Bài tập ôn tập chương 4: Biểu thức đại số

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Biểu thức đại số

Trong biểu thức đại số

+ Những chữ đại diện cho một số tùy ý gọi là biến số

+ Những chữ đại diện cho một số xác định gọi là hằng số

Để tính giá trị của một biểu thức đại số ta làm như sau:

Bước 1: Thay biến bởi giá trị số đã cho

Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý thứ tự thực hiện: thực hiện lũy thừa, phép nhân chia, phép cộng trừ)

2. Đơn thức

+ Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc một tích giữa các số và các biến.

+ Số \[0\] được gọi là đơn thức không.

3. Đơn thức thu gọn

a) Định nghĩa

Đơn thức thu gọn là đơn thức mà chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Số nói trên là hệ số, phần còn lại gọi là biến của đơn thức thu gọn.

b) Bậc của đơn thức

+ Bậc của đơn thức có hệ số khác \[0\] là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức đó.

+ Số thực khác \[0\] là đơn thức bậc không.

+ Số \[0\] được coi là đơn thức không có bậc.

c) Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau và phần biến với nhau.

4. Đơn thức đồng dạng

a) Định nghĩa

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác \[0\] và có cùng phần biến. Các số khác \[0\] được coi là những đơn thức đồng dạng.

b) Cộng trừ đơn thức đồng dạng

Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

5. Đa thức

a) Định nghĩa

Đa thức là một tổng các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. Mỗi đơn thức được coi là đa thức.

b) Thu gọn đa thức

Cách làm

Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng

Bước 2: Cộng trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm.

c) Bậc của đa thức

+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

+ Số \[0\] cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc.

+ Khi tìm bậc của đa thức phải thu gọn đa thức đó.

d) Cộng, trừ đa thức

Cách làm:

Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc.

Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc bỏ dấu ngoặc)

Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng

Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

6. Đa thức một biến

a) Định nghĩa

+ Là tổng của những đơn thức của cùng một biến

+ Mỗi số được coi là một đa thức một biến

+ Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

b) Sắp xếp đa thức

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

+ Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức đó.

+ Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được gọi là hằng số.

c) Hệ số

Hệ số của lũy thừa \[0\]của biến gọi là hệ số tự do; hệ số của lũy thừa cao nhất gọi là hệ số cao nhất.

d) Cộng trừ các đa thức một biến

Để cộng, trừ các đa thức một biến ta làm một trong hai cách sau:

Cách 1: Cộng trừ đa thức theo hàng ngang

Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức theo cùng lũy thừa giảm hoặc tăng của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức ở cùng một cột).

7. Nghiệm của đa thức một biến

Nếu tại \[x=a\], đa thức \[P\left( x \right)\] có giá trị bằng \[0\] thì ta nói \[a\] (hoặc \[x=a\]) là một nghiệm của đa thức đó.

Tức là nếu \[P\left( a \right)=0\] thì \[x=a\] là một nghiệm của đa thức \[P\left( x \right)\].

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Viết các biểu thức đại số theo các mệnh đề hoặc bài toán cho trước

Dạng 2. Bài toán dẫn đến việc viết biểu thức đại số

Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức đại số

Dạng 4. Tính giá trị của biểu thức khi biết mối quan hệ giữa các biến

Dạng 5. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Dạng 6. Nhận biết đơn thức

Dạng 7. Tính giá trị của đơn thức

Dạng 8. Tính tích các đơn thức

Dạng 9. Nhận biết các đơn thức đồng dạng

Dạng 10. Cộng, trừ đơn thức đồng dạng

Dạng 11. Nhận biết đa thức

Dạn 12. Thu gọn đa thức

Dạng 13. Tìm bậc của đa thức

Dạng 14. Tính tổng hiệu của hai đa thức

Dạng 15. Tìm một trong hai đa thức biết đa thức tổng hoặc đa thức hiệu và đa thức còn lại

Dạng 16. Tính giá trị của đa thức

Dạng 17. Sắp xếp các hạng tử của đa thức

Dạng 18. Xác định bậc của đa thức

Dạng 19. Tìm các hệ số của một đa thức

Dạng 20. Tính giá trị của đa thức

Dạng 21. Tính tổng hoặc hiệu của hai đa thức

Dạng 22 Viết một đa thức dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai đa thức

Dạng 23. Kiểm tra xem \[x=a\] có là nghiệm của đa thức P(x) hay không

Dạng 24. Tìm nghiệm của đa thức

Dạng 25. Chứng minh đa thức không có nghiệm

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 57. (SGK Toán 7 tập 2 trang 49)

a) Chẳng hạn: \[5xy\].

b) Chẳng hạn: \[5x{{y}^{2}}+8{{x}^{2}}-2\]

Bài 58. (SGK Toán 7 tập 2 trang 49)

a)

\(\begin{array}{l} 2xy\left( {5{x^2}y + 3x - z} \right)\\  = 2.1.\left( { - 1} \right)\left[ {{{5.1}^2}.\left( { - 1} \right) + 3.1 - \left( { - 2} \right)} \right]\\  =  - 2\left( { - 5 + 3 + 2} \right)\\  = 0 \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l} x{y^2} + {y^2}{z^3} + {z^3}{x^4}\\  = 1.{\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + {\left( { - 2} \right)^3}{.1^4}\\  = 1 - 8 - 8\\  - 15 \end{array}\)

Bài 59. (SGK Toán 7 tập 2 trang 49)

Bài 60. (SGK Toán 7 tập 2 trang 49)

a)

b) Bể \[A=100+30x\]. Bể \[B=40x\].

Bài 61. (SGK Toán 7 tập 2 trang 50)

a)\[\frac{1}{4}x{{y}^{3}}.\left( -2{{x}^{2}}y{{z}^{2}} \right)=\frac{1}{4}.\left( -2 \right)x{{y}^{3}}{{x}^{2}}y{{z}^{2}}=\frac{-1}{2}{{x}^{3}}{{y}^{4}}{{z}^{2}}\]

Hệ số của tích là \[\frac{-1}{2}\] và có bậc là \[9\].

b) \[-2{{x}^{2}}yz.\left( -3x{{y}^{3}}z \right)=-2.\left( -3 \right).{{x}^{2}}yz.x{{y}^{3}}z=6{{x}^{3}}{{y}^{4}}{{z}^{2}}\]

Hệ số của tích là \[6\] và có bậc là \[9\].

Bài 62. (SGK Toán 7 tập 2 trang 50)

a)

\(\begin{array}{l} P\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} + {x^2} - \frac{1}{4}x\\ {\rm{ }} = {x^5} + \left( { - 3{x^2} + {x^2}} \right) + 7{x^4} - 9{x^3} - \frac{1}{4}x\\ {\rm{ }} = {x^5} - 2{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} - \frac{1}{4}x\\ {\rm{ }} = {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - \frac{1}{4}x \end{array}\)

\(\begin{array}{l} Q\left( x \right) = 5{x^4} - {x^5} + {x^2} - 2{x^3} + 3{x^2} - \frac{1}{4}\\ {\rm{ }} = 5{x^4} - {x^5} + \left( {{x^2} + 3{x^2}} \right) - 2{x^3} - \frac{1}{4}\\ {\rm{ }} = 5{x^4} - {x^5} + 4{x^2} - 2{x^3} - \frac{1}{4}\\ {\rm{ }} = - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - \frac{1}{4} \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l} P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {{x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - \frac{1}{4}x} \right) + \left( { - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - \frac{1}{4}} \right)\\ {\rm{ }} = {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - \frac{1}{4}x - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - \frac{1}{4}\\ {\rm{ }} = \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {7{x^4} + 5{x^4}} \right) + \left( { - 9{x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( { - 2{x^2} + 4{x^2}} \right) - \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}\\ {\rm{ }} = 12{x^4} - 11{x^3} + 2{x^2} - \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {{x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - \frac{1}{4}x} \right) - \left( { - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - \frac{1}{4}} \right)\\ {\rm{ }} = {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - \frac{1}{4}x + {x^5} - 5{x^4} + 2{x^3} - 4{x^2} + \frac{1}{4}\\ {\rm{ }} = \left( {{x^5} + {x^5}} \right) + \left( {7{x^4} - 5{x^4}} \right) + \left( { - 9{x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( { - 2{x^2} - 4{x^2}} \right) - \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\\ {\rm{ }} = 2{x^5} + 2{x^4} - 7{x^3} - 6{x^2} - \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \end{array}\)

c)

Ta có \[P\left( 0 \right)={{0}^{5}}+{{7.0}^{4}}-{{9.0}^{3}}-{{2.0}^{2}}-\frac{1}{4}.0=0\]

\[Q\left( 0 \right)=-{{0}^{5}}+{{5.0}^{4}}-{{2.0}^{3}}+{{4.0}^{2}}-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}\ne 0\]

Vậy \[x=0\] là nghiệm của \[P\left( x \right)\] nhưng không là nghiệm của \[Q\left( x \right)\].

Bài 63. (SGK Toán 7 tập 2 trang 50)

a)

\(\begin{array}{l} M\left( x \right) = 5{x^3} + 2{x^4} - {x^2} + 3{x^2} - {x^3} - {x^4} + 1 - 4{x^3}\\ {\rm{ }} = \left( {5{x^3} - {x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( {2{x^4} - {x^4}} \right) + \left( { - {x^2} + 3{x^2}} \right) + 1\\ {\rm{ }} = {x^4} + 2{x^2} + 1 \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l} M\left( 1 \right) = {1^4} + {2.1^2} + 1 = 4\\ M\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} + 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 4 \end{array}\)

c) Với mọi giá trị của \[x\] ta luôn có \[{{x}^{4}}\ge 0,{{x}^{2}}\ge 0\] nên \[{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1>0\] với mọi \[x\]

Vậy \[M\left( x \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1\] không có nghiệm.

Bài 64. (SGK Toán 7 tập 2 trang 50)

Do \[{{x}^{2}}y=1\] tại \[x=-1,y=1\] nên ta chỉ cần viết các đơn thức có phần biến là \[{{x}^{2}}y\] và phần hệ số là số tự nhiên nhỏ hơn \[10\]. Ta có: \[2{{x}^{2}}y,3{{x}^{2}}y,4{{x}^{2}}y,5{{x}^{2}}y,6{{x}^{2}}y,7{{x}^{2}}y,8{{x}^{2}}y,9{{x}^{2}}y\].

Bài 65. (SGK Toán 7 tập 2 trang 51)

a) \[A\left( x \right)=2x-6=0\Leftrightarrow x=3\]. Vậy nghiệm của đa thức \[A\left( x \right)\]là \[3\].

b) \[B\left( x \right)=3x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{6}\]

Vậy nghiệm của \[B\left( x \right)\]là \[-\frac{1}{6}\].

c) \[M\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow x=1,x=2\]

Vậy nghiệm của \[M\left( x \right)\]là \[x=1,x=2\].

d) \[P\left( x \right)={{x}^{2}}+5x-6=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x+6 \right)=0\Leftrightarrow x=1,x=-6\]

Vậy nghiệm của \[P\left( x \right)\] là \[x=1,x=-6\].

e) \[Q\left( x \right)={{x}^{2}}+x=0\Leftrightarrow x\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=0,x=-1\]

Vậy nghiệm của \[Q\left( x \right)\] là \[x=0,x=-1\].

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 7 bài ôn tập chương 4 do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ