BÀI 6. TAM GIÁC CÂN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tam giác cân
a) Định nghĩa: Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau
\[\Delta ABC\] cân tại \[A\]\[\Leftrightarrow AB=AC\]
b) Tính chất: trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
\[\Delta ABC\] cân tại \[A\]\[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}\]
c) Dấu hiệu nhận biết:
– Theo định nghĩa
– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
2. Tam giác vuông cân
a) Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
b) Tính chất: Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng \[{{45}^{0}}\]
3. Tam giác đều
a) Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
\[\Delta ABC\]đều \[\Leftrightarrow AB=BC=AC\]
b) Tình chất: Trong tam giác đều, mỗi góc bằng \[{{60}^{0}}\]
\[\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}={{60}^{0}}\]
c) Dấu hiệu nhận biết:
– Theo định nghĩa.
– Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
– Nếu một tam giác cân có một góc bằng \[{{60}^{0}}\] thì tam giác đó là tam giác đều.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Vẽ tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
Cách giải
Dựa vào các cách vẽ tam giác đã học và định nghĩa các tam giác cân, vuông cân, đều.
Dạng 2. Bổ sung điều kiện để hai tam giác cân, hai tam giác vuông cân, hai tam giác đều bằng nhau.
Cách giải
Dựa vào các trường hợp bằng nhau của hai tam giác đã học và định nghĩa, tính chất của tam giác cân, vuông cân, đều.
Dạng 3. Nhận biết một tam giác là tam gác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
Cách giải
Dựa vào dấu hiệu nhận biết các tam giác cân, vuông cân, đều.
Dạng 4. Sử dụng định nghĩa tam giác cân, vuông cân để suy ra đoạn thẳng bằng nhau.
Cách giải
Dựa vào định nghĩa các tam giác cân, vuông cân, đều.
Dạng 5. Sử dụng tính chất của tam giác cân, vuông cân, đều để tính số đo góc hoặc chứng ming hai góc bằng nhau.
Cách giải
Dựa vào tính chất về góc của các tam giác cân, vuông cân, đều.
Dạng 6. Chứng minh một tam giác là tam giác cân, vuông cân, đều để suy ra hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.
Cách giải
– Chứng minh một tam giác là tam giác cân, hoặc vuông cân, hoặc đều (dạng 3).
– Sử dụng định nghĩa, tính chất của các tam giác trên để suy ra hai đoạn thẳng bằng nhau (dạng 4), suy ra hai góc bằng nhau (dạng 5).
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 46. (SGK Toán 7 tập 1 trang 127)
a) Dùng thước chia xăng-ti-mét vẽ cạnh đáy \[AC=3cm\]
Lấy \[A\] và \[C\] làm tâm, vẽ các cung tròn bán kính \[4cm\]
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm \[B\]
=> Ta được tam giác \[BAC\] cân tại điểm \[B\], đáy \[AC=3cm\]và các cạnh bên \[BA=BC=4cm\]
b) Dựng đoạn thẳng \[BC=3cm\]bằng thước.
Lấy \[B\], \[C\] làm tâm, vẽ hai cung tròn bán kính \[3cm\]. Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm \[A\].
Ta có: Tam giác đều \[ABC\] với: \[AB=AC=BC=3cm\]
Hình vẽ:
Bài 47. (SGK Toán 7 tập 1 trang 127)
Hình 116:
Ta có: \[\Delta ABD\]cân tại \[A\] vì \[AB=AD\]
\[\Delta ACE\]cân tại \[A\]vì \[AC=AE\left( AB=AD,BC=DE \right)\]
Hình 117:
\[\Delta GHI\]cân tại \[I\] vì : \[\widehat{G}={{180}^{0}}-\widehat{H}-\widehat{I}={{180}^{0}}-{{70}^{0}}-{{40}^{0}}={{70}^{0}}\]
\[\widehat{H}={{70}^{0}}\]
Hình 118:
\[\Delta OMN\]là tam giác đều vì \[OM-ON=MN\]
\[\Delta OMK\]cân tại \[M\] vì \[MO=MK\]
\[\Delta ONP\]cân tại N vì \[NO=NP\]
\[\Delta OKP\]cân tại\[O\]vì:
\[\Delta OMN\]đều \[\Rightarrow \widehat{M}=\widehat{N}={{60}^{0}}\]
\[M\] là góc ngoài của \[\Delta OMK\]nên \[\widehat{O}+\widehat{K}=\widehat{M}={{60}^{0}}\]
mà \[\Delta OMK\]cân tại \[M\]
\[\Rightarrow \widehat{O}=\widehat{K}={{30}^{0}}\]
Tương tự \[\widehat{P}={{30}^{0}}\]
Do đó \[\Rightarrow \widehat{K}=\widehat{P}={{30}^{0}}\]
Bài 48. (SGK Toán 7 tập 1 trang 127)
Nếp gấp là đường cao \[AH\] của tam giác \[ABC\]
Bài 49. (SGK Toán 7 tập 1 trang 127)
a) \[\Delta ABC:\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\] (tính chất tổng ba góc trong một tam giác).
\[\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}={{180}^{0}}-{{40}^{0}}={{140}^{0}}\]
Mà \[\widehat{B}=\widehat{C}\] (tính chất của tam giác cân);
nên \[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\frac{{{140}^{0}}}{2}={{70}^{0}}\]
b) \[\Delta ABC:\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\] (tính chất tổng ba góc trong một tam giác).
\[\Rightarrow \widehat{A}={{180}^{0}}-\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)={{180}^{0}}-\left( {{40}^{0}}+{{40}^{0}} \right)={{100}^{0}}\]
LUYỆN TẬP
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM (LUYỆN TẬP)
a) Tam giác cân
+ Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau
+ Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
+ Dấu hiệu nhận biết:
– Theo định nghĩa
– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
b) Tam giác vuông cân
Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
Tính chất: Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng \[{{45}^{0}}\]
c) Tam giác đều
Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Tính chất: Trong tam giác đều, mỗi góc bằng \[{{60}^{0}}\]
Dấu hiệu nhận biết:
– Theo định nghĩa.
– Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
– Nếu một tam giác cân có một góc bằng \[{{60}^{0}}\] thì tam giác đó là tam giác đều.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP (LUYỆN TẬP)
Dạng 1. Vẽ tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
Dạng 2. Bổ sung điều kiện để hai tam giác cân, hai tam giác vuông cân, hai tam giác đều bằng nhau.
Dạng 3. Sử dụng tính chất của tam giác cân, vuông cân, đều để tính số đo góc hoặc chứng minh hai góc bằng nhau
Dạng 4. Chứng minh một tam giác là tam giác cân, vuông cân, đều để suy ra hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (LUYỆN TẬP)
Bài 50. (SGK Toán 7 tập 1 trang 127)
a) Ta có:
\[\Delta ABC\]cân tại \[A\] và \[\widehat{A}={{145}^{0}}\]\[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}\]
\[\Delta ABC\]có \[\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\] (tính chất tổng ba góc trong một tam giác).
\[\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}\]
Mà \[\widehat{B}=\widehat{C}\] (tính chất của tam giác cân)
Nên \[\Rightarrow \widehat{B}=\frac{\left( {{180}^{0}}-\widehat{A} \right)}{2}={{17}^{0}}30'\]
b) \[\Delta ABC\]có: \[\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\] (tính chất tổng ba góc trong một tam giác).
\[\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}\]
Mà \[\widehat{B}=\widehat{C}\] (tính chất của tam giác cân);
Nên góc \[\Rightarrow \widehat{B}=\frac{\left( {{180}^{0}}-\widehat{A} \right)}{2}={{40}^{0}}\]
Bài 51. (SGK Toán 7 tập 1 trang 128)
a) Xét hai tam giác \[\Delta ABD\]và \[\Delta ACE\]có:
\[AD=AE\] (gt);
\[AB=AC\] (\[\Delta ABC\]cân tại \[A\]);
\[\widehat{A}\] là góc chung;
Nên \[\Delta ABD=\Delta ACE\] (c.g.c) \[\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}\]
b) \[\Delta ABC\]cân tại \[A\]\[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}\]
\[\Rightarrow \widehat{ABD}+\widehat{DBC}=\widehat{ACE}+\widehat{ECB}\]
Mà \[\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\Rightarrow \widehat{DBC}=\widehat{ECB}\]\[\Rightarrow \widehat{IBC}=\widehat{ICB}\]
Vậy \[\Delta IBC\] cân tại \[I\].
Bài 52. (SGK Toán 7 tập 1 trang 128)
Xét hai tam giác vuông \[\Delta AOB\]và \[\Delta AOC\]có:
\[\widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{O}_{2}}}\] (\[OA\] là tia phân giác của \[\widehat{xOy}\]);
\[OA\] là cạnh chung;
Nên \[\Delta AOB=\Delta AOC\] (cạnh huyền – góc nhọn).
\[\Rightarrow AB=AC\]\[\Rightarrow \Delta ABC\]cân tại \[A\] (1)
Ta có \[\widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{O}_{2}}}=\frac{\widehat{xOy}}{2}=\frac{{{120}^{0}}}{2}={{60}^{0}}\] (\[OA\] là tia phân giác của \[\widehat{xOy}\]);
Nên \[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}={{30}^{0}}\] (cùng phụ góc \[{{60}^{0}}\]);
\[\Rightarrow \widehat{BAC}={{60}^{0}}\] (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \Delta ABC\]là tam giác đều.