BÀI 2. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ
Để cộng trừ hai số hữu tỉ \[x\] và \[y\], ta làm như sau:
+ Viết \[xy\]dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương (quy đồng mẫu số dương)
\[x=\frac{a}{m};y=\frac{b}{m}\left( a,b,m\in \mathbb{Z};m>0 \right)\]
+ Thực hiện phép cộng trừ (cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu)
\[x+y=\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}\]
\[x-y=\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}\]
Chú ý:
+ Rút gọn các phân thức trước khi tính.
+ Trong tập hợp \[\mathbb{Q}\], phép cộng cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với số \[0\] như trong tập hợp \[\mathbb{Z}\].
+ Mỗi số hữu tỉ \[x\] đều có một số đối, kí hiệu là \[-x\], sao cho: \[x+\left( -x \right)=0\]
Số đối \[\frac{a}{b}\]là \[-x=-\frac{a}{b}\]
Vậy \[-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}\] nên người ta thường viết các số hữu tỉ âm với dấu trừ trước phân số.
2. Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu của số hạng đó.
Với \[x,y,z\in \mathbb{Q}\], ta có: \[x+y=z\Rightarrow x=z-y\]
Chú ý: Trong \[\mathbb{Q}\], ta cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong \[\mathbb{Z}\]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ
Cách giải:
+ Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương (bằng cách quy đồng mẫu của chúng);
+ Cộng, trừ hai tử số, mẫu chung giữ nguyên;
+ Rút gọn kết quả (nếu có thể)
Dạng 2. Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ
Cách giải:
Một trong các phương pháp giải có thể là:
+Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương;
+ Viết tử của phân số thành tổng hoặc hiệu của hai số nguyên;
+ “Tách” ra hai phân số có tử là các số nguyên tìm được;
+ Rút gọn phân số (nếu có thể)
Dạng 3. Tính tổng hoặc hiệu của nhiều số hữu tỉ
Cách giải:
+ Áp dụng quy tắc “dấu ngoặc” đối với các số hữu tỉ:
Với mọi \[x,y\in \mathbb{Q}:-\left( x+y \right)=-x-y\]
+ Nếu có các dấu: ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn thì làm theo thứ tự trước hết tính trong ngoặc tròn rồi đến ngoặc vuông. cuối cùng là ngoặc nhọn.
+ Có thể bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng một cách thích hợp
Dạng 4. Tìm số hạng chưa biết trong một tổng hoặc một hiệu
Cách giải:
Áp dụng quy tắc “chuyển vế”:
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó
Dạng 5. Tính giá trị biểu thức có nhiều dấu ngoặc
Cách giải:
+ Có thể tính giá trị của từng biểu thức trong ngoặc rồi tính tổng hoặc hiệu của các kết quả
+ Có thể bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp bằng cách áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp
Dạng 6. Tìm phần nguyên, phần lẻ của số hữu tỉ
Cách giải:
Cần nắm vững các định nghĩa sau:
1. Phần nguyên của một số hữu tỉ \[x\], kí hiệu \[\left[ x \right]\] là số nguyên lớn nhất không vượt quá \[x\]
Như vậy, \[\left[ x \right]\]là số nguyên sao cho:
\[\left[ x \right]\le x<\left[ x \right]\]
2. Phần lẻ của một số hữu tỉ \[x\], kí hiệu \[\left\{ x \right\}\] là hiệu \[x-\left[ x \right]\]:
\[\left\{ x \right\}=x-\left[ x \right]\]
Vì ta có \[\left[ x \right]\le x<\left[ x \right]+1\] nên suy ra \[0\le x-\left[ x \right]<1\], tức là với mọi \[x\in \mathbb{Q}\]ta luôn có \[0\le \left\{ x \right\}<1\]
Rõ ràng \[\left\{ x \right\}=0\]khi và chỉ khi\[x=\left[ x \right]\] tức là khi và chỉ khi \[x\in \mathbb{Z}\].
Các bài toán thường gặp
Bài toán 1: Tìm x
Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức
Bài toán 3: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 6. (SGK Toán 7 tập 1 trang 10)
a) \[\frac{-1}{21}+\frac{-1}{28}=\frac{-4}{84}+\frac{-3}{84}=\frac{-7}{84}=\frac{-1}{12}\]
b) \[\frac{-8}{18}-\frac{-15}{27}=\frac{-4}{9}-\frac{5}{9}=\frac{-9}{9}=-1\]
c) \[\frac{-5}{12}+0,75=\frac{-5}{12}+\frac{3}{4}=\frac{-5}{12}+\frac{9}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\]
d) \[3,5-\left( \frac{-2}{7} \right)=\frac{7}{2}+\frac{2}{7}=\frac{49}{14}+\frac{4}{14}=\frac{53}{14}=3\frac{11}{14}\]
Bài 7. (SGK Toán 7 tập 1 trang 10)
a) Ta có thể viết:
\[\frac{-5}{16}=\frac{\left( -1 \right)+\left( -4 \right)}{16}=\frac{-1}{16}+\frac{-4}{16}=\frac{-1}{16}+\frac{-1}{4}\]
b) Ta có thể viết: \[\frac{-5}{16}=\frac{6-11}{16}=\frac{6}{16}-\frac{11}{16}=\frac{3}{8}-\frac{11}{16}\]
Bài 8. (SGK Toán 7 tập 1 trang 10)
a) \[\frac{3}{7}+\left( -\frac{5}{2} \right)+\left( -\frac{3}{5} \right)=\frac{30}{70}+\left( \frac{-175}{70} \right)+\left( \frac{-42}{70} \right)=\frac{-187}{70}\]
b) \[\left( -\frac{4}{3} \right)+\left( -\frac{2}{5} \right)+\left( -\frac{3}{2} \right)=\left( -\frac{40}{30} \right)+\left( -\frac{12}{30} \right)+\left( -\frac{45}{30} \right)=\frac{-97}{30}=-3\frac{7}{30}\]
c) \[\frac{4}{5}-\left( -\frac{2}{7} \right)-\frac{7}{10}=\frac{56}{70}+\frac{20}{70}-\frac{49}{70}=\frac{27}{70}\]
d) \[\frac{2}{3}-\left[ \left( -\frac{7}{4} \right)-\left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8} \right) \right]=\frac{2}{3}-\left[ \left( -\frac{7}{4} \right)-\left( \frac{4}{8}+\frac{3}{8} \right) \right]=\frac{2}{3}-\left[ \left( -\frac{7}{4} \right)-\frac{7}{8} \right]\]
\[=\frac{2}{3}-\left[ \left( -\frac{14}{8} \right)-\frac{7}{8} \right]=\frac{2}{3}-\frac{-21}{8}=\frac{16}{24}-\frac{-63}{24}=\frac{79}{24}=3\frac{7}{24}\]
Bài 9. (SGK Toán 7 tập 1 trang 10)
a) \[x+\frac{1}{3}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{9}{12}-\frac{4}{12}=\frac{5}{12}\]
b) \[x-\frac{2}{5}=\frac{5}{7}\Leftrightarrow x=\frac{5}{7}+\frac{2}{5}=\frac{25}{35}+\frac{14}{35}=\frac{39}{35}=1\frac{4}{35}\]
c) \[-x-\frac{2}{3}=-\frac{6}{7}\Leftrightarrow \frac{6}{7}-\frac{2}{3}=x\Leftrightarrow x=\frac{18}{21}-\frac{14}{21}=\frac{4}{21}\]
d) \[\frac{4}{7}-x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{4}{7}-\frac{1}{3}=x\Leftrightarrow x=\frac{12}{21}-\frac{7}{21}=\frac{5}{21}\]
Bài 10. (SGK Toán 7 tập 1 trang 10)
Cách 1:
\(\begin{array}{l} A = \left( {6 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}} \right) - \left( {5 + \frac{5}{3} - \frac{3}{2}} \right) - \left( {3 - \frac{7}{3} + \frac{5}{2}} \right)\\ = \left( {\frac{{36}}{6} - \frac{4}{6} + \frac{3}{6}} \right) - \left( {\frac{{30}}{6} + \frac{{10}}{6} - \frac{9}{6}} \right) - \left( {\frac{{18}}{6} - \frac{{14}}{6} + \frac{{15}}{6}} \right)\\ = \frac{{35}}{6} - \frac{{31}}{6} - \frac{{19}}{6} = \frac{{ - 15}}{6} = \frac{{ - 5}}{2} = - 2\frac{1}{2} \end{array}\)
Cách 2:
\(\begin{array}{l} A = \left( {6 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}} \right) - \left( {5 + \frac{5}{3} - \frac{3}{2}} \right) - \left( {3 - \frac{7}{3} + \frac{5}{2}} \right)\\ = 6 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 5 - \frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 3 + \frac{7}{3} - \frac{5}{2}\\ = \left( {6 - 5 - 3} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{3} - \frac{7}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{5}{2}} \right)\\ = - 2 - 0 - \frac{1}{2} = - 2\frac{1}{2} \end{array}\)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 7 Bài 2: Cộng trừ các số hữu tỉ do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ