Bài tập ôn tập cuối năm

BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM

A. PHẦN ĐẠI SỐ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Thu thập số liệu thống kê tần số

2. Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu

3. Biểu đồ

4. Số trung bình cộng

5. Biểu thức đại số

6. Giá trị một biểu thức đại số

7. Đơn thức

8. Đơn thức đồng dạng

9. Đa thức

10. Cộng trừ đa thức

11. Đa thức một biến

12. Cộng, trừ đa thức một biến

13. Nghiệm của đa thức một biến

II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIAO KHOA

Bài 1. (SGK Toán 7 kì II trang 88)

a)

\(\begin{array}{l} 9,6.2\frac{1}{2} - \left( {2.1,25 - 1\frac{5}{{12}}} \right):\frac{1}{4}\\ = \frac{{48}}{5}.\frac{5}{2} - \left( {\frac{5}{2} - \frac{{17}}{{12}}} \right):\frac{1}{4}\\ = 24 - \frac{{13}}{{12}}:\frac{1}{4}\\ = 24 - \frac{{13}}{3}\\ = \frac{{59}}{3} \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l} \frac{5}{{18}} - 1,456:\frac{7}{{25}} + 4,5.\frac{4}{5}\\ = \frac{5}{{18}} - \frac{{182}}{{125}}:\frac{7}{{25}} + \frac{9}{2}.\frac{4}{5}\\ = \frac{5}{{18}} - \frac{{26}}{5} + \frac{{18}}{5}\\ = \frac{{ - 119}}{{90}} \end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l} \left( {\frac{1}{2} + 0,8 - 1\frac{1}{3}} \right).\left( {2,3 + 4\frac{7}{{25}} - 1,28} \right)\\ = \left( {\frac{1}{2} + \frac{4}{5} - \frac{4}{3}} \right).\left( {\frac{{23}}{{10}} + \frac{{107}}{{25}} - \frac{{32}}{{25}}} \right)\\ = \left( { - \frac{1}{{30}}} \right).\frac{{53}}{{10}}\\ = - \frac{{53}}{{300}} \end{array}\)

d)

\(\begin{array}{l} \left( { - 5} \right).12:\left[ {\left( { - \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{2}:\left( { - 2} \right)} \right] + 1\frac{1}{3}\\ = \left( { - 5} \right).12:\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{4}{3}\\ = 120 + \frac{4}{3}\\ = \frac{{364}}{3} \end{array}\)

Bài 2. (SGK Toán 7 kì II trang 89)

Hướng dẫn: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ khi x}} \ge {\rm{0}}\\ {\rm{ - x khi x < 0}} \end{array} \right.\)

a)  \[\left| x \right|+x=0\]

+) Với \[x\ge 0\]thì \(\left| x \right| = x\)nên ta có: \[x+x=0\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow x=0\]

+) Với \[x<0\]thì \[\left| x \right|=-x\] nên ta có: \[-x+x=0\Leftrightarrow 0=0\] (luôn đúng)

Suy ra \[\left| x \right|+x=0\] luôn có nghiệm đúng với \[x<0\]

Vậy với \[x\le 0\] thì \[\left| x \right|+x=0\]

b)  \[x+\left| x \right|=2x\]

+) Với \[x\ge 0\] ta có: \[x+\left| x \right|=2x\Leftrightarrow 2x=2x\Leftrightarrow 0=0\] (luôn đúng)

Nên  \(x + \left| x \right| = 2x\)luôn có nghiệm đúng với \[x\ge 0\]

+) Với \[x<0\] ta có: \[x+\left| x \right|=2x\Leftrightarrow x-x=2x\Leftrightarrow 0=2x\] (loại)

Vậy với \[x\ge 0\]thì \[x+\left| x \right|=2x\]

Bài 3. (SGK Toán 7 kì II trang 89)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\]

Từ \[\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\Rightarrow \frac{a+c}{a-c}=\frac{b+d}{b-d}\] (đpcm)

Bài 4. (SGK Toán 7 kì II trang 89)

Gọi tiền lãi của mỗi đơn vị là \[a,b,c\] (triệu đồng) và \[a,b,c>0\]

Vì tiền lãi được chia tỉ lệ với vốn đầu tư nên \[a,b,c\]tỉ lệ với \[2;5;7\]do đó \[\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}\]

Số tiền lãi là \[560\] triệu, nghĩa là \[a+b+c=560\]

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\[\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}=\frac{a+b+c}{2+5+7}=\frac{560}{14}=40\]

Suy ra:

\[a=80,b=200,c=280\]

Vậy tiền lãi của mỗi đơn vị lần lượt là \[80\] triệu, \[200\] triệu, \[280\] triệu.

Bài 5. (SGK Toán 7 kì II trang 89)

Hướng dẫn: Điểm \[M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)\] thuộc đồ thị hàm số \[y=f\left( x \right)\Leftrightarrow {{y}_{M}}=f\left( {{x}_{M}} \right)\].

+ Điểm \[A\left( 0;\frac{1}{3} \right)\] \[\Rightarrow {{x}_{A}}=0;{{y}_{A}}=\frac{1}{3}\] thuộc đồ thị hàm số  \[y=-2x+\frac{1}{3}\]

+ Điểm \[B\left( \frac{1}{2};-2 \right)\] \[\Rightarrow {{x}_{B}}=\frac{1}{2};{{y}_{B}}=-2\] không thuộc đồ thị hàm số  \[y=-2x+\frac{1}{3}\]

+ Điểm \[C\left( \frac{1}{6};0 \right)\] \[\Rightarrow {{x}_{C}}=\frac{1}{6};{{y}_{C}}=0\] thuộc đồ thị hàm số  \[y=-2x+\frac{1}{3}\]

Bài 6. (SGK Toán 7 kì II trang 89)

Vì điểm \[M\left( -2;-3 \right)\]thuộc đồ thị hàm số \[y=ax\] nên ta có:

\[-3=a\left( -2 \right)\Rightarrow a=\frac{3}{2}\]. Vậy \[a=\frac{3}{2}\]

Bài 7. (SGK Toán 7 kì II trang 89)

a) Tỉ lệ trẻ em từ \[6\] đến \[10\] tuổi của vùng Tây Nguyên đi học đạt \[92,29%\]

Tỉ lệ trẻ em từ \[6\] đến \[10\] tuổi của vùng đồng bằng sông Cửu Long đi học đạt \[87,81%\]

b) Dựa vào biểu đồ ta nhận thấy: Vùng đồng bằng sông Hồng có tỉ lệ trẻ em từ \[6-10\]tuổi đi học tiểu học cao nhất và vùng đồng bằng sông Cửu Long có tỉ lệ trẻ em từ \[6-10\]tuổi đi học tiểu học thấp nhất.

Bài 8. (SGK Toán 7 kì II trang 90)

a) - Dấu hiệu: Sản lượng vụ mùa của mỗi thửa ruộng

- Bảng tần số:

b) Biểu đồ đoạn thẳng

c) Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số. Vậy mốt của dấu hiệu là \[35\] tạ/ha.

d) Số trung bình cộng của các giá trị

\[\overline{X}=\frac{31.10+34.20+35.30+36.15+38.10+40.10+42.5+44.20}{120}\]

\[\overline{X}=\frac{4450}{120}\approx 37,1\] tạ/ha.

Bài 9. (SGK Toán 7 kì II trang 90)

Đặt \[A=2,7{{c}^{2}}-3,5c\]

Với \[c=0,7\Rightarrow A=2,7.0,{{7}^{2}}-3,5.0,7=-1,127\]

Với \[c=\frac{2}{3}\Rightarrow A=2,7.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}-3,5.\frac{2}{3}=-\frac{17}{15}\]

Với \[c=1\frac{1}{6}\Rightarrow A=2,7.{{\left( 1\frac{1}{6} \right)}^{2}}-3,5.\left( 1\frac{1}{6} \right)=\frac{-49}{120}\]

Bài 10. (SGK Toán 7 kì II trang 90)

a)

\(\begin{array}{l} {\rm{ }}A = {x^2}{\rm{ }} - 2x - {y^2} + 3y - 1\\ {\rm{ }}B = - 2{x^2}{\rm{ }} - 5x + 3{y^2} + y + 3\\ \underline {{\rm{ }} - C = - 3{x^2} + 2xy + 3x - 7{y^2} + 5y + 6} \\ A + B - C = - 4{x^2} + 2xy - 4x - 5{y^2} + 9y + 8 \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l} {\rm{ }}A = {x^2}{\rm{ }} - 2x - {y^2} + 3y - 1\\ {\rm{ - }}B = 2{x^2}{\rm{ + }}5x - 3{y^2} - y - 3\\ \underline {{\rm{ }}C = 3{x^2} - 2xy - 3x + 7{y^2} - 5y - 6} \\ A - B + C = 6{x^2} - 2xy + 3{y^2} - 3y - 6 \end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l} {\rm{ - }}A = - {x^2}{\rm{ + }}2x + {y^2} - 3y + 1\\ {\rm{ }}B = - 2{x^2}{\rm{ - }}5x + 3{y^2} + y + 3\\ \underline {{\rm{ }}C = 3{x^2} - 2xy - 3x + 7{y^2} - 5y - 6} \\ - A + B + C = - 2xy - 6x + 11{y^2} - 7y - 2 \end{array}\)

Bài 11. (SGK Toán 7 kì II trang 90)

a)

\(\begin{array}{l} \left( {2x - 3} \right) - \left( {x - 5} \right) = \left( {x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\\ \Rightarrow 2x - 3 - x + 5 = x + 2 - x + 1\\ \Rightarrow x + 2 = 3\\ \Rightarrow x = 1 \end{array}\)

Vậy \[x=1\]

b)

\(\begin{array}{l} 2\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) = - 10\\ \Rightarrow 2x - 2 - 5x - 10 = - 10\\ \Rightarrow - 3x = 2\\ \Rightarrow x = \frac{{ - 2}}{3} \end{array}\)

Vậy \[x=\frac{-2}{3}\]

Bài 12. (SGK Toán 7 kì II trang 90)

\(CE\)

Vậy \[a=2\]

Bài 13. (SGK Toán 7 kì II trang 90)

a) Ta có \[P\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3-2x=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\]

Vậy \[P\left( x \right)\] có một nghiệm \[x=\frac{3}{2}\]

b) \[Q\left( x \right)={{x}^{2}}+2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-2\] (vô lí) vì \[{{x}^{2}}\ge 0\]

Vậy \[Q\left( x \right)\]không có nghiệm

B. PHẦN HÌNH HỌC

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

3. Quan hệ giữa cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác.

4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

5. Tính chất tia phân giác của một góc

6. Tính chất ba đường phân giác của một tam giác

7. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

8. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

9. Tính chất ba đường cao của tam giác

II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK Toán 7 tập 2 trang 90)

a) Sử dụng êke

Trước hết, ta nêu cách vẽ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước

Cách vẽ dùng êke và thước kẻ:

- Cho trước đường thẳng \[a\] và \[M\notin a\].

Đặt một lề êke trùng với \[a\], dịch chuyển êke trên \[a\] sao cho lề thứ hai của êke sát vào \[M\]

- Vẽ đường thẳng sát lề thứ hai của êke qua \[M\] cắt \[a\] tại \[H\], ta được \[MH\bot a\]tại \[H\in a\]

Tương tự vẽ \[MK\bot b\]tại \[K\in b\].

b) Sử dụng êke

* Để vẽ đường thẳng \[xx'\] đi qua \[M\] và song song với \[a\], ta chỉ cần vẽ đường thẳng vuông góc với \[MH\]

Thật vậy vì \[xx'\bot MH\], \[MH\bot a\]\[\Rightarrow xx'//a\]

Cách vẽ:

Đặt ê ke sao cho đỉnh góc vuông trùng với điểm \[M\], một cạnh góc vuông trùng với \[MH\]

Vẽ đoạn thẳng trùng với cạnh góc vuông còn lại của eke.

Kéo dài đoạn thẳng ta được đường thẳng \[xx'\] cần vẽ.

* Tương tự với đường thẳng \[yy'\]

c)

Giả sử \[a\] cắt \[yy'\] tại \[E\] và \[b\] cắt \[xx'\] tại \[F\].

- Một số cặp góc bằng nhau: \[\widehat{MHE}=\widehat{MKb}\left( ={{90}^{0}} \right)\], \[\widehat{xMy}=\widehat{x'My'},\widehat{xMy'}=\widehat{x'My}\](đối đỉnh), \[\widehat{x'My'}=\widehat{MFK},\widehat{x'My'}=\widehat{MEH}\](đồng vị), \[\widehat{MEH}=\widehat{EMF},\widehat{EMF}=\widehat{MFK}\](so le trong).

- Một số cặp góc bù nhau: \[\widehat{EHM}+\widehat{HMF}={{180}^{0}}\], \[\widehat{HEM}+\widehat{EMx'}={{180}^{0}}\],\[\widehat{MEa}+\widehat{EMF}={{180}^{0}}\](hai góc trong cùng phía), \[\widehat{xMY}+\widehat{yMx'}={{180}^{0}}\],\[\widehat{xMY}+\widehat{xMy'}={{180}^{0}}\]

Bài 2. (SGK Toán 7 kì II trang 91)

1. Theo hình vẽ ta có: \[a\bot MN,b\bot MN\Rightarrow a//b\] (quan hệ từ vuông góc đến song song)
2. Do \[a//b\]mà \[\widehat{MPQ}+\widehat{NQP}={{180}^{0}}\](trong cùng phía) \[\Rightarrow \widehat{NQP}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}={{130}^{0}}\]

Bài 3. (SGK Toán 7 kì II trang 91)

Vẽ tia \[Ot//a\] (\[Ot\] nằm ở miền trong góc nhọn \[\widehat{COD}\]).

Mà \[a//b\Rightarrow Ot//b\]. Ta có \[\widehat{COD}=\widehat{COt}+\widehat{DOt}\]

Do \[Ot//a\] nên \[\widehat{COt}=\widehat{aCO}={{44}^{0}}\](hai góc so le trong)

+ \[Ot//b\], mà \[\widehat{tOD}+\widehat{ODb}={{180}^{0}}\](trong cùng phía) nên \[\widehat{tOD}={{180}^{0}}-{{132}^{0}}={{48}^{0}}\]

Vậy \[\widehat{COD}=\widehat{COt}+\widehat{tOD}={{44}^{0}}+{{48}^{0}}={{92}^{0}}\]

Bài 4. (SGK Toán 7 kì II trang 91)

a)

Vì \[EC\bot Oy\left( gt \right);Ox\bot Oy\left( gt \right)\Rightarrow EC//Ox\]

Mà \[\widehat{{{E}_{1}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\]( so le trong)

+ \[DC\bot Ox\left( gt \right);Ox\bot Oy\left( gt \right)\Rightarrow DC//Oy\], mà \[\widehat{{{E}_{2}}}=\widehat{{{D}_{1}}}\](so le trong)

Xét \[\Delta CDE\] và \[\Delta OED\]có: \[\widehat{{{E}_{1}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\], \[DE\]chung, \[\widehat{{{E}_{2}}}=\widehat{{{D}_{1}}}\]

\[\Rightarrow \Delta CDE=\Delta OED\left( g.c.g \right)\]\[\Rightarrow CE=OD;DC=OE\]

b)

Vì \[\Delta CDE=\Delta OED\left( cmt \right)\]\[\Rightarrow \widehat{ECD}=\widehat{DOE}\]mà \[\widehat{DOE}={{90}^{0}}\]\[\Rightarrow \widehat{ECD}={{90}^{0}}\]\[\Rightarrow CE\bot CD\] tại \[C\](đpcm)

c)

Vì \[CE=OD\](cmt) và \[AD=OD\left( gt \right)\]\[\Rightarrow CE=AD\]

Tương tự có \[DC=BE\]

Xét \[\Delta BEC\]và \[\Delta ADC\]có: \[CE=AD\], \[DC=BE\], \[\widehat{BEC}=\widehat{ADC}\]

\[\Rightarrow \]\[\Delta BEC\]\[=\]\[\Delta ADC\](c.g.c) \[\Rightarrow BC=CA\]

d) Hai tam giác vuông \[\Delta DCE\] và \[\Delta CDA\] có :\[CD\]chung, \[CE=AD\] (do \[\Delta BCE=\Delta CDA\])

\[\Rightarrow \Delta DCE=\Delta CDA\] (hai cạnh góc vuông) \[\Rightarrow \widehat{DCA}=\widehat{{{D}_{1}}}\] (hai góc tương ứng)

Mà \[\widehat{DCA}\] và \[\widehat{{{D}_{1}}}\]lại so le trong nên \[CA//DE\]

e) Chứng minh tương tự như d suy ra \[CB//DE\]

Do đó theo tiên đề Ơ-clit ta suy ra hai đường thẳng \[BC,CA\] trùng nhau hay \[A,B,C\]thẳng hàng.

Bài 5. (SGK Toán 7 kì II trang 91)

+ Hình 62:

\[\Delta ABC:AC=AB\Rightarrow \Delta ABC\]cân tại \[A\] \[\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\]

\[\Delta ABC\]vuông tại A \[\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACB}={{90}^{0}}\]\[\Rightarrow \]\[\widehat{ACB}={{45}^{0}}\]

Mà \[\widehat{ACB}=x+\widehat{CBD}={{45}^{0}}\]

Lại có \[\Delta BCD\] cân tại \[C\]\[\Rightarrow \widehat{CDB}=\widehat{DBC}=x\]\[\Rightarrow 2x={{45}^{0}}\Rightarrow x=22,{{5}^{0}}\]

+ Hình 63: Vẽ tia \[Ct//BA\] ( tia \[BA\] và tia \[Ct\] thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ \[BC\])

Có \[Ct//BA\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{BCt}={{27}^{0}}\]( so le trong)

Mà \[\widehat{tCD}=\widehat{BCD}-\widehat{BCt}={{112}^{0}}-{{27}^{0}}={{85}^{0}}\]

Lại có \[Ct//ED\left( //AB \right)\Rightarrow \widehat{CDE}=\widehat{tCD}={{85}^{0}}\]( so le trong)

Hay \[x={{85}^{0}}\]

+ Hình 64:

\[AB//CD\Rightarrow \widehat{BAC}={{67}^{0}}\](đồng vị)

\[\Delta ABC\] cân tại \[A\]( \[AB=AC\]) nên \[\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\]

Mà \[\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{B}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{B}={{46}^{0}}\]

Bài 6. (SGK Toán 7 kì II trang 91)

a)

\[\Delta ADC\] cân tại \[D\] \[\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{DAC}={{31}^{0}}\]

Ta có \[\widehat{ADC}+\widehat{ACD}+\widehat{DAC}={{180}^{0}}\] \[\Rightarrow \widehat{ADC}={{180}^{0}}-2\widehat{ACD}={{118}^{0}}\]

\[\Delta ADB:\widehat{DAB}={{31}^{0}},\widehat{ABD}={{88}^{0}}\Rightarrow \widehat{ADB}={{61}^{0}}\]

\[\widehat{ADC}=\widehat{ADB}+\widehat{CDB}\Rightarrow \widehat{CDB}={{118}^{0}}-{{61}^{0}}={{57}^{0}}\]

Mà \[BD//CE\Rightarrow \] \[\widehat{DEC}=\widehat{ADB}={{61}^{0}}\](hai góc đồng vị), \[\widehat{DCE}=\widehat{CDB}={{57}^{0}}\](so le trong)

b)

\[\widehat{EDC}\] là góc ngoài của \[\Delta ADC\]tại đỉnh \[D\] nên \[\widehat{EDC}=\widehat{DAC}+\widehat{DCA}={{31}^{0}}+{{31}^{0}}={{62}^{0}}\]

\[\Delta EDC:\widehat{DEC}={{61}^{0}},\widehat{EDC}={{62}^{0}},\widehat{DCE}={{57}^{0}}\]

VÌ \[{{57}^{0}}<{{61}^{0}}<{{62}^{0}}\] \[\Rightarrow DE<DC<CE\]. Vậy \(CE\) lớn nhất

Bài 7. (SGK Toán 7 kì II trang 91)

a)

\[\Delta AOM\]vuông tại \[A\]: \[\widehat{{{O}_{1}}}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}\]( \[OM\]là tia phân giác \[\widehat{xOy}\])

\[\Rightarrow \widehat{{{O}_{1}}}<{{45}^{0}}\], mà

\(\widehat {{O_1}} + \widehat {{M_1}} = {90^0} \Rightarrow \widehat {{M_1}} > {45^0} \Rightarrow \widehat {{M_1}} > \widehat {{O_1}} \Rightarrow OA > MA\)

b)

xét \[\Delta OMA:\widehat{{{M}_{2}}}\]là góc ngoài tại \[M\] \[\Rightarrow \widehat{{{M}_{2}}}=\widehat{{{O}_{1}}}+{{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{M}_{2}}}>{{90}^{0}}\]nên tù

\[\Rightarrow \widehat{{{M}_{2}}}\]là góc lớn nhất trong \[\Delta OMB\] nên \[OB\]lớn nhất. Nên \[OB>OM\].

Bài 8. (SGK Toán 7 kì II trang 90)

1. Xét \[\Delta ABE\] vuông tại \[A\] và \[\Delta HBE\] vuông tại \[H\] có :\[BE\]chung, \[\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}\](\[BE\] là phân giác)

\[\Rightarrow \] \[\Delta ABE=\]\[\Delta HBE\] (cạnh huyền – góc nhọn)

b) \[\Rightarrow \] \[\Delta ABE=\]\[\Delta HBE\]

\[\Rightarrow BA=BH,EA=EH\] (các cặp cạnh tương ứng)

⇒ \[E,B\]cùng thuộc trung trực của \[AH\]nên đường thẳng \[EB\] là trung trực của \[AH\]

1. Xét \[\Delta AEK\]vuông tại \[A\] và \[\Delta HEC\] vuông tại \[H\] có: \[EA=EH\] (chứng minh trên), \[\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\](đối đỉnh)

\[\Rightarrow \Delta AEK=\Delta HEC\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

\[\Rightarrow EK=EC\] (hai cạnh tương ứng)

d) \[\Delta EHC\]vuông tại \[H\] có \[EH<EC\] (cạnh huyền là lớn nhất trong tam giác vuông)

mà \[EA=EH\] (câu b) nên \[EA<EC\]

Bài 9. (SGK Toán 7 kì II trang 92)

Giả sử \[\Delta ABC\] có \[AD\]là đường trung tuyến ứng với \[BC\]và \[DA=\frac{1}{2}BC\]\[\Rightarrow DA=BD=DC\]

\[\Rightarrow \Delta ADC\]cân tại \[D\]\[\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{C}\]

\[\Delta ADB\] cân tại \[D\] do \[AD=DB\]\[\Rightarrow \widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{B}\]

\[\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{C}+\widehat{B}\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}\]

Xét \[\Delta ABC\]: \[\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\]\[\Rightarrow \widehat{A}={{90}^{0}}\]nên \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\].

Ứng dụng:

- Vẽ đường tròn \[\left( A,r \right)\]với \[r=\frac{AB}{2}\]; vẽ đường tròn \[\left( B,r \right)\]

- Gọi \[C\] là giao điểm của hai cung tròn nằm ở phía trong tờ giấy.

- Trên tia \[BC\] lấy \[D\] sao cho \[BC=CD\Rightarrow AB\bot AD\]

Thật vậy: \[\Delta ABD:AC\]là trung tuyến ứng \[BD\left( BC=CD \right)\] và \[AC=BC=CD\]

\[\Rightarrow AC=\frac{BD}{2}\Rightarrow \Delta ABD\]vuông tại \[A\]

.Bài 10. (SGK Toán 7 kì II trang 90)

Áp dụng kết quả bài tập 69 (chương III – SGK) ta có cách vẽ sau:

- Vẽ đường thẳng \[d\] qua \[M\] và vuông góc với \[a\]

- Vẽ đường thẳng \[l\]qua \[M\] và vuông góc với \[b\]

- \[d\] cắt \[a,b\]lần lượt tại \[A\] và \[B\]

- \[l\] cắt \[a,b\]lần lượt tại\[C\]và \[D\]

- Vẽ đường thẳng \[c\] qua \[M\] vuông góc với \[BC\]

⇒ \[c\] là đường qua \[M\] và qua giao điểm của hai đường \[a,b\]

Chứng minh:

Giả sử \[a\] cắt \[b\] tại điểm \[O\]

Khi đó \[BA,DC\]là hai đường cao của \[\Delta OBC\]

Mà \[BA,DC\]cắt nhau tại \[M\]nên \[M\] là trực tâm \[\Delta OBC\].

Do đó \[OM\] cũng là đường cao nên \[OM\bot BC\]hay đường thẳng qua \[M\]vuông góc với \[BD\] thì đi qua \[O\]

Bài 11. (SGK Toán 7 kì II trang 90)

Áp dụng kết quả bài 70 (chương III – SGK) ta có:

\[MA<MB\]khi \[M\] thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm \[A\] bờ là đường trung trực của \[AB\] (phần gạch chéo)

\[MB<MC\]khi \[M\] thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm \[B\] bờ là đường trung trực của \[BC\] (phần được chấm chấm).

Phần giao của hai nửa mặt phẳng trên là phần hình chứa điểm \[M\] thỏa mãn \[MA<MB<MC\] (phần hình được tô màu xanh).