PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA HAI SỐ NGUYÊN. ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ NGUYÊN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phép nhân hai số nguyên khác dấu
Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân phần số tự nhiên của hai số đó với nhau rồi đặt dấu “-“ trước kết quả nhận được.
Nếu \(m,n\in N*\) thì \(m.\left( -n \right)=\left( -n \right).m=-\left( m.n \right)\) .
Tích của hai số nguyên khác dấu luôn là số nguyên âm.
2. Phép nhân hai số nguyên cùng dấu
a) Phép nhân hai số nguyên dương
Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0.
b) Phép nhân hai số nguyên âm
Muốn nhân hai số nguyên âm, ta nhân phần số tự nhiên của hai số đó với nhau.
Nếu \(m,n\in N*\) thì \(\left( -m \right).\left( -n \right)=\left( -n \right).\left( -m \right)=m.n\) .
Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn là số nguyên dương.
Chú ý: Cách nhận biết dấu của tích:
3. Tính chất của phép nhân các số nguyên
Giống như phép nhân các số tự nhiên, phép nhân các số nguyên cũng có các tính chất sau:
- Giao hoán: \(a.b=b.a\)
- Kết hợp: \(a.\left( b.c \right)=\left( a.b \right).c\)
- Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \(a.\left( b+c \right)=a.b+a.c\)
- Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ: \(a.\left( b-c \right)=a.b-a.c\)
- Tích của một số nguyên với 0 luôn bằng 0: \(a.0=0.a=0\)
Nếu \(a.b=0\) thì hoặc \(a=0\) hoặc \(b=0\)
4. Phép chia hết hai số nguyên khác dấu
Để chia hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:
Bước 1. Bỏ dấu “-“ trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.
Bước 2. Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1.
Bước 3. Thêm dấu “-“ trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.
5. Phép chia hết cho hai số nguyên cùng dấu
a) Phép chia hết cho hai số nguyên dương
Ta đã biết phép chia hết một số nguyên dương cho một số nguyên dương.
b) Phép chia hết hai số nguyên âm
Để chia hai số nguyên âm, ta làm như sau:
Bước 1. Bỏ dấu “-“ trước mỗi số.
Bước 2. Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có thương cần tìm.
Chú ý:
- Cách nhận biết dấu của thương:
- Thứ tự thực hiện các phép tính với số nguyên (trong biểu thức không chứa dấu ngoặc hoặc có chứa dấu ngoặc) cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính với số tự nhiên.
6. Quan hệ chia hết
Cho hai số nguyên a, b với \(b\ne 0\) . Nếu có số nguyên q sao cho \(a=b.q\) thì ta nói:
+, a chia hết cho b
+, a là bội của b
+, b là ước của a
Nếu a là bội của b thì –a cũng là bội của b.
Nếu b là ước của a thì –b cũng là ước của a.
Để tìm các ước của số nguyên a, ta tìm các ước dương của a cùng với các số đối của chúng.
B. HƯỚNG DẪN HỌC BÀI
Bài 16: Phép nhân số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Nhân hai số nguyên khác dấu
Tìm tòi – khám phá 1:
Dựa vào phép cộng các số âm, hãy tính tích \(\left( -11 \right).3\) rồi so sánh kết quả với \(-\left( 11.3 \right)\) .
Giải
Ta có: \(\left( -11 \right).3=-33;-\left( 11.3 \right)=-33\)
\(\Rightarrow \left( -11 \right).3=-\left( 11.3 \right)\)
Tìm tòi – khám phá 2:
Hãy dự đoán kết quả của các phép nhân \(5.\left( -7 \right)\) và \(\left( -6 \right).8\)
Giải
Ta có: \(5.\left( -7 \right)=-35\) ; \(\left( -6 \right).8=-48\) .
Luyện tập 1:
1. Thực hiện các phép nhân sau:
a) \(\left( -12 \right).12\)
b) \(137.\left( -15 \right)\)
2. Tính nhẩm: \(5.\left( -12 \right)\)
Giải
1. a) \(\left( -12 \right).12=-144\)
b) \(137.\left( -15 \right)=-2055\)
2. \(5.\left( -12 \right)=-60\)
Vận dụng 1:
Sử dụng phép nhân hai số nguyên khác dấu để giải bài toán mở đầu:
Để quản lí chi tiêu cá nhân, bạn Cao dùng số nguyên âm để ghi vào sổ tay các khoản chi của mình. Cuối tháng, bạn Cao thấy trong sổ có ba lần ghi \[-15\text{ }000\] đồng. Trong ba lần ấy, bạn Cao đã chi tất cả bao nhiêu tiền?
Giải
Tổng số tiền ba lần bạn ghi trong sổ là: \[\left( -15\text{ }000 \right).3=-45\text{ }000\] (đồng)
Vậy bạn Cao đã chi tất cả 45 000 đồng.
2. Nhân hai số nguyên cùng dấu
Tìm tòi – khám phá 3:
Quan sát ba dòng đầu và nhận xét về dấu của tích mỗi khi đổi dấu một thừa số và giữ nguyên thừa số còn lại.
Giải
Khi đổi dấu một thừa số và giữ nguyên thừa số còn lại thì tích cũng đổi dấu.
Tìm tòi – khám phá 4:
Dựa vào nhận xét ở Tìm tòi – khám phá 3, hãy dự đoán kết quả của \(\left( -3 \right).\left( -7 \right)\) .
Giải
\(\left( -3 \right).\left( -7 \right)=21\) .
Luyện tập 2:
Thực hiện các phép nhân sau:
a) \(\left( -12 \right).\left( -12 \right)\)
b) \(\left( -137 \right).\left( -15 \right)\)
Giải
a) \(\left( -12 \right).\left( -12 \right)=144\)
b) \(\left( -137 \right).\left( -15 \right)=2055\)
Thử thách nhỏ:
Thay mỗi dấu “?” bằng số sao cho số trong mỗi ô ở hàng trên bằng tích các số trong hai ô kề với nó ở hàng dưới (H3.18)
Giải
1 | |||||||||||
-1 | -1 | ||||||||||
-1 | 1 | -1 | |||||||||
-1 | 1 | 1 | -1 | ||||||||
3. Tính chất của phép nhân
Câu hỏi:
Tính \(a\left( b+c \right)\) và \(ab+ac\) khi \(a=-2,b=14,c=-4\) .
Giải
\(a\left( b+c \right)=\left( -2 \right).\left[ 14+\left( -4 \right) \right]=\left( -2 \right).\left( 14-4 \right)=\left( -2 \right).10=-20\) .
\(ab+ac=\left( -2 \right).14+\left( -2 \right).\left( -4 \right)=-28+8=-\left( 20-8 \right)=-20\) .
Luyện tập 3:
1. a) Tính giá trị của tích \(P=3.\left( -4 \right).5.\left( -6 \right)\) .
b) Tích P sẽ thay đổi thế nào nếu ta đổi dấu tất cả các thừa số?
2. Tính \(4.\left( -39 \right)-4.\left( -14 \right)\)
Giải
1. a) \(P=3.\left( -4 \right).5.\left( -6 \right)=360\)
b) Tích P sẽ không thay đổi nếu ta đổi dấu tất cả các thừa số.
2. \(4.\left( -39 \right)-4.\left( -14 \right)=4.\left( -39+14 \right)=4.\left( -25 \right)=-100\) .
Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Phép chia hết
Luyện tập 1:
1. Thực hiện phép chia \(135:9\) . Từ đó suy ra thương của các phép chia \(135:\left( -9 \right)\) và \(\left( -135 \right):\left( -9 \right)\) .
2. Tính: a) \(\left( -63 \right):9\) ; b) \(\left( -24 \right):\left( -8 \right)\)
Giải
1. Ta có: \(135:9=15\Rightarrow 135:\left( -9 \right)=-15;\left( -135 \right):\left( -9 \right)=15\)
2. a) \(\left( -63 \right):9=-7\) ; b) \(\left( -24 \right):\left( -8 \right)=3\)
2. Ước và bội
Luyện tập 2:
a) Tìm các ước của – 9.
b) Tìm các bội của 4 lớn hơn – 20 và nhỏ hơn 20.
Giải
a) Các ước của – 9 là: \(-9,-3,-1,1,3,9\) .
b) Các bội của 4 lớn hơn – 20 và nhỏ hơn 20 là: \(-16,-12,-8,-4,0,4,8,12,16\) .
Tranh luận:
Pi: Có hai số nguyên a, b khác nhau nào mà \(a\vdots b\) và \(b\vdots a\) không?
Vuông: Sao mà thế được!
Tròn: A ha, tớ vừa tìm thấy hai số như vậy đấy!...
Không biết Tròn tìm được hai số nguyên nào nhỉ?
Giải
Số nguyên thỏa mãn \(a\vdots b\) và \(b\vdots a\) là các cặp số đối nhau.
Vậy Tròn đã tìm được cặp số nguyên đối nhau thỏa mãn câu hỏi của Pi.
Ví dụ: 4 và – 4; 7 và – 7; …
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 16: Phép nhân số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
Bài 3.32 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)
a) \(24.\left( -25 \right)=-600\)
b) \(\left( -15 \right).12=-180\)
Bài 3.33 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)
a) \(\left( -298 \right).\left( -4 \right)=1192\)
b) \(\left( -10 \right).\left( -135 \right)=1350\)
Bài 3.34 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)
a) Tích của ba thừa số mang dấu âm, các thừa số khác mang đều dương thì mang dấu âm.
b) Tích của bốn thừa số mang dấu âm, các thừa số khác đều dương thì mang dấu dương.
Bài 3.35 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)
a) \(4.\left( 1930+2019 \right)+4.\left( -2019 \right)=4.\left[ 1930+2019+\left( -2019 \right) \right]=4.1930=7720\)
b) \(\left( -3 \right).\left( -17 \right)+3.\left( 120-17 \right)=3.17+3.120-3.17=3.120=360\)
Bài 3.36 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)
Ta có: \(m.n = 36 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} n.\left( { - m} \right) = - \left( {m.n} \right) = - 36\\ \left( { - n} \right).\left( { - m} \right) = m.n = 36 \end{array} \right.\)
Bài 3.37 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)
a) \(\left( -8 \right).72+8.\left( -19 \right)-\left( -8 \right)=\left( -8 \right).72+\left( -8 \right).19-\left( -8 \right)=\left( -8 \right).\left( 72+19-1 \right)=\left( -8 \right).90=-720\)
b) \(\left( -27 \right).1011-27.\left( -12 \right)+27.\left( -1 \right)=\left( -27 \right).\left( 1011-12+1 \right)=\left( -27 \right).1000=-27000\)
Bài 3.38 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)
Bạn An được số điểm là: \(1.10+2.7+1.\left( -1 \right)+1.\left( -3 \right)=24\) (điểm).
Bạn Bình được số điểm là: \(2.10+1.3+2.\left( -3 \right)=17\) (điểm).
Bạn Cường được số điểm là: \(3.7+1.3+1.\left( -1 \right)=23\) (điểm)
Vậy bạn Cường đạt điểm cao nhất.
Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
Bài 3.39 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)
a) \(297:\left( -3 \right)=-99\)
b) \(\left( -396 \right):\left( -12 \right)=33\)
c) \(\left( -600 \right):15=-40\)
Bài 3.40 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)
a) Ư \(\left( 30 \right)=\left\{ -30,-15,-10,-6,-5,-3,-2,-1,1,2,3,5,6,10,15,30 \right\}\)
Ư \(\left( 42 \right)=\left\{ -42,-21,-14,-7,-6,-3,-2,-1,1,2,3,6,7,14,21,42 \right\}\)
Ư \(\left( -50 \right)=\left\{ -50,-25,-10,-5,-2,-1,1,2,5,10,25,50 \right\}\)
b) Các ước chung của 30 và 42 là: ƯC \(\left( 30,42 \right)=\left\{ -6,-3,-2,-1,1,2,3,6 \right\}\)
Bài 3.41 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)
\(M=\left\{ -16,-12,-8,-4,0,4,8,12,16 \right\}\)
Bài 3.42 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)
Ư \(\left( 15 \right)=\left\{ -15,-5,-3,-1,1,3,5,15 \right\}\)
Vậy hai ước của – 15 có tổng bằng – 4 là – 5 và 1.
Bài 3.43 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)
Vì hai số cùng chia hết cho – 3 nên hai số đó có dạng là \(\left( -3 \right).a\) và \(\left( -3 \right).b\) với \(a,b\in Z\) .
Tổng hai số đó là: \(\left( -3 \right).a+\left( -3 \right).b=\left( -3 \right).\left( a+b \right)\vdots \left( -3 \right)\) .
Hiệu hai số là: \(\left( -3 \right).a-\left( -3 \right).b=\left( -3 \right).\left( a-b \right)\vdots \left( -3 \right)\) .
Tổng quát: Nếu hai số nguyên a và b cùng chia hết cho một số nguyên c thì tổng hoặc hiệu của hai số nguyên a và b cũng chia hết cho số nguyên c.