CHƯƠNG VII. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC. CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC.
BÀI 1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn
Định lý 1. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Cho \[\Delta ABC,AC>AB\Rightarrow \widehat{B}>\widehat{C}\]
2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn
Định lý 2. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Cho \[\Delta ABC,\widehat{B}>\widehat{C}\Rightarrow AC>AB\]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: So sánh hai góc trong một tam giác
Cách giải:
+ Xét hai góc cần so sánh là hai góc của một tam giác.
+ Tìm cạnh lớn hơn trong hai cạnh đối diện của hai góc ấy.
+ Kết luận.
Dạng 2: So sánh hai cạnh trong một tam giác
Cách giải:
+ Xét hai cạnh cần so sánh là hai cạnh của một tam giác.
+ Tìm góc lớn hơn trong hai góc đối diện với hai cạnh ấy.
+ Kết luận.
Các bài toán thường gặp:
Bài toán 1: So sánh các góc trong tam giác khi biết độ dài các cạnh.
Bài toán 2: So sánh các cạnh trong tam giác khi biết số đo hai góc
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Toán 7 tập 2 trang 55)
Góc đối diện cạnh \[BC\] là \[\widehat{A}\]
Góc đối diện cạnh \[AC\] là \[\widehat{B}\]
Góc đối diện cạnh \[AB\] là \[\widehat{C}\]
Mà: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn
Tam giác \[ABC\] có \[AB=2cm,BC=4cm,AC=5cm\]. Ta có:\[AB<BC<AC\Rightarrow \widehat{C}<\widehat{A}<\widehat{B}\]
Bài 2. (SGK Toán 7 tập 2 trang 55)
Theo định lý tổng ba góc trong tam giác \[ABC\], ta có: \[\widehat{B}+\widehat{A}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}={{55}^{0}}\]
Cạnh đối diện góc \[\widehat{A}\] là \[BC\]
Cạnh đối diện góc \[\widehat{B}\] là\[AC\]
Cạnh đối diện góc \[\widehat{C}\] là\[AB\]
Mà: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn
Tam giác \[ABC\] có \[\widehat{B}={{45}^{0}}<\widehat{C}={{55}^{0}}<\widehat{A}={{80}^{0}}\Rightarrow AC<AB<BC\]
LUYỆN TẬP
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM (LUYỆN TẬP)
+ Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (LUYỆN TẬP)
Bài 3. (SGK Toán 7 tập 2 trang 56)
a) \[\widehat{A}={{100}^{0}}\] là góc tù nên là góc lớn nhất trong \[\Delta ABC\] (tổng ba góc trong một tam giác bằng\[{{180}^{0}}\]).
Do đó cạnh \[BC\] là cạnh lớn nhất của \[\Delta ABC\] (cạnh đối diện của góc lớn nhất thì lớn nhất).
b) \[\Delta ABC\]có\[\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\]\[\Rightarrow \widehat{C}={{40}^{0}}\]
\[\Delta ABC\]có \[\widehat{B}=\widehat{C}={{40}^{0}}\]nên là tam giác cân.
Bài 4. (SGK Toán 7 tập 2 trang 56)
Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.
Vì đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất tức là góc nhọn (trong một tam giác, luôn có ít nhất một góc nhọn).
Bài 5. (SGK Toán 7 tập 2 trang 56)
Hướng dẫn:
Dựa vào quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để so sánh độ dài các cạnh \[AD,BD,CD\]
Giải:
\[\Delta BCD\]có \[\widehat{C}\] là góc tù nên \[\widehat{C}>{{90}^{0}}\] suy ra góc \[\widehat{B}<{{90}^{0}}\] (tính chất của tam giác)
Do đó \[\widehat{B}<\widehat{C}\]\[\Rightarrow BD>CD\] (1)
Ta có: \[\widehat{ABD}=\widehat{C}+\widehat{BDC}\] (tính chất góc ngoài của tam giác) Nên \[\widehat{ABD}>\widehat{C}\]\[\Rightarrow \widehat{ABD}>{{90}^{0}}\]
\[\Delta ABD:\widehat{ABD}>\widehat{A}\Rightarrow AD>BD\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[AD>BD>CD\].
Vậy Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất.
Bài 6. (SGK Toán 7 tập 2 trang 56)
Câu trả lời đúng là c).
\[BC=DC\Rightarrow BC<AC\Rightarrow \widehat{A}<\widehat{B}\] (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn).
Bài 7. (SGK Toán 7 tập 2 trang 56)
a) Ta có \[\widehat{ABC}=\widehat{ABB'}+\widehat{B'BC}\]nên \[\widehat{ABC}>\widehat{ABB'}\] (1)
b) \[\Delta ABB':AB=AB'\] nên là tam giác cân ở \[A\].
Do đó \[\widehat{ABB'}=\widehat{AB'B}\] (2)
c) \[\widehat{AB'B}\] là góc ngoài của \[\Delta BB'C\] nên góc \[\widehat{AB'B}>\widehat{ACB}\] (góc ngoài của tam giác luôn lớn hơn hai góc trong không kề với nó).
Từ đó \[\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\].