BÀI 8. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
- Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
- Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
– Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau.
Cách giải
– Xét tam giác vuông.
– Kiểm tra điều kiện bằng nhau cạnh – góc – cạnh, hoặc góc – cạnh – góc, hoặc cạnh huyền – góc nhọn, hoặc cạnh huyền – cạnh góc vuông
– Kết luận hai tam giác bằng nhau.
Dạng 2. Bổ sung thêm điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau
Cách giải
– Xét xem hai tam giác vuông đã có các yếu tố nào bằng nhau.
– Xét xem cần bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác bằng nhau (dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác)
Dạng 3. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.
Cách giải
– Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.
– Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh để kết luận hai tam giác bằng nhau.
– Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 63. (SGK Toán 7 tập 1 trang 136)
a) Xét tam giác vuông \[\Delta AHB\]và \[\Delta AHC\]có:
\[AH\] là cạnh chung;
\[AB=AC\] (hai cạnh bên của tam giác cân);
Nên \[\Delta AHB=\Delta AHC\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông);
Suy ra \[HB=HC\] (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
b) \[\Delta AHB=\Delta AHC\] (câu a);
\[\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}\] (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
Bài 64. (SGK Toán 7 tập 1 trang 136)
Bổ sung \[AB=DE\]thì \[\Delta ABC=\Delta DEF\] (c.g.c);
Bổ sung \[\widehat{C}=\widehat{F}\]thì \[\Delta ABC=\Delta DEF\] (g.c.g);
Bổ sung \[BC=EF\]thì \[\Delta ABC=\Delta DEF\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
LUYỆN TẬP
Bài 65. (SGK Toán 7 tập 1 trang 137)
a) Xét \[\Delta ABH\]và \[\Delta ACK\]có:
\[\widehat{AKC}=\widehat{AHB}={{90}^{0}}\left( AH\bot AC,CK\bot AB \right)\]
\[AB=AC\] (hai cạnh bên của tam giác cân);
\[\widehat{A}\] là góc chung;
Nên \[\Delta ABH=\Delta ACK\] (cạnh huyền – góc nhọn);
Suy ra: \[AH=AK\] (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
b) Xét tam giác vuông\[\Delta AIH\] va \[\Delta AIK\]có:
\[AH=AK\] (câu a);
\[AI\] là cạnh chung;
Nên \[\Delta AIH=\Delta AIK\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông);
Suy ra: \[\widehat{IAH}=\widehat{IAK}\] (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
\[\Rightarrow \]\[AI\]là tia phân giác của góc \[A\]
Bài 66. (SGK Toán 7 tập 1 trang 137)
+) Xét hai tam giác vuông \[\Delta DAM\] và \[\Delta EAM\], ta có:
\[\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\] (gt);
\[AM\]cạnh huyền chung;
Vậy: \[\Delta DAM=\Delta EAM\]
+) Từ \[\Delta DAM=\Delta EAM\]\[\Rightarrow DM=EM\]
+) Xét hai tam giác vuông \[\Delta DBM\]và \[\Delta ECM\], ta có:
\[MB=MC\] (gt);
\[DM=EM\] (cmt);
Vậy \[\Delta DBM=\Delta ECM\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
+) Xét \[\Delta AMB\]và \[\Delta AMC\]
\[AM\]cạnh chung;
\[MB=MC\] (gt);
\[AB=AD+DB=AE+EC=AC\] (theo các cmt);
Vậy: \[\Delta AMB=\Delta AMC\] (c.c.c).