BÀI 6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định lý 1
Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó
\[\Delta ABC\]có:
\(\left. \begin{array}{l} AB = AC\\ \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} \end{array} \right\} \Rightarrow BD = DC\)
2. Định lý 2
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó
\[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}},\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}},\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\Rightarrow ID=IE=IF\]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Cách giải: Sử dụng các tính chất
+ Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong một tam giác nằm trên đường phân giác của góc thứ ba
+ Giao điểm các đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác
Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng
Cách giải: Vận dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác
Dạng 3. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt
Cách giải: Sử dụng tính chất trong tam giác cân, đường phân giác cả góc ở đỉnh cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường cao.
Dạng 4. Chứng minh mối quan hệ giữa các góc
Cách giải:
+ Vận dụng tính chất tia phân giác của một góc để tìm mối liên hệ giữa các góc
+ Dùng định lý tổng ba góc trng một tam giác bằng \[{{180}^{0}}\]
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 36: (SGK Toán 7 tập 2 trang 72)
Gọi \[IA,IB,IC\]là khoảng cách \[I\]đến các cạnh\[DE,EF,DF\]. Theo đề bài ta có \[IA=IB=IC\]
Hai tam giác vuông \[IDA\]và \[IDC\]có:
\[ID\]là cạnh huyền chung
\[IA=IC\](gt)
Do đó \[\Delta IDA=\Delta IDC\]\[\Rightarrow \widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\]
Vậy \[DI\]là tia phân giác của góc \[D\] (1)
Chứng minh tương tự ta có: \[\Delta IEA=\Delta IEB\Rightarrow \widehat{{{E}_{1}}}=\widehat{{{E}_{2}}}\]
Vậy\[EI\] là tia phân giác của góc\[E\] (2)
\[\Delta IBF=\Delta ICF\Rightarrow \widehat{{{F}_{1}}}=\widehat{{{F}_{2}}}\]
Vậy \[FI\]là tia phân giác của góc\[F\] (3)
Từ (1), (2), (3) ta có \[I\]là điểm chung của 3 đường phân giác tam giác \[DEF\]
Bài 37: (SGK Toán 7 tập 2 trang 72)
Cách dựng:
Điểm \[K\]cách đều ba cạnh của tam giác \[MNP\]
+ Dựng tia \[Mx\] là phân giác của góc\[M\]
+ Dựng tia \[Ny\] là phân giác của góc\[N\]
\[Mx\] và \[Ny\]cắt nhau tại \[K\] đó là điểm \[K\]cần dựng
Chứng minh:
Gọi \[KA,KB,KC\]là khoảng cách từ \[K\]đến \[MN,NP,MP\]
Ta có: \[K\in Mx\]là phân giác của \[\widehat{M}\]\[\Rightarrow KA=KC\] (1)
Theo tính chất đường phân giác của một góc tương tự ta có:
\[KA=KB\] (2)
Từ (1) và (2)\[\Rightarrow KA=KB=KC\]
Vậy ta dựng dược điểm \[K\]thỏa mãn yêu cầu đê bài
Bài 38: (SGK Toán 7 tập 2 trang 73)
\[a)\]Tính \[\widehat{KOL}\]?
Từ \[\Delta IKL\]ta có: \[\widehat{K}+\widehat{L}={{180}^{0}}-\widehat{I}={{180}^{0}}-{{62}^{0}}={{118}^{0}}\]
Do \[\widehat{{{K}_{1}}}=\widehat{{{K}_{2}}}\](gt) và \[\widehat{{{L}_{1}}}=\widehat{{{L}_{2}}}\](gt)
\[\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}+\widehat{{{L}_{1}}}=\frac{\widehat{K}+\widehat{L}}{2}=\frac{{{118}^{0}}}{2}={{59}^{0}}\]
Từ \[\Delta OKL\]ta có: \[\widehat{KOL}={{180}^{0}}-(\widehat{{{K}_{1}}}+\widehat{{{L}_{1}}})={{180}^{0}}-{{59}^{0}}={{121}^{0}}\]
Vậy \[\widehat{KOL}={{121}^{0}}\]
\[b)\]Tính \[\widehat{KIO}\]?
Ta có phân giác của \[\widehat{K}\]và \[\widehat{L}\]cắt nhau tại\[O\]trong\[\Delta IKL\](gt)
Do đó \[IO\]cũng là tia phân giác của \[\widehat{I}\]
\[\Rightarrow \widehat{{{I}_{1}}}=\widehat{{{I}_{2}}}=\frac{{{62}^{0}}}{2}={{31}^{0}}\]
Vậy \[\widehat{KIO}={{31}^{0}}\]
\[c)\]Theo tính chất ba đường phân giác của tam giác thì điểm \[O\]cách đều ba cạnh của \[\Delta IKL\]
LUYỆN TẬP
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM (LUYỆN TẬP)
+ Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó
+ Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó
II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (LUYỆN TẬP)
Bài 39: (SGK Toán 7 tập 2 trang 73)
\[a)\]Chứng minh \[\Delta ABD=\Delta ACD\]
\[\Delta ABD\]và \[\Delta ACD\]có:
\[AB=AC\](gt)
\[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\](gt)
\[AD\]cạnh chung
Vậy \[\Delta ABD=\Delta ACD\](c.g.c)
\[b)\]So sánh \[\widehat{DBC}\]và \[\widehat{DCB}\]
Do điểm \[D\]nằm trong \[\Delta ABC\](gt) nên \[BD\]và \[CD\]nằm trong \[\widehat{B}\] và \[\widehat{C}\]ta có:
\[\widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{B}\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{B}-\widehat{{{B}_{2}}}\] (1)
\[\widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{{{C}_{2}}}=\widehat{C}\Rightarrow \widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{C}-\widehat{{{C}_{2}}}\] (2)
Mà \[\widehat{B}=\widehat{C}\] (vì \[\Delta ABC\]cân tại \[A\])
\[\widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\](vì \[\Delta ABD=\Delta ACD\])
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \widehat{B}-\widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{C}-\widehat{{{C}_{2}}}\]
Vậy \[\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{C{}_{1}}\]hay\[\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\]
Bài 40: (SGK Toán 7 tập 2 trang 73)
Gọi \[AM\]là tia phân giác của góc\[A\]\[(M\in BC)\]
Vì điểm \[I\]cách đều ba cạnh của tam giác\[ABC\] nên \[I\]là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác\[ABC\]
Do đó \[I\in AM\] (1)
Ta biết tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy
\[\Delta ABC\]cân tại \[A\]\[\Rightarrow AM\]vừa là phân giác vừa là trung tuyến
Vì \[G\]là trọng tâm \[\Rightarrow G\in AM\](2)
Từ (1) và (2) ta có \[I\]và\[G\]đều thuộc \[AM\]
Vậy \[A,G,I\]thẳng hang (đpcm)
Bài 41: (SGK Toán 7 tập 2 trang 73)
Gọi \[G\] là trọng tâm \[\Delta ABC\] đều
\[AM,BN,CP\]là các đường trung tuyến của \[\Delta ABC\]
Theo tính chất trọng tâm tam giác :
\[\Rightarrow GA=\frac{2}{3}AM,GB=\frac{2}{3}BN,GC=\frac{2}{3}CP\]
Vì \[\Delta ABC\]đều nên ba trung tuyến \[AM=BN=CP\](áp dụng chứng minh bài 29)
\[\Rightarrow GA=GB=GC\]
Và \[M-GA=BN-GB=CP-GC\]hay \[GM=GN=GP\]
Xét \[\Delta ANG\] và \[\Delta CNG\]
\[GN\] chung
\[GA=GC\] (cmt)
\[NA=NC\] (\[N\]là trung điểm \[AC\])
\[\Rightarrow \Delta ANG=\Delta CNG\] (c.c.c)
\[\Rightarrow \widehat{ANG}=\widehat{CNG}\]
Mà \[\widehat{ANG}+\widehat{CNG}={{180}^{0}}\] (tổng hai góc kề bù)
\[\Rightarrow \widehat{ANG}=\widehat{CNG}={{90}^{0}}\]
\[\Rightarrow GN\bot AC\]tức là \[GN\] là khoảng cách từ \[G\]đến \[AC\].
Chứng minh tương tự \[GM,GP\]là khoảng cách từ \[G\] đến\[BC,AB\].
Mà \[GM=GN=GP\](chứng minh trên)
Vậy \[G\]cách đều ba cạnh của \[\Delta ABC\]
Bài 42. (SGK Toán 7 tập 2 trang 73)
Giả sử \[AD\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của \[\Delta ABC\]
Ta cần chứng minh \[\Delta ABC\]cân tại \[A\].
Kéo dài \[AD\]một đoạn\[DA'\] sao cho \[DA'=AD\]
Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta A'DC\] có
\[DA'=AD\](cách vẽ)
\[BD=CD\] (do \[D\] là trung điểm \[BC\])
\[\widehat{BDA}=\widehat{CDA'}\](đối đỉnh)
\[\Rightarrow \Delta ADB=\Delta A'DC\](c.g.c)
\[\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{CA'D}\] (hai góc tương ứng), \[AB=A'C\](hai cạnh tương ứng) (1)
Mà \[\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\]( theo giả thiết \[AD\]là phân giác \[\widehat{BAC}\])
\[\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{CA'D}\] (cùng \[=\]\[\widehat{BAD}\])
\[\Rightarrow \Delta ACA'\]cân tại \[C\]\[\Rightarrow AC=A'C\] (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow AB=AC\]
Vậy \[\Delta ABC\]cân tại \[A\]
Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Bài 43. (SGK Toán 7 tập 2 trang 73)
Gọị
+ Hai bờ sông là \[a\]và \[b\]
+ Hai con đường là \[{{d}_{1}}\]và \[{{d}_{2}}\]
+ \[B\]và \[C\]là giao điểm của \[{{d}_{1}},{{d}_{2}}\]và \[a\]
+ \[D\]và \[E\] là giao điểm của \[{{d}_{1}},{{d}_{2}}\]và\[b\]
Bên bờ \[a\]ta tìm được điểm \[I\]cách đều \[a\], \[{{d}_{1}}\]và \[{{d}_{2}}\], đó chính là giao điểm hai phân giác của \[\widehat{B}\]và \[\widehat{C}\]trong \[\Delta ABC\]
Bên bờ \[b\]ta tìm được điểm \[J\] cách đều \[b\], \[{{d}_{1}}\]và \[{{d}_{2}}\], đó chính là giao điểm hai phân giác ngoài tại \[D\]và \[E\]của \[\Delta ADE\]
Vậy ta tìm được hai địa điểm\[I\]và \[J\] ở hai bên bờ sông có khoảng cách từ đó đến mỗi bờ sông và hai con đường bằng nhau.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 7 bài trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc cạnh góc do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ