BÀI 1. DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Dao động cơ – dao động tuần hoàn
+ Dao động : Là những chuyển động có giới hạn, được lặp đi lặp lại xung quanh một vị trí cân bằng xác định.
+ Dao động tuần hoàn :
- Khái niệm : Là dao động mà trạng thái dao động của vật lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian nhất định.
- Biểu diễn theo thời gian : x(t) = x(t + kT) trong đó T (chu kì dao động) là thời gian ngắn nhất mà trạng thái dao động của vật được lặp lại
2. Dao động điều hòa và các đại lượng đặc trưng
- Khái niệm: Là dao động mà trạng thái dao động của vật được biểu diễn dưới dạng hàm sin hoặc cosin theo thời gian x(t) = Acos(wt + j) hoặc x(t) = Asin(wt + j). Trong đó A, w, j là hằng số.
- Các đại lượng đặc trưng:
Li độ x: là độ lệch của vật so với vị trí cân bằng
Biên độ A: là khoảng cách lớn nhất của vật đến vị trí cân bằng, A = |xmax|
Đặc điểm: A ³ 0
l Tần số góc w (rad/s): là đại lượng quy ước dùng để xác định trạng thái chuyển động của vật
m Pha ban đầu j (rad): là đại lượng quy ước dùng để xác định trạng thái ban đầu của vật
n Pha dao động wt + j: là đại lượng quy ước dùng để xác định trạng thái chuyển động của vật ở thời điểm t
o Chu kì dao động T (s): là khoảng thời gian nhỏ nhất vật thực hiện một dao động toàn phần
\(T=\frac{2\pi }{\omega }\)
Tần số dao động f (Hz): là số dao động toàn phần vật thực hiện trong một đơn vị thời gian
\(f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }\)
3. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
| Một điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm M tương ứng chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó. |
|
4. Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa
+ Phương trình li độ: \(x=\text{Acos}(\omega t+\varphi ) (1)\)
+ Phương trình vận tốc: \(x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )\Rightarrow v=x'=-\omega A\sin (\omega t+\varphi )=\omega A\cos \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right) (2)\)
+ Phương trình gia tốc: \(a=v'=x''=-{{\omega }^{2}}Ac\text{os}(\omega t+\varphi )=-{{\omega }^{2}}x (3)\)
Þ \(x''+{{\omega }^{2}}x=0 (4)\)
Kết luận:
Vận tốc và gia tốc cũng biến thiên điều hòa theo thời gian cùng tần số với li độ dao động, x và v vuông pha, x và a ngược pha.
Trong quá trình dao động, gia tốc luôn luôn hướng về vị trí cân bằng
Þ \({{\overrightarrow{F}}_{hp}}=m\vec{a}\) là lực hồi phục, luôn luôn hướng về vị trí cân bằng và có xu hướng đưa vật về vị trí cần bằng.
l Phương trình (4) gọi là phương trình vi phân trong dao động điều hòa, dùng để xác định chu kì, tần số dao động của vật.
m Mối liên hệ giữa các đại lượng x, v, a, F: \(\frac{x}{A} = - \frac{a}{{A{\omega ^2}}} = \frac{F}{{m{\omega ^2}A}} + {\left( {\frac{v}{{A\omega }}} \right)^2} = 1\)
5. Đồ thị của dao động điều hòa
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian là một đường sin. Vì thế dao động điều hòa còn gọi là dao động hình sin.
|  |
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình li độ dao động
- Dạng sin: x = Asin(wt + j)
- Dạng cosin: x = Acos(wt + j)
- Chu kì, tần số dao động: \(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{1}{f}\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f\)
- Các chuyển đổi dạng phương trình: \(\left\langle \begin{align} & \sin a=\cos \left( a-\frac{\pi }{2} \right);\ \sin \xrightarrow{-\frac{\pi }{2}}\cos \\ & \cos a=\sin \left( a+\frac{\pi }{2} \right);\cos \xrightarrow{+\frac{\pi }{2}}\sin \\ & -\sin a=\sin (a+\pi )=c\text{os}\left( a+\frac{\pi }{2} \right) \\ & -\cos a=\cos (a+\pi )=\sin \left( a-\frac{\pi }{2} \right) \\ \end{align} \right.\)
Dạng 2: Phương trình vận tốc, gia tốc
Phương trình vận tốc
- Dạng sin: \(x=\text{A}\sin (\omega t+\varphi )\Rightarrow v=x'=\omega A\cos (\omega t+\varphi )=\omega A\sin \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right)\)
- Dạng cosin: \(x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )\Rightarrow v=x'=-\omega A\sin (\omega t+\varphi )=\omega A\cos \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right)\)
- Quan hệ về pha: vận tốc nhanh pha hơn li độ góc π/2
- Vận tốc là đại lượng vectơ, v > 0 khi vật chuyển động theo chiều dương, v < 0 khi vật chuyển động theo chiều âm. Độ lớn của vận tốc được gọi là tốc độ.
- Tại biên thì v = 0; tại vị trí cân bằng thì tốc độ cực đại, vmax = ωA.
- Khi vật đi từ biên về vị trí cân bằng thì vật chuyển động nhanh dần, đi từ vị trí cân bằng ra biên thì chuyển động chậm dần.
Phương trình gia tốc
- Dạng sin: \(x=\text{A}\sin (\omega t+\varphi )\Rightarrow v=x'=\omega A\cos (\omega t+\varphi )\Rightarrow a=v'=x''=-{{\omega }^{2}}x\)
- Dạng cosin: \(x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )\Rightarrow v=x'=-\omega A\sin (\omega t+\varphi )\Rightarrow a=v'=x''=-{{\omega }^{2}}x\)
Vậy ta luôn có a = - w2x
- Quan hệ về pha: gia tốc nhanh pha (hay ngược pha) với li độ góc π, suy ra nhanh pha hơn vận tốc góc π/2.
- Gia tốc là đại lượng véc tơ, a > 0 khi vật có tọa độ âm, a < 0 khi vật có tọa độ dương.
- Tại biên thì gia tốc có độ lớn cực đại, amax = ω2A; tại vị trí cân bằng thì a = 0.
- Từ đó ta có kết quả: \(\left\{ \begin{array}{l} {v_{m{\rm{ax}}}} = \omega A\\ {a_{m{\rm{ax}}}} = {\omega ^2}A \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \omega = \frac{{{a_{m{\rm{ax}}}}}}{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}\\ A = \frac{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}{\omega } \end{array} \right.\)
Dạng 3: Hệ thức liên hệ trong dao động điều hòa
Hệ thức liên hệ của x, v:
Do x và v vuông pha với nhau nên ta luôn có: \({{\left( \frac{x}{{{x}_{m\text{ax}}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{m\text{ax}}}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1 (1)\)
Nhận xét:
- Từ hệ thức (1) ta thấy đồ thị của x, v là đường elip nhận các bán trục là A và ωA
- Khai triển (1) ta được một số hệ thức thường dùng \(\left\{ \begin{align} & A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}} \\ & v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right.\)
- Tại hai thời điểm t1; t2 vật có li độ, tốc độ tương ứng là x1; v1 và x2; v2 thì ta có
\(\frac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=\frac{x_{2}^{2}}{{{A}^{2}}}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{{{A}^{2}}}=\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}\Leftrightarrow \omega =\sqrt{\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}\)
Hệ thức liên hệ của a, v:
- Do a và v vuông pha với nhau nên ta luôn có \({{\left( \frac{v}{{{v}_{m\text{ax}}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{m\text{ax}}}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}{{A}^{2}}}=1\,\,(2) \)
- Từ hệ thức (2) ta thấy đồ thị của x, v là đường elip nhận các bán trục là ωA và ω2A.
Chú ý:
- Thông thường tròn bài thi ta không hay sử dụng trực tiếp công thức (2) vì nó không dễ nhớ. Để làm tốt trắc nghiệm các em nên biến đổi theo hướng sau: \(\left\{ \begin{align} & A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}} \\ & x=-\frac{a}{{{\omega }^{2}}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow A=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}\)
- Tại hai thời điểm t1; t2 vật có gia tốc, tốc độ tương ứng là a1; v1 và a2; v2 thì ta có công thức \({{\omega }^{2}}=\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}\)
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Câu C1 (trang 5 SGK Vật lí 12):
Gọi Q là hình chiếu của điểm M lên trục y (H.1.2). Chứng minh rằng điểm Q dao động điều hòa.
Trả lời:
Gọi Q là hình chiếu của điểm M lên trục Oy
Ta có tọa độ y=\overline{OQ} của điểm Q có phương trình là : yQ = OM.sin(ωt + φ)
Đặt OM = A, phương trình tọa độ y được viết lại là : yQ = Asin(ωt + φ)
Vì hàm sin hay cosin là một dao động điều hòa, nên dao động của điểm Q được gọi là dao động điều hòa.
IV. CÂU HỎI – BÀI TẬP
Bài 1 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Phát biểu định nghĩa của dao động điều hòa.
Lời giải:
Dao động điều hòa là dao động được mô tả theo định luật hình sin (hoặc cosin) theo thời gian, phương trình có dạng: x = Asin(ωt + φ) hoặc x = Acos(ωt + φ) trong đó A, ω, φ là các hằng số.
Bài 2 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Viết phương trình của dao động điều hòa và giải thích các đại lượng trong phương trình.
Lời giải:
Phương trình của dao động điều hòa x = Acos(ωt + φ)
Trong đó :
- x : li độ của dao động (độ lệch của vật khỏi vị trí cân bằng) có đơn vị là centimet hoặc mét (cm ; m)
- A : biên độ dao động, có đơn vị là centimet hoặc mét (cm ; m)
- ω : tần số góc của dao động có đơn vị là radian trên giây (rad/s)
- (ωt + φ) : pha của dao động tại thời điểm t, có đơn vị là radian (rad)
- φ: pha ban đầu của dao động, có đơn vị là radian (rad)
Bài 3 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều thể hiện ở chỗ nào ?
Lời giải:
Một điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm M tương ứng chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó.
Bài 4 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Nêu định nghĩa chu kì và tần số của dao động điều hòa.
Lời giải:
- Chu kì dao động T (s): là khoảng thời gian nhỏ nhất vật thực hiện một dao động toàn phần
\(T=\frac{2\pi }{\omega }\)
- Tần số dao động f (Hz): là số dao động toàn phần vật thực hiện trong một đơn vị thời gian
\(f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }\)
Bài 5 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Giữa chu kì, tần số và tần số góc có mối liên hệ như thế nào ?
Lời giải:
Giữa chu kì T, tần số f và tần số góc ω liên hệ với nhau bởi hệ thức: \(\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f\)
Bài 6 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = Acos(ωt + φ).
a) Lập công thức tính vận tốc và gia tốc của vật.
b) Ở vị trí nào thì vận tốc bằng 0 ? Ở vị trí nào thì gia tốc bằng 0 ?
c) Ở vị trí nào thì vận tốc có độ dài cực đại ? Ở vị trí nào thì gia tốc có độ lớn cực đại ?
Lời giải:
a) Công thức vận tốc v = x'(t) = – ωAsin(ωt + φ)
Công thức gia tốc a = v'(t) = – ω2Acos(ωt + φ) hay a = – ω2x
b) Tại vị trí biên x = ± A thì vận tốc bằng không.
Tại vị trí cân bằng x = 0 thì gia tốc bằng không.
c) Tại vị trí cân bằng x = 0, vận tốc cực đại.
Tại vị trí biên x = ± A, gia tốc có độ lớn cực đại.
Bài 7 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Một vật dao động điều hòa có quỹ đạo là một đoạn thẳng dài 12 cm. Biên độ dao động của vật là bao nhiêu?
A. 12 cm. B. – 12 cm. C. 6 cm. D. – 6 cm.
Lời giải: Chọn C.
Biên độ dao động của vật là: \(A=\frac{L}{2}=\frac{12}{2}=6\,cm.\)
Bài 8 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Một vật chuyển động tròn đều với vận tốc góc là π (rad/s). Hình chiếu của vật trên một đường kính dao động điều hòa với tần số góc, chu kì và tần số bằng bao nhiêu?
A. π rad/s; 2 s; 0,5 Hz. B. 2π rad/s; 0,5 s; 2 Hz.
C. 2π rad/s; 1 s; 1 Hz. D. π/2 rad/s; 4 s; 0,25 Hz.
Lời giải: Chọn A.
Vận tốc góc ω = π rad/s
Tần số góc của dao động điều hòa tương ứng là ω = π (rad/s)
Chu kì của dao động điều hòa là \(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\pi }=2\,s.\)
Tần số của dao động điều hòa là \(f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2}=0,5\,\,H\text{z}.\)
Bài 9 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Cho phương trình của dao động điều hòa x = – 5cos(4πt) (cm). Biên độ và pha ban đầu của dao động là bao nhiêu?
A. 5 cm; 0 rad ; B. 5 cm; 4π rad
C. 5 cm; (4πt) rad ; D. 5 cm; π rad
Lời giải: Chọn D.
Ta có: x = – 5cos(4πt) = 5cos(4πt + π)
Biên độ của dao động A = 5 cm.
Pha ban đầu của dao động φ = π (rad).
Bài 10 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Phương trình của dao động điều hòa là \(x=2c\text{os}\left( 5t-\frac{\pi }{6} \right)\,\left( cm \right).\) Hãy cho biết biên độ, pha ban đầu, và pha ở thời điểm t của dao động.
Lời giải:
Biên độ của dao động: A = 2 (cm)
Pha ban đầu của dao động: \(\varphi =-\frac{\pi }{6}\,\left( ra\text{d} \right)\)
Pha ở thời điểm t của dao động: \(\left( 5t-\frac{\pi }{6} \right)\,\left( ra\text{d} \right)\)
Bài 11 (trang 9 SGK Vật Lí 12):
Một vật dao động điều hòa phải mất 0,25 s để đi từ điểm có vận tốc bằng không tới điểm tiếp theo cũng như vậy. Khoảng cách giữa hai điểm là 36 cm. Tính
a) Chu kì
b) Tần số
c) Biên độ.
Lời giải:
a) Vận tốc của vật dao động điều hòa bằng 0 khi vật ở hai biên (x = ± A)
Vật đi từ điểm có vận tốc bằng không tới thời điểm tiếp theo cũng có vận tốc bằng không, có nghĩa là vật đi từ vị trí biên này tới vị trí biên kia mất khoảng thời gian là nửa chu kì.
Ta có \(t=\frac{T}{2}=0,25\,s\Rightarrow T=2.0,25=0,5\,s.\)
b) Tần số của dao động \(f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,5}=2\,Hz\)
c) Biên độ của dao động \(A=\frac{L}{2}=\frac{36}{2}=18\,cm\)
Hi vọng bài học "Dao động điều hòa" này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức trọng tâm của Vật lí lớp 12 trước khi lên lớp.