].
Bài 28. (SGK Toán 7 tập 2 trang 67)
a) \[\Delta DEI\]và \[\Delta DFI\]có:
\[DE=DF\] (hai cạnh bên của tam giác cân \[DEF\]).
\[IE=IF\] (\[DI\] là đường trung tuyến của tam giác \[DEF\]).
\[DI\] là cạnh chung.
Nên \[\Delta DEI\]\[=\]\[\Delta DFI\] (c.c.c).
b) \[\Delta DEI\]\[=\]\[\Delta DFI\]suy ra \[\widehat{DIE}=\widehat{DIF}\]
Lại có \[\widehat{DIE}+\widehat{DIF}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{DIE}=\widehat{DIF}={{90}^{0}}\]
c) \[DI\] là đường trung tuyến của \[\Delta DEF\]nên \[IE=\frac{1}{2}EF=\frac{10}{2}=5cm\]
\[\widehat{DIE}={{90}^{0}}\]nên \[\Delta DIE\] vuông tại \[I\].
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \[\Delta DIE\], ta có:
\[D{{I}^{2}}=D{{E}^{2}}-E{{I}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}=144={{12}^{2}}\]\[\Rightarrow DI=12cm\].
Bài 29. (SGK Toán 7 tập 2 trang 67)
\[\Delta ABC\]đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh bằng nhau (theo định lí ở bài 26, SGK tr. 67) \[\Rightarrow AM=BN=CP\] (1)
Theo tính chất ba đường trung tuyến, ta có:
\[GA=\frac{2}{3}AM;GB=\frac{2}{3}BN;GC=\frac{2}{3}CP\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[GA=GB=GC\].
Bài 30. (SGK Toán 7 tập 2 trang 67)
a) Gọi \[AD,BE,CF\]là các đường trung tuyến của \[\Delta ABC\].
Ta có:
\[BG=\frac{2}{3}BE\] ; \[AG=\frac{2}{3}AD\]
Lại có \[GG'=AG\] (\[G\] là trung điểm của \[AG'\]) nên \[GG'=\frac{2}{3}AD\]
\[G\] là trọng tâm của \[\Delta ABC\] \[\Rightarrow AG=2GD\Rightarrow GG'=2GD\Rightarrow GD=DG'\]
Xét \[\Delta BDG'\]và \[\Delta CDG\]có:
\[GD=DG'\]
\[\widehat{BDG'}=\widehat{CDG}\] (hai góc đối đỉnh)
\[DB=DC\] (\[AD\] là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\])
Nên \[\Delta BDG'\] \[=\Delta CDG\] (c.g.c)
Suy ra \[BG'=CG\] (hai cạnh tương ứng của hai tam giác, bằng nhau)
Lại có \[CG=\frac{2}{3}CF\Rightarrow BG'=\frac{2}{3}CF\]
Vậy các cạnh của \[\Delta BGG'\] bằng \[\frac{2}{3}\]đường trung tuyến của \[\Delta ABC\].
b)
\[DG=DG'\Rightarrow BD\]là đường trung tuyến của \[\Delta BGG'\]
Ta có \[BD=\frac{1}{2}BC\] (\[AD\] là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\])
Gọi \[GM,G'N\]là các đường trung tuyến của \[\Delta BGG'\].
Xét \[\Delta ABG'\] ta có \[BM=G'M,GA=GG'\]
Nên\[MG\] là đường trung bình của \[\Delta ABG'\]\[\Rightarrow MG=\frac{1}{2}AB\]
Tương tự có \[G'N\] là đường trung tuyến của \[\Delta BGG'\] suy ra \[NG=\frac{1}{2}BG\]
Lại có \[GE=\frac{1}{2}BG\] (tính chất trọng tâm)\[\Rightarrow GE=NG=\frac{1}{2}BG\]
Xét \[\Delta NGG'\]và \[\Delta EAG\]có:
\[GE=NG\]
\[GA=GG'\]
\[\widehat{NGG'}=\widehat{EGA}\] (hai góc đối đỉnh)
Nên \[\Delta NGG'=\]\[\Delta EAG\]. Suy ra \[GN=AE\] (hai cạnh tương ứng)
Mà \[AE=\frac{1}{2}AC\] (\[BE\] là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\])
\[\Rightarrow GN=AE=\frac{1}{2}AC\]
Vậy các đường trung tuyến của \[\Delta BGG'\]bằng \[\frac{1}{2}\]cạnh của \[\Delta ABC\].