BÀI 9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đường cao của tam giác
Đường cao của tam giác là đoạn vuông góc kẻ tà một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.
2. Tính chất ba đường cao của tam giác
Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Trong hình vẽ AD, BE, CF là các đường cao, H là trực tâm của tam giác ABC.
3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân
- Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
- Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực,đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
- Trong một tam giác vuông, trực tâm của tam giác chính là đỉnh góc vuông của tam giác đó.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
Cách giải: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta cần tìm giao điểm hai đường cao của tam giác đó
Dạng 2. Sử dụng tính chất tực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Cách giải: Nếu \[H\] là giao điểm hai đường cao kẻ từ \[B\] và \[C\]của tam giác \[ABC\] thì \[AH\bot BC\]
Dạng 3. Đường cao đối với tam giác cân
Cách giải: Sử dụng tính chất: Trong một tam giác cân đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
Dạng 4. Sử dụng tính chất trực tâm để chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Cách giải: Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của một tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 58: (SGK Toán 7 tập 2 trang 83)
Xét \[\Delta ABC\]vuông tại \[A\]
\[AB\bot AC\Rightarrow AB\]là đường cao ứng với cạnh \[AC\]và \[AC\] là đường cao ứng với cạnh \[AB\]
hay \[AB,AC\]là hai đường cao của\[\Delta ABC\].
Mà \[AB\]cắt \[AC\] tại \[A\]
⇒ \[A\]là trực tâm của tam giác vuông \[ABC\].
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét \[\Delta ABC\] tù có góc\[A\]tù, các đường cao \[CE,BF\](\[E\in AB,F\in AC\]), trực tâm \[H\].
Giả sử \[E\]nằm giữa \[A\] và \[B\], khi đó
\[\widehat{CAE}=\widehat{CAB}\] là góc tù
Trong \[\Delta ACE\]có:
\[\widehat{CAE}+\widehat{ACE}+\widehat{CEA}>{{90}^{0}}+\widehat{ACE}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}+\widehat{ACE}>{{180}^{0}}\]
Vậy \[E\] nằm ngoài \[A\] và \[B\]
⇒ tia \[CE\]nằm ngoài tia \[CA\] và tia \[CB\] \[\Rightarrow \] tia \[CE\] nằm bên ngoài \[\Delta ABC\].
+ Tương tự ta có tia \[BF\] nằm bên ngoài \[\Delta ABC\].
+ Trực tâm \[H\]là giao của \[BF\]và CE ⇒ \[H\] nằm bên ngoài \[\Delta ABC\].
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 59: (SGK Toán 7 tập 2 trang 83)
\[a)\]Trong \[\Delta MNL\]có:
\[LP\bot MN\]nên \[LP\]là đường cao của \[\Delta MNL\]
\[MQ\bot NL\]nên \[MQ\] là đường cao của \[\Delta MNL\].
Mà \[LP,MQ\]cắt nhau tại điểm \[S\]
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, \[S\] là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng \[SN\]là đường cao của \[\Delta MNL\].
hay\[SN\bot ML\].
\[b)\] Ta có: trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :
\[\Delta NMQ\] vuông tại \[Q\] có:
\[\widehat{LNP}+\widehat{QMN}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{LNP}={{90}^{0}}-\widehat{QMN}\]
\[\Delta MPS\]vuông tại\[P\]có:
\[\widehat{QMN}+\widehat{MSP}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{MSP}={{90}^{0}}-\widehat{QMP}\]
\[\Rightarrow \widehat{LNP}=\widehat{MSP}\] Mà \[\widehat{LNP}={{50}^{0}}\](gt)
\[\Rightarrow \widehat{MSP}={{50}^{0}}\]
\[\widehat{MSP}+\widehat{PSQ}={{180}^{0}}\](hai góc kề bù)
\[\Rightarrow \widehat{PSQ}={{180}^{0}}-\widehat{MSP}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}={{130}^{0}}\]
Bài 60: (SGK Toán 7 tập 2 trang 83)
\[I\bot d\]tại \[J\], và \[M,J\in I\Rightarrow MJ\bot IK\Rightarrow MJ\]là đường cao của \[\Delta MKI\].
\[N\]nằm trên đường thẳng qua \[I\]và vuông góc với \[MK\Rightarrow IN\bot MK\Rightarrow IN\]là đường cao của \[\Delta MKI\]
\[IN\] và \[MJ\] cắt nhau tại\[N\].
Theo tính chất ba đường cao của tam giác \[\Rightarrow N\]là trực tâm của \[\Delta MKI\].
\[\Rightarrow KN\]cũng là đường cao của \[\Delta MKI\]\[\Rightarrow KN\bot MI\].
Vậy \[KN\bot IM\]
Bài 61: (SGK Toán 7 tập 2 trang 83)
Gọi \[D,E,F\]là chân các đường vuông góc kẻ từ \[A,B,C\]của\[\Delta ABC\].
\[\Rightarrow AD\bot BC,BE\bot AC,CF\bot AB\]
\[a)\Delta HBC\]có :
\[AD\bot BC\]nên \[AD\] là đường cao từ \[H\] đến \[BC\].
\[BA\bot HC\]tại \[F\]nên \[BA\]là đường cao từ \[B\]đến \[HC\]
\[CA\bot BH\]tại \[E\] nên \[CA\] là đường cao từ \[C\]đến \[HB\]
\[AD,BA,CA\]cắt nhau tại \[A\]nên \[A\] là trực tâm của \[\Delta HCB\].
\[b)\] Tương tự :
+ Trực tâm của \[\Delta HAB\]là \[C\] (\[C\] là giao điểm của ba đường cao :\[CF,AC,BC\])
+ Trực tâm của \[\Delta HAC\]là \[B\](\[B\] là giao điểm của ba đường cao :\[BE,AB,CB\])
Bài 62: (SGK Toán 7 tập 2 trang 83)
+ TH1: Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\]có các đường cao\[AD,BA,CA\].
\[BA,CA\]là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của \[\Delta ABC\].
\[AB=AC\Rightarrow \Delta ABC\] cân tại \[A\] (đpcm).
+ TH2: Xét \[\Delta ABC\] không có góc nào vuông, hai đường cao \[DB=CE\](như hình vẽ minh họa)
Xét hai tam giác vuông \[EBC\]và \[DCB\]có :
\[BC\] (cạnh chung)
\[CE=BD\](giả thiết)
\[\Rightarrow \Delta EBC=\Delta DCB\](cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\[\Rightarrow \widehat{EBC}=\widehat{DCB}\](hai góc tương ứng)
Hay \[\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow \Delta ABC\] cân tại \[A\]
Suy ra \[\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\]( hai góc tương ứng)
Hay \[\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow \Delta ABC\] cân tại \[A\].
+ Xát \[\Delta ABC\]ba đường cao \[BD=CE=AF\](như hình vẽ minh họa)
\[BD=CE\Rightarrow \Delta ABC\]cân tại \[A\] (như cmt) \[\Rightarrow \]\[AB=AC\].
\[CE=AF\Rightarrow \Delta ABC\]cân tại \[B\] (như cmt) \[\Rightarrow AB=BC\]
\[\Rightarrow \]\[AB=AC=BC\]\[\Rightarrow \Delta ABC\] đều.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 7 bài tính chất ba đường cao của tam giác do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ