Bài tập ôn tập chương 7

ÔN TẬP CHƯƠNG III

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Lí thuyết

	\(\begin{array}{l} \widehat B > \widehat C \Leftrightarrow AC > AB\\ \widehat B = \widehat C \Leftrightarrow AC = AB \end{array}\)
	\[A\notin d,B\in d,AH\bot d\] khi đó \[AB>AH\] hoặc \[AB=AH\](điều này xảy ra\[\Leftrightarrow B\equiv H\])
	\[A\notin d,B\in d,C\in d,AH\bot d\].Khi đó \(\begin{array}{l} AB > AC \Leftrightarrow HB > HC\\ AB = AC \Leftrightarrow HB = HC \end{array}\)
	Với 3 điểm \[A,B,C\]bất kỳ, luôn có: \[AB+AC>BC\]hoặc \[AB+AC=BC\](điều này xảy ra \[\Leftrightarrow A\] nằm giữa \[B\]và\[C\]
	Trong tam giác \[ABC\],ba đường trung tuyến \[AD,BE,CF\] đồng quy tại điểm \[G\]và \[\frac{GA}{DA}=\frac{GB}{EB}=\frac{GC}{FC}=\frac{2}{3}\] Điểm \[G\] là trọng tâm tam giác\[ABC\]
	Trong tam giác \[ABC\],ba đường phân giác đồng quy tại điểm\[I\] và điểm \[I\] cách đều ba cạnh: \[IK=IL=IM\]
	Trong tam giác \[ABC\],ba đường trung trực đồng quy tại điểm \[O\] và điểm \[O\]\[I\] cách đều ba đỉnh: \[OA=OB=OC\] Điểm \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]
	Trong tam giác \[ABC\],ba đường cao \[AI,BK,CL\]đồng quy tại điểm \[H\] Điểm \[H\]là trực tâm \[\Delta ABC\]
	\[\Delta ABC\]cân tại A \[\Leftrightarrow \]Hai trong bốn đường sau trùng nhau: đường trung trực của cạnh \[BC\], đường trung tuyến , đường cao và đường phân giác cùng xuất phát từ đỉnh \[A\] Nếu\[\Delta ABC\]đều thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh và điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là bốn điểm trung nhau

2. Câu hỏi ôn tập

Câu 1: (SGK Toán 7 tập 2 trang 86)

Câu 2: (SGK Toán 7 tập 2 trang 86)

\[a)AB>AH,AC>AH\]

\[b)\]Nếu \[HB>HC\]thì AB > AC.

hoặc có thể HB < HC thì\[AB.

\[c)\] Nếu \[AB>AC\]thì \[HB>HC\].

hoặc có thể \[ABthì\[HB.

Câu 3: (SGK Toán 7 tập 2 trang 86)

Với \[\Delta DEF\]ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là:

\(\begin{array}{l} DE < EF + DF\\ DF < EF + DE\\ EF < DE + DF\\ EF < DE + DF\\ DF - EF < DE + EF \end{array}\)

Câu 4: (SGK Toán 7 tập 2 trang 86)

Ghép a-d' ; b –a', c-b', d-c'

Trong một tam giác

a - d' đường phân giác xuất phát từ đỉnh \[A\]- là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh \[A\] và giao điểm của cạnh \[BC\] với tia phân giác của góc \[A\].

b - a' đường trung trực ứng với cạnh \[BC\] - là đường vuông góc với cạnh \[BC\] tại trung điểm của nó.

c - b' đường cao xuất phát từ đỉnh \[A\] - là đoạn vuông góc kẻ từ \[A\] đến đường thẳng \[BC\].

d - c' đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \[A\] - là đoạn thẳng nối \[A\] với trung điểm của cạnh \[BC\]

Câu 5: (SGK Toán 7 tập 2 trang 86)

Ghép a-b', b-a', c-d', d-c'

Trong một tam giác

a - b' trọng tâm - là điểm chung của ba đường trung tuyến

b - a' trực tâm - là điểm chung của ba đường cao

c - d' điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh - là điểm chung của ba đường phân giác

d - c' điểm cách đều ba đỉnh - là điểm chung của ba đường trung trực

Câu 6: (SGK Toán 7 tập 2 trang 86)

\[a)\] - Trọng tâm của một tam giác có tính chất như sau:

"Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng \[\frac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó."

- Các cách xác định trọng tâm:

+ Cách 1: Vẽ hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tùy ý, rồi xác định giao điểm của hai đường trung tuyến đó.

+ Cách 2: Vẽ một đường trung tuyến của tam giác. Chia độ dài đường trung tuyến thành ba phần bằng nhau rồi xác định một điểm cách đỉnh hai phần bằng nhau.

\[b)\] Không thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác vì đường trung tuyến qua một đỉnh của tam giác và trung điểm một cạnh trong tam giác nên đường trung tuyến phải nằm giữa hai cạnh của một tam giác tức nằm ở bên trong của một tam giác nên ba đường trung tuyến cắt nhau chỉ có thể nằm bên trong của tam giác.

Câu 7: (SGK Toán 7 tập 2 trang 86)

Tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao là tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.

Câu 8: (SGK Toán 7 tập 2 trang 86)

Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là tam giác đều.

II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 63: (SGK Toán 7 tập 2 trang 87)

\[a)\]Xét \[\Delta ABC\]ta có:

\[\widehat{ABC}\] là góc đối diện cạnh \[AC\]

\[\widehat{ACB}\] là góc đối diện cạnh\[AB\]

Mà \[AC

\[\Rightarrow \widehat{ABC}<\widehat{ACB}\]

( Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Vì \[CE=CA\](GT)

\[\Rightarrow \Delta ACE\]cân tại \[C\](định nghĩa)

\[\Rightarrow \widehat{CAE}=\widehat{AEC}\]

Mà \[\widehat{ACB}\]là góc ngoài của \[\Delta ACE\]nên:

\[\widehat{ACB}=\widehat{CAE}+\widehat{AEC}=2\widehat{AEC}\] (2)

Vì \[BA=BD\]

\[\Rightarrow \Delta ABD\]cân tại \[B\]

\[\Rightarrow \]\[\widehat{DAB}=\widehat{ADB}\]

Mà \[\widehat{ABC}\] là góc ngoài của \[\Delta ABD\]nên:

\[\widehat{ABC}=\widehat{DAB}+\widehat{ADB}=2\widehat{ADB}\] (3)

TỪ (1), (2), (3) ta có: \[\widehat{ADB}<\widehat{ACE}\]

\[\Rightarrow \widehat{ADC}<\widehat{AEB}\]

\[b)\]\[\Delta AED\] có:

\[\widehat{ADE}<\widehat{AED}\](vì \[\widehat{ADC}<\widehat{AEB})\]

\[AE\]là cạnh đối diện\[\widehat{ADE}\]

\[AD\] là cạnh đối diện\[\widehat{AED}\]

\[\Rightarrow AEhay \[AD>AE\]

Bài 64: (SGK Toán 7 tập 2 trang 87)

+ So sánh \[NH\]và \[PH\]

\[MH\] là đường cao của \[\Delta MNP\] \[\Rightarrow H\]là hình chiếu của \[M\] trên đường thẳng \[NP\]

\[\Rightarrow NH\]là hình chiếu của đường xiên \[NM\] trên đường thẳng \[NP\]

\[PH\] là hình chiếu của đường xiên \[MP\]trên đường thẳng \[NP\].

Mà \[NM(đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn).

+ So sánh \[\widehat{NMH}\]và \[\widehat{PMH}\]

• TH1: Xét \[\Delta MNP\]có góc \[N\] nhọn

⇒ góc \[P\] nhọn (vì \[MNnên \[\widehat{P}<\widehat{N,}\widehat{N}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{P}<{{90}^{0}}\] ).

\[\Rightarrow H\]nằm giữa \[N\]và \[P\].

\[\Delta MNH\]vuông tại \[H\]có: \[\widehat{NMH}+\widehat{MNH}={{90}^{0}}\]

\[\Delta MHP\]vuông tại \[H\]có: \[\widehat{MPH}+\widehat{PMH}={{90}^{0}}\]

\[\Rightarrow \widehat{NMH}+\widehat{MNH}=\widehat{MPH}+\widehat{PMH}\]

Mà \[\widehat{MPN}<\widehat{MNP}\Rightarrow \widehat{NMH}<\widehat{PMH}\]

• TH2: Xét \[\Delta MNP\]có góc \[N\] tù

suy ra \[H\]nằm ngoài cạnh\[NP\].

(vì giả sử \[H\] nằm giữa \[N\] và \[P\] thì \[\Delta MNH\]có \[\widehat{N}>{{90}^{0}},\widehat{H}={{90}^{0}},\widehat{M}>{{0}^{0}}\Rightarrow \widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{H}>{{180}^{0}}\] ).

Lại có \[HNnên \[N\]nằm giữa \[H\]và \[P\]

⇒ Tia \[MN\] ở giữa hai tia \[MH\]và \[MP\]\[\Rightarrow \widehat{NMH}<\widehat{PMH}\]

Bài 65: (SGK Toán 7 tập 2 trang 87)

Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại.

Vậy nên với năm đoạn thẳng có độ dài \[1\]cm, \[2\]cm, \[3\]cm, \[4\]cm, \[5\]cm ta dựng được tam giác với ba cạnh là các đoạn thẳng có độ dài là:

+ Bộ ba \[2\]cm, \[3\]cm, \[4\]cm \[(3-2<4<3+2)\]

Dựng đoạn thẳng bằng \[4\]cm

Từ hai đầu đoạn thẳng dựng các cung tròn bán kính lần lượt \[2\]cm và\[3\]cm.

Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ \[3\].

Nối các điểm ta được tam giác cần dựng.

+ Bộ ba\[3\]cm., \[4\]cm, \[5\]cm \[(4-3<5<4+3)\]

Dựng đoạn thẳng bằng\[4\]cm.

Dựng đoạn thẳng bằng \[5\]cm

Từ hai đầu đoạn thẳng dựng các cung tròn bán kính lần lượt \[3\]cm và \[4\]cm

Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ \[3\].

Nối các điểm ta được tam giác cần dựng.

+ Bộ ba \[2\]cm, \[4\]cm, \[5\]cm \[(4-2<5<4+2)\]

Dựng đoạn thẳng bằng \[4\]cm.

Dựng đoạn thẳng bằng \[5\]cm.

Từ hai đầu đoạn thẳng dựng các cung tròn bán kính lần lượt \[2\]cm và \[4\]cm.

Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ \[3\].

Nối các điểm ta được tam giác cần dựng.

Vậy ta dựng được tất cả \[3\]tam giác.

Bài 66: (SGK Toán 7 tập 2 trang 87)

Gọi \[O\] là địa điểm đặt nhà máy (\[O\] tùy ý)

\[A,B,C,D\]lần lượt là bốn điểm dân cư (\[A,B,C,D\]cố định).

Ta luôn có:

\(\begin{array}{l} OA + OC \ge AC\\ OB + OD \ge BD \end{array}\)

\[\Rightarrow OA+OB+OC+OD\ge AC+BD(AC+BD\]là hằng số)

Vậy để \[OA+OB+OC+OD\]nhỏ nhất thì \[OA+OC=AC\]và\[OB+OD=BD\].

\[OA+OC=AC\]khi \[O\] thuộc đoạn \[AC\].

\[OB+OD=BD\]khi \[O\] thuộc đoạn \[BD\].

Vậy \[OA+OB+OC+OD\]nhỏ nhất khi \[O\]là giao điểm của hai đoạn \[AC\]và \[BD\]

Bài 67: (SGK Toán 7 tập 2 trang 87)

\[a)\Delta MPQ\]và \[\Delta RPQ\]có cùng đường cao.

\[Q\] là trọng tâm của \[\Delta MNP\Rightarrow \]\[Q\] thuộc đường trung tuyến \[MR\]và \[\frac{MQ}{QR}=2\]

Gọi độ dài đường vuông góc kẻ từ \[P\] đến \[MR\] là \[h\]. Khi đó:

\[\frac{{{S}_{MPQ}}}{{{S}_{RPQ}}}=\frac{\frac{1}{2}.h.MQ}{\frac{1}{2}.h.QR}=\frac{MQ}{QR}=2\Rightarrow {{S}_{MPQ}}=2{{S}_{RPQ}}\] (1)

\[b)\Delta MNQ\]và \[\Delta RNQ\]có cùng đường cao.

Chứng minh tương tự câu \[a\] ta có:

\[\frac{{{S}_{MNQ}}}{{{S}_{RNQ}}}=\frac{\frac{1}{2}.k.MQ}{\frac{1}{2}.k.QR}=\frac{MQ}{QR}=2\Rightarrow {{S}_{MNQ}}=2{{S}_{RNQ}}\] (2)

(\[k\] là độ dài đường vuông góc kẻ từ \[N\]đến \[MR\])

\[c)\Delta PRQ\]và \[\Delta RNQ\]có cùng đường cao.

Gọi \[m\] là độ dài đường vuông góc kẻ từ \[Q\]đến \[NP\].

Khi đó:

\[\frac{{{S}_{RQP}}}{{{S}_{RNQ}}}=\frac{\frac{1}{2}.m.PR}{\frac{1}{2}.m.NR}=\frac{PR}{NR}=1\]

\[\Rightarrow {{S}_{RPQ}}={{S}_{RNQ}}\] (3)

Kết hợp (1), (2), (3) \[\Rightarrow {{S}_{MNQ}}={{S}_{MPQ}}\](*)

\[\frac{{{S}_{MPQ}}}{{{S}_{RPQ}}}=2,\frac{{{S}_{MNQ}}}{{{S}_{RNQ}}}=2\]

\[\Rightarrow 2=\frac{{{S}_{MPQ}}}{{{S}_{RPQ}}}=\frac{{{S}_{MNQ}}}{{{S}_{RNQ}}}=\frac{{{S}_{MPQ}}+{{S}_{MNQ}}}{{{S}_{RPQ}}+{{S}_{RNQ}}}\]

\[=\frac{{{S}_{MQP}}+{{S}_{MNQ}}}{{{S}_{QNP}}}=\frac{2.{{S}_{MQP}}}{{{S}_{QNP}}}\]

\[\Rightarrow \frac{{{S}_{MNQ}}}{{{S}_{NQP}}}=1\Rightarrow {{S}_{MNQ}}={{S}_{NPQ}}\] (**)

Từ (*) và (**)\[\Rightarrow {{S}_{MNQ}}={{S}_{MPQ}}={{S}_{NPQ}}\]

Bài 68: (SGK Toán 7 tập 2 trang 88)

\[a)\] Tìm \[M\] khi độ dài đoạn \[OA,OB\]là bất kì

- Vì \[M\] cách đều hai cạnh \[Ox,Oy\]của góc \[xOy\] nên \[M\] nằm trên đường phân giác \[Oz\]của góc \[xOy\] (1).

- Vì \[M\] cách đều hai điểm \[A,B\]nên \[M\] nằm trên đường trung trực của đoạn \[AB\](2).

Từ (1) và (2) ta xác định được điểm \[M\] là giao điểm của đường phân giác \[Oz\]của góc \[xOy\]và đường trung trực của đoạn \[AB\].

b) Tìm \[M\] khi \[OA=OB\]

Nếu \[OA=OB\]thì \[\Delta AOB\]cân tại O nên tia phân giác góc \[xOy\]cũng là trung trực của\[AB\].

Do đó mọi điểm trên tia phân giác góc\[xOy\] sẽ cách đều hai cạnh \[Ox,Oy\]và cách đều hai điểm \[A\] và \[B\].

Vậy khi \[OA=OB\]thì có vô số điểm \[M\] thỏa mãn các điều kiện ở câu \[a\]

Bài 69: (SGK Toán 7 tập 2 trang 88)

Gọi \[A\]là giao điểm của \[a\] và \[b\].

Theo giả thiết \[c\bot a\]hay \[SR\bot AQ\]hay \[SR\]là đường cao của \[\Delta ASQ\].

\[d\bot b\]hay \[PQ\bot AS\]hay \[QP\] là đường cao của\[\Delta ASQ\].

\[SR\]cắt \[QP\]tại \[M\Rightarrow M\]M là trực tâm của \[\Delta ASQ\]

\[\Rightarrow AM\bot SQ\]

Vậy đường thẳng đi qua \[M\] và vuông góc với \[SQ\] cũng đi qua \[A\](đpcm).

Bài 70: (SGK Toán 7 tập 2 trang 88)

\[a)\]Vì \[M\]nằm trên \[d\], \[d\]là trung trực của \[AB\] nên \[MA=MB\](1)

Vì \[N\]\[\in PA\] nên \[N\] và \[B\] thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng \[d\].

⇒ \[M\] nằm giữa \[N\] và \[B\] \[\Rightarrow NM+MB=NB\](2)

Từ (1) và (2)\[\Rightarrow NB=MA+NM\].

Trong \[\Delta NMA\]có : \[MA+NM>NA\](bất đẳng thức tam giác).

\[\Rightarrow NB>NA\]

\[b)\]Gọi \[AN'\] cắt \[d\] tại \[K\].

\[K\] thuộc đường trung trực của \[AB\]nên\[KA=KB\].

Trong tam giác \[N'KB\] có: \[N'B(bất đẳng thức tam giác).

\[\Rightarrow N'B (vì\[KA=KB\]) hay \[N'B

\[c)\]Vì \[LALB nên \[L\]không thuộc \[d\]

Theo chứng minh câu b suy ra \[L\]không thuộc \[PB\] (vì nếu \[L\] thuộc\[PB\] thì\[LA>LB\]).

Vậy\[L\in PA\].

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 7 bài câu hỏi ôn tập chương 3 hình học 7 do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ