BÀI 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên.
Điểm \[A\] không nằm trên đường thẳng \[d\], kẻ một đường thẳng vuông góc với \[d\]tại \[H\]. Lấy \[B\] không trùng với \[H\] trên \[d\], khi đó
+ \[AH\]gọi là đoạn thẳng vuông góc hay đường vuông góc
+ \[H\] gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của \[A\] trên \[d\]
+ \[AB\] gọi là đường xiên kẻ từ \[A\] đến \[d\].
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lý 1. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
\[AH\bot a\Rightarrow AH<AC,AH<AD\]
(Với \[C,D\] là điểm bất kì thuộc \[a\])
2. Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của chúng
Định lý 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
\[AH\bot a,HD>HB\Rightarrow AD>AB\]
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
\[AH\bot a,AD>AB\Rightarrow HD>HB\]
+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
\[AD=AC\Leftrightarrow HD=HC\]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu
Cách giải: Vận dụng định lí 2.
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Dạng 2: Chỉ ra hai đường xiên bằng nhau hoặc hai hình chiếu bằng nhau
Cách giải: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó. Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Dạng 3: Quan hệ giữ đường vuông góc và đường xiên
Cách giải: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên.
Các bài toán thường gặp:
Bài toán 1: So sánh các hình chiếu khi biết mối quan hệ giữa các đường xiên trong tam giác.
Bài toán 2: So sánh các cạnh trong tam giác khi biết số đo hai góc
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 8. (SGK Toán 7 tập 2 trang 59)
Hướng dẫn:
Để so sánh hai hình chiếu ta làm như sau:
– Tìm hai đường xiên tương ứng với hai hình chiếu đó.
– Đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu của nó lớn hơn. Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau.
Giải:
Ta có \[AH\bot BC\] nên \[HB\] và \[HC\] lần lượt là hình chiếu của \[AB\] và \[AC\] lên \[BC\].
Vì \[AB<AC\Rightarrow HB<HC\] (đường xiên nhỏ thì hình chiếu nhỏ).
Vậy câu c) đúng.
Bài 9. (SGK Toán 7 tập 2 trang 59)
\[MA\] là đường vuông góc kẻ từ \[M\] xuống đường thẳng \[d\].
Các đoạn thẳng \[AB,AC,AD\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[MB,MC,MD\] lên \[d\].
Ta thấy \[AB<AC<AD\].
Nên \[MB<MC<MD\] (hình chiếu nào lớn hơn thì đường xiên lớn hơn).
Vậy \[MA<MB<MC<MD\].
Trả lời: Bạn Nam tập bơi đúng mục đích đề ra.
LUYỆN TẬP
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM (LUYỆN TẬP)
+ Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
+ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
+ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của chúng
II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (LUYỆN TẬP)
Bài 10. (SGK Toán 7 tập 2 trang 59)
Xét \[\Delta ABC\]cân tại \[A\], lấy \[M\] là điểm bất kì của đáy \[BC\].
Ta chứng minh: \[AM<AB\].
Gọi \[H\] là chân đường vuông góc kẻ từ \[A\] đến \[BC\] thì \[HB,HC\]lần lượt là hình chiếu của \[AB,AC\] lên \[BC\].
– Nếu \[M\equiv B\]thì \[AM=AB\]
– Nếu \[M\equiv C\]thì \[AM=AC\]
Nếu \[M\equiv H\]thì \[AM-AH<AB\] (đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên).
– Nếu \[M\] nằm giữa \[B\]và \[H\] thì \[HM<HB\]suy ra \[AM<AB\] (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn).
– Nếu \[M\] nằm giữa \[C\]và \[H\] thì \[HM<HC\]suy ra \[AM<AC\] (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn).
Bài 11. (SGK Toán 7 tập 2 trang 60)
\[BC<BD\]nên \[C\] nằm giữa \[B\]và \[D\].
\[\widehat{ACD}\]góc ngoài của \[\Delta ABC\]
Nên \[\widehat{ACD}>\widehat{ABC}\]
Suy ra \[\widehat{ACD}>{{90}^{0}}=\widehat{ABC}\]
\[\Delta ACD:\widehat{ACD}>{{90}^{0}}\]là góc lớn nhất (tổng ba góc trong tam giác bằng 180°).
Nên cạnh \[AD\] lớn nhất (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn)
Vậy \[AC<AD\]
Bài 12. (SGK Toán 7 tập 2 trang 60)
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ, vì chiều rộng của tấm gỗ là đoạn vuông góc giữa hai cạnh này.
Cách đặt thước như trong hình 15 (SGK) là sai: vì ở hình này ta đã đo “đoạn xiên” mà không phải đo đoạn vuông góc (đoạn vuông góc luôn ngắn hơn mọi “đoạn xiên” kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng).
Bài 13. (SGK Toán 7 tập 2 trang 60)
Hướng dẫn:
Cách 1:
– Tìm hai hình chiếu của hai cạnh.
– So sánh hai hình chiếu từ đó so sánh hai cạnh.
Cách 2:
– Xét hai cạnh cần so sánh là hai cạnh của một tam giác.
– So sánh hai góc đối diện của hai cạnh từ đó so sánh hai cạnh.
Giải:
a) Ta có \[AB\bot AC\]nên \[AE,AC\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[BE,BC\]lên \[AC\].
Ta thấy \[AE<AC\Rightarrow BE<BC\] (1) (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn).
b) Ta có \[AB\bot AC\]nên \[AD,AB\]lần lượt là hình chiếu của \[ED,EB\]lên \[AB\]
Ta thấy \[AD<AB\Rightarrow ED<EB\] (2) (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn).
Từ (1) và (2) suy ra \[ED<BC\].
Bài 14. (SGK Toán 7 tập 2 trang 60)
Hướng dẫn:
Kẻ \[PH\bot QR\]
Có hai điểm \[M\]: một điểm nằm giữa \[H\] và \[R\], một điểm nằm giữa \[H\]và \[Q\],
Giải:
Kẻ \[PH\bot QR\]thì \[HM,HR\]lần lượt là hình chiếu của \[PM,PR\].
Vì \[PR>PH\]nên tồn tại một điểm \[M\] thuộc tia \[HR\] sao cho \[PM=4,5cm\].
Ta có \[PM<PR\Rightarrow HM<HR\] (đường xiên nhỏ thì hình chiếu nhỏ).
Do đó \(M\) nằm giữa \(H\)và \(R\)
Tương tự, có điểm \[M'\] nằm giữa \(H\)và \(Q\) mà \(PM' = 4,5cm\)
Vậy có hai điểm \(M\) và \[M'\] nằm trên cạnh \[QR\]
Để \(PM = PM' = 4,5cm\)