ÔN TẬP CHƯƠNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tổng ba góc trong một tam giác
Định lí: Tổng ba góc trong một tam giác bằng \[{{180}^{0}}\]
Áp dụng vào tam giác vuông
Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông
Tính chất: Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác
a) Định nghĩa
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
b) Các trường hợp bằng nhau của tam giác
+ Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)
Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
+ Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (c.g.c)
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
+ Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (g.c.g)
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kể của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau:
3. Tam giác cân, tam giác đều
a) Tam giác cân:
Định nghĩa: Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau
Tính chất: trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết:
– Theo định nghĩa
– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
b) Tam giác vuông cân
Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
Tính chất: Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng \[{{45}^{0}}\]
c) Tam giác đều
Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Tính chất: Trong tam giác đều, mỗi góc bằng \[{{60}^{0}}\]
Dấu hiệu nhận biết:
– Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
– Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
– Nếu một tam giác cân có một góc bằng \[{{60}^{0}}\] thì tam giác đó là tam giác đều.
4. Định lí Py-ta-go
a) Định lí Py-ta-go
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông
b) Định lí Py-ta-go đảo
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
5. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
- Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
- Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
– Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chọn câu phát biểu đúng. cho một hệ quả, tìm định lí trực tiếp suy ra hệ quả đó.
Cách giải
Liên hệ đến các kiến thức lí thuyết tương ứng để trả lời.
Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau; từ đó nhận biết tia phân giác của góc, đường trung trực của đoạn thẳng, hai đường thẳng vuông góc.
Dạng 3. Nhận biết tam giác vuông, tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
Cách giải
– Để nhận biết tam giác vuông, cần chứng tỏ một góc của tam giác bằng\[{{90}^{0}}\]. Có trường hợp phải sử dụng định lí đảo của Py-ta-go.
– Để nhận biết tam giác cân, cần chứng tỏ hai cạnh bằng nhau, hoặc hai góc bằng nhau.
– Để nhận biết tam giác vuông cân, cần chứng tỏ tam giác đó vuông có hai cạnh bằng nhau, hoặc có hai góc bằng nhau, hoặc có một góc bằng \[{{45}^{0}}\]
– Để nhận biết tam giác đều cần chứng tỏ tam giác đó có ba cạnh bằng nhau, hoặc ba góc bằng nhau, hoặc hai góc bằng \[{{60}^{0}}\], hoặc chứng tỏ đó là tam giác cân có một góc bằng \[{{60}^{0}}\]
Dạng 4. Tính độ dài của tam giác vuông.
Cách giải
Sử dụng Định lí Py-ta-go.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
CÂU HỎI ÔN TẬP
Câu 1. (SGK Toán 7 tập 1 trang 139)
- Định lý: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^0}\)
- Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
Câu 2. (SGK Toán 7 tập 1 trang 139)
Phát biểu ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Câu 3. (SGK Toán 7 tập 1 trang 139)
Phát biểu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông.
- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Câu 4. (SGK Toán 7 tập 1 trang 139)
Phát biểu định nghĩa tam giác cân, tính chất về góc của tam giác cân. Nêu các cách chứng minh một tam giác là tam giác cân.
- Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Tính chất: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau
- Các cách chứng minh một tam giác là tam giác cân:
• Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
• Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Câu 5. (SGK Toán 7 tập 1 trang 139)
Phát biểu định nghĩa tam giác đều, tính chất về góc của tam giác đều. Nêu các cách chứng minh một tam giác là tam giác đều.
- Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
- Tính chất: Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng \[{{60}^{0}}\]
- Các cách chứng minh một tam giác là tam giác đều:
+ Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
+ Nếu một tam giác cân có một góc bằng \[{{60}^{0}}\] thì tam giác đó là tam giác đều.
Câu 6. (SGK Toán 7 tập 1 trang 139)
Phát biểu định lí Py – ta – go (thuận và đảo).
- Định lí Py – ta – go thuận:
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Định lí Py – ta – go đảo:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
BÀI TẬP
Bài 67. (SGK Toán 7 tập 1 trang 140)
Câu | Đúng | Sai |
| 1. Trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn | \[\times \] |
|
| 2. Trong một tam giác, có ít nhất là hai góc nhọn | \[\times \] |
|
| 3. Trong một tam giác, góc lớn nhất là góc tù |
| \[\times \] |
| 4. Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn bù nhau. |
| \[\times \] |
| 5. Nếu\[\widehat{A}\] là góc ở đáy của một tam giác cân thì \[\widehat{A}<{{90}^{0}}\] | \[\times \] |
|
| 6. Nếu\[\widehat{A}\] là góc ở đỉnh của một tam giác cân thì \[\widehat{A}<{{90}^{0}}\] |
| \[\times \] |
Bài 68. (SGK Toán 7 tập 1 trang 141)
Câu a, b được suy ra từ định lí: “Tổng, ba góc của một tam giác bằng \[{{180}^{0}}\]”;
Câu c được suy ra từ định lí: “Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau”;
Câu d được suy ra từ định lí: “Nếu một tam giác góc hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân”.
Bài 69. (SGK Toán 7 tập 1 trang 141)
Gọi \[AD\cap a=H\]
Xét hai tam giác \[\Delta ABD\]và \[\Delta ACD\]có:
\[AB=AC\] (\[B\] và \[C\] cùng thuộc cung tròn tâm \[A\]);
\[BD=DC\] (\[D\]thuộc hai cung tròn tâm \[B\] và \[C\] có bán kính bằng nhau);
\[AD\] là cạnh chung;
Nên \[\Delta ABD=\Delta ACD\] (c.c.c);
\[\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\] (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
Xét hai tam giác \[\Delta AHB\]và \[\Delta AHC\]có:
\[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\] (chứng minh trên)
\[AB=AC\] (\[B\] và \[C\] cùng thuộc cung tròn tâm \[A\])
\[AH\]là cạnh chung;
Nên \[\Delta AHB=\Delta AHC\] (c.g.c);
Suy ra: \[\Rightarrow \widehat{{{H}_{1}}}=\widehat{{{H}_{2}}}\] (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau);
\[\Rightarrow \]\[\widehat{AHB}={{90}^{0}}\]\[\Rightarrow AH\bot a\] hay \[AD\bot a\]
Bài 70. (SGK Toán 7 tập 1 trang 141)
a) \[\Delta ABC\]cân tại\[A\]\[\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\] (hai góc ở đáy của tam giác cân);
\[\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ACM}\] (cùng bù hai góc bằng nhau).
Xét \[\Delta ABM\]và \[\Delta ACN\]có:
\[AB=AC\] (\[\Delta ABC\]cân tại\[A\])
\[\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\]
\[BM=CN\] (giả thiết);
Nên \[\Delta ABM=\Delta ACN\] (c.g.c);
\[\Rightarrow \widehat{M}=\widehat{N}\]nên \[\Delta AMN\] là tam giác cân.
b) \[\Delta AHM\]và \[\Delta CKN\]có:
\[\widehat{MBH}=\widehat{NKC}={{90}^{0}}\left( BH\bot AM,CK\bot AN \right)\]
\[BM=CN\] (giả thiết);
\[\widehat{M}=\widehat{N}\] (câu a);
Nên \[\Delta AHM=\Delta CKN\] (cạnh huyền – góc nhọn);
Suy ra: \[BH=CK\]
c)Xét tam giác vuông \[\Delta ABH\]và \[\Delta ACK\]có:
\[BH=CK\] (câu a)
\[AB=AC\] (hai cạnh bên của tam giác cân ABC);
Nên \[\Delta ABH=\Delta ACK\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông);
Suy ra: \[AH=AK\]
d) Theo câu b) \[\Delta AHM=\Delta CKN\]
\[\Rightarrow \widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\] (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau);
\[\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{3}}}\] (hai góc đối đỉnh của hai góc bằng nhau);
\[\Rightarrow \Delta OBC\]là tam giác cân.
e) \[\Delta ABC\]cân tại\[A\] ta có \[\widehat{BAC}={{60}^{0}}\]nên là tam giác đều
\[\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}={{60}^{0}}\]
\[\Delta ABM:AB=BM\left( =BC \right)\] nên là tam giác cân
Mà góc \[\widehat{ABM}={{180}^{0}}-\widehat{B}={{120}^{0}}\]
Nên góc \[\widehat{M}=\frac{\left( {{180}^{0}}-{{120}^{0}} \right)}{2}={{30}^{0}}\]
Tương tự góc \[\widehat{N}={{30}^{0}}\]
Vậy \[\Delta AMN:\widehat{M}=\widehat{N}={{30}^{0}}\]; \[\widehat{MAN}={{120}^{0}}\]
\[\Delta MHB\]vuông có \[\widehat{M}={{30}^{0}}\] góc nên \[\widehat{{{B}_{2}}}={{60}^{0}}\]
Suy ra: \[\widehat{{{B}_{3}}}={{60}^{0}}\] (hai góc đối đỉnh);
Vậy \[\Delta AMN\]là tam giác đều.
Bài 71. (SGK Toán 7 tập 1 trang 141)
Xét \[\Delta AHB\]và \[\Delta CKA\] có:
\[AH=CK\]
\[BH=AK\]
\[\widehat{H}=\widehat{K}={{90}^{0}}\]
Nên \[\Delta AHB=\Delta CKA\] (c.g.c);
Suy ra: \[AB=AC\], \[\widehat{BAH}=\widehat{ACK}\]
(hai cạnh và hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau);
Lại có góc \[\widehat{ACK}+\widehat{CAK}={{90}^{0}}\] (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông);
Nên \[\widehat{BAH}+\widehat{CAK}={{90}^{0}}\]
Do đó: \[\widehat{BAC}={{90}^{0}}\]
Vậy \[\Delta ABC\]là tam giác vuông cân.
Bài 72. (SGK Toán 7 tập 1 trang 141)
a) Dùng \[4\] que diêm để xếp mỗi cạnh của tam giác
b) Mỗi cạnh bên xếp \[5\] que diêm, còn lại \[2\] que diêm xếp thành cạnh đáy
c) Mỗi cạnh là \[3\] que diêm, một cạnh là \[4\] que diêm, một cạnh là \[5\] que diêm
Bài 73. (SGK Toán 7 tập 1 trang 141)
Xét \[\Delta AHB\]vuông tại \[H\] nên:
\[H{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}={{5}^{2}}-{{3}^{2}}=16\Rightarrow HB=4\left( m \right)\]
\[HC=BC-BH=10-4=6\left( m \right)\]
\[\Delta AHC\] vuông tại \[H\] nên:
\[A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{6}^{2}}=45\Rightarrow AC=\sqrt{45}\approx 6,7\left( m \right)\]
Độ dài đường trượt:
\[ACD=6,7+2=8,7\left( m \right)\] chưa bằng hai lần đường lên \[BA\]. Vậy Vân đúng, Mai sai.